Нормальный закон распределения

Этот закон наиболее часто встречается на практике. Он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. Нормальное распределение является одним из самых важных распределений в статистике. Обычно всё сравнивают с нормальным законом распределения.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами µ и σ², если ее плотность вероятности имеет вид:

(см. рис. 12.5а).

Свойства плотности распределения вероятностей:

Она колоколообразная ("колокол Гаусса"), иначе унимодальная.

Плотность определяется двумя параметрами: математическим ожиданием (µ) и средним квадратическим отклонением (σ).

Симметричная относительно среднего.

Среднее и медиана нормального распределения равны.

Кривая сдвигается вправо, если среднее увеличивается при постоянном квадратическом отклонении (рис. 11.56), и сдвигается влево, если среднее уменьшается.

Кривая расширяется, если среднее квадратическое отклонениеσ увеличивается (если среднее постоянно).

Кривая становится более остроконечной с меньшей шириной основания колокола, σ если уменьшается при среднем постоянном (площадь под графиком всегда равна 1) (рис. 11.5в).

Рис. 12.5. Кривая нормального закона распределения и ее изменение при изменении параметров

Дополнительные свойства:

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X со средним µи средним квадратическим отклонением σ(стандартное отклонение) находится между (µ-σ) и (µ+σ), равна 0,68, т.е. 68% случайной величины X отличается от среднего не более чем на одно стандартное отклонение ± σ(рис. 11.6).

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X находится между (µ-2σ) и (µ+2σ), равна 0,95, т.е. примерно 95% случайной величины X отличается от среднего на два стандартных отклонения ±2σ (рис.11.6).

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X находится между (µ-3σ) и (µ+3σ), равна 0,99, т.е. 99% (практически достоверно). Это свойство носит название правило трех сигм (рис. 12.6).

Рис. 12.6. Правило трех сигм

Пример 8.

Построить графики для случая µ₂>µ₁; σ₂>σ₁.

Решение. Рис. 11.5 г.

Варианты заданий

№12.1. Случайная величина X задана законом распределения:

	0,1	0,4	0,5

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения.

№12.2. Найти дисперсию случайной величины X, зная закон ее распределения. Построить многоугольник распределения.

	-1
	0,48	0,01	0,09	0,42

№12.3. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения.

	0,2	0,4	0,6	0,8
	0,1	0,2	0,4	P4	0,1

Чему равна вероятность Р₄(X=0,8)? Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

№12.4. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения.

	P1	0,15	P3	0,25	0,35

Найти вероятность Р₁(х = 3) и P₃(х = 5), если известно, что Р₃ в 4 раза больше Р₁. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

№12.5. Дискретная случайная величина x – число мальчиков в семьях с 3 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки: а) составьте ряд распределения числа рождений мальчиков; б) постройте многоугольник распределения.

№12.6. 2 стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по 2 выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6. Найдите закон распределения случайной величины x, равной общему числу попаданий в мишень.

№12.7. Дискретная случайная величина x задана таблицей распределения:

xi	-1
pi	0,25	0,5	0,25

Найдите функцию распределения F(x) и, используя ее, найдите вероятность события . Постройте график функции F(x).

№12.8. Случайная величина X имеет плотность вероятности

Найдите функцию распределения F(x) и вероятность события

№12.9. Плотность вероятности случайной величины x, распределенной равномерно на отрезке , имеет вид:

Найдите математическое ожидание величины x.

№12.10. Даны все возможные значения дискретной случайной величины X: x₁ =1, x₂= 2, x₃= 3, а также известны Найдите закон распределения величины x.

№12.11. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины x, имеющей плотность вероятности

.

Пользуясь правилом «трех сигм», укажите интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который попадает случайная величина x с вероятностью 0,9973.