Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный инте­грал приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Пусть требуется вычислить интеграл f(x) dx. Сделаем подстановку x = j(t), где j(t) – функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда dx = j'(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой

Эта формула также называется формулой замены переменных в неопре­деленном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = j(х), тогда = f(t)dt, где t =j(х). Другими словами, форму­лу можно применять справа налево.

Пример. Найти

Замена Получаем:

.

Метод интегрирования по частям

 

Пусть u = u(x), v = v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv) = udv + vdu.

Интегрируя это равенство, получим

 

или .

 

Порученная формула называется формулой интегрирования по ча­стям. Она дает возможность свести вычисление интеграла udv к вы­числению интеграла vdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное вы­ражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, можно осуще­ствить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу прихо­дится использовать несколько раз.

 

Определенный интеграл

Определение. Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение: , а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Определение. Если для функции f(x) существует предел

то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

 

Также верны утверждения:

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

 

Свойства определенного интеграла.

1)

2)

3)

4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то

5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

6) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

7)