Основные методы интегрирования

7.4.1. Непосредственное интегрирование

Способ непосредственного интегрирования основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличной форме.

Пример. Найти интегралы:

1) .

Решение. На основании свойств 3 и 4 неопределенного интеграла и таблицы интегралов имеем

2) .

Решение. Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла:

 

3) .

7.4.2. Метод подстановки (замена переменной)

Этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному из табличных.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1) , где t – новая переменная, а φ (t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда формула замены переменной

.

2) , t – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

Пример. Найти интегралы, используя подходящую подстановку:

 

1) .

Решение. Введем подстановку t = x ³+5. Тогда dt = d (x ³+5); dt =3 x ² dx. Отсюда x ² dx = dt /3. Таким образом,

.

Ответ должен быть выражен через «старую» переменную х. Подставляя в результат интегрирования t = x ³+5. Окончательно получим .

 

2) .

Решение.

Условимся в дальнейшем все промежуточные рассуждения и выкладки заключать в вертикальные скобки (как было сделано в примере 2).

 

7.4.3. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

, (6.4.1)

где u и v непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью формулы (6.4.1) нахождение интеграла сводится к нахождению другого интеграла . Применение этой формулы целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример. При нахождении интеграла , полагая u = x –5, dv = cos xdx, найдем du = dx, . Следовательно, применяя формулу (6.4.1), получим

 

 

Примеры

№1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение.

а) Почленно поделив числитель подынтегральной дроби на знаменатель, будем иметь

.

Тогда

б) Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла, тем самым сводя исходный интеграл к сумме табличных интегралов:

 

в)

 

г) .

Здесь мы воспользовались свойством 5 неопределенного интеграла и формулой 4 пункта 7.3.

 

№2. Найти интегралыметодом подстановки:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение.

а)

б)

в)

г)

№3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:

а) ;

б) .

Решение.

а) Положим , откуда . Тогда по формуле (6.4.1) находим

б) (*)

К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям. Положим , тогда , следовательно,

Подставляя найденное выражение в соотношение (*), получим

Варианты заданий

№7.1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж)

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) .

 

№7.2. Найти интегралы методом подстановки:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) .

№7.3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

7.7. Контрольные вопросы

 

1. Что такое первообразная? Обладают ли первообразные одной функции свойством единственности?

2. Дайте определение, в том числе виде математического выражения, неопределенного интеграла.

3. Что такое подынтегральная функция? Подынтегральное выражение?

4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла. Запишите эти свойства в виде математических выражений.

5. Воспроизведите таблицу основных интегралов. Докажите справедливость записанных выражений с использованием операции дифференцирования.

6. В чем заключается метод замены переменной в определенном интеграле? метод интегрирования по частям?

7. Какие функции в подынтегральном выражении рекомендуется выбирать в качестве и и dv при интегрировании по частям?

8. Назовите основные типы интегралов, к которым применяется метод интегрирования по частям.

9. Что называется рациональной дробью? Как выделить из неправильной рациональной дроби и правильную дробь? Как разложить правильную дробь на сумму простейших?

 

 

Глава 8. Определенный интеграл

Основные понятия и свойства определенного интеграла

Пусть функция f (x) определена на отрезке [ a; b ]. Разобьем отрезок [ a; b ] на n частей точками a=x ₀ <x ₁ <…<x_{n– 1} <x _n =b; на каждом элементарном отрезке [ x_{k– 1}, x_k ] выберем произвольную точку c_k и обозначим через длину каждого такого отрезка. Вычислим значения функции f (x) в точках c_k, где k= { 1, 2, …, n }.

 

Интегральной сумм ой для функции f (x) на отрезке [ a; b ] называется сумма вида

(7.1.1)

Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [ a; b ] называется предел интегральной суммы (7.1.1), при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

(7.1.2)

При этом f (x) называется подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, числа а и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, [ a; b ] – промежутком интегрирования.