Формулы для вычисления первой производной

 

Численное дифференцирование весьма чувствительно к погрешностям, вызванным неточностью исходных данных. Значительно меньшую погрешность имеет дифференцирование многочленов наилучшего среднеквадратического приближения (методом наименьших квадратов). На практике часто применяются формулы безразностного дифференцирования для производной первого порядка:

По трем точкам:

(5.1)

По четырем точкам:

; (5.2)

;

.

По пяти точкам:

;

;

; (5.3)

;

.

 

Формулы второй производной

 

По четырем точкам:

; (первое значение)

; (внутренние точки) (5.4)

. (последнее значение)

По пяти точкам:

;

;

; (5.5)

;

.

Заметим, что с ростом порядка производной резко падает точность численного дифференцирования. Поэтому на практике редко применяют формулы для производных второго порядка.

 

Примеры

 

№1. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, определить первые производные для функции у=х ² на интервале [1; 3] с шагом 0,2 и сравнить их значения с аналитическими.

Решение.

Воспользуемся формулами (5.1):

Для сравнения этих значений с аналитическими составим таблицу:

i	хi	у=х ^2	Аналитические значения у΄=2х	Численные значения у΄
	1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,8	1,44 1,96 2,56 3,24 4,84 5,76 6,76 7,84	2,4 2,8 3,2 3,6 4,4 4,8 5,2 5,6	2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,4 4,8 5,2 5,6

Таким образом, мы видим, что все значения первой производной полностью совпадают с аналитическими.

№2. Пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, определить первые производные для функции у=х ³ на отрезке [1; 3] с шагом 0,2 и сравнить эти значения с аналитическими.

Решение.

Пользуемся формулами (5.2):

и т.д. по формуле для .

Для сравнения полученных значений с аналитическими составим таблицу:

 

i	хi	у=х ^3	Аналитические значения у´= 3 х ^2	Численные значения у´(х)
	1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,8	1,728 2,744 4,096 5,832 10,648 13,824 17,576 21,952	4,32 5,88 7,68 9,72 14,52 17,28 20,28 23,52	4,32 5,88 7,68 9,72 14,52 17,28 20,28 23,52

Получим, что для функции у=х ³ численное дифференцирование по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.

№3. Найти вторую производную для функции у=х ³ на отрезке [1; 3] с шагом 0,2, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам и сравнить полученные значения с аналитическими.

Решение.

Воспользуемся формулами (5.4):

(первое значение)

(последнее значение)

и т.д. по формуле для внутренних точек.

 

 

Для сравнения составим таблицу:

i	хi	у=х ^3	Аналитические значения у″= 6 х	Численные значения у″
	1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,8	1,728 2,744 4,096 5,832 10,648 13,824 17,576 21,952	7,2 8,4 9,6 10,8 13,2 14,4 15,6 16,8	7,2 8,4 9,6 10,8 13,2 14,4 15,6 16,8

Таким образом, получим, что для функции у=х ³ численное нахождение второй производной по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.

Варианты заданий

 

№ 5.1. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

1. у=е^х;

2. ;

3. у= ln x;

4. ;

5. y= sin x;

6. y=e ^{2 x};

7. ;

8. у= (х– 1 ) ²;

9. y= cos x;

10. y =ln x ²;

 

№ 5.2. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

11. у =sin x;

12. y =cos x;

13. y =sin (x ² );

14. y =sin² x;

15. y =cos² x;

16. y =sin ( 2 x);

17. y =cos ( 2 x);

18. ;

19. y= ln² x;

20. y= ln³ x;

 

№ 5.3. Для перечисленных функций, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти вторые производные в точках от 1 до 3 с шагом 0,2 и сравнить полученные значения с аналитическими.

21. y = e ^{2 x} ;

22. ;

23. ;

24. у =(х –1)²;

25. y =ln(x ²);

26. y = ;

27. y= sin² x;

28. ;

29. ;

30. .

 

5.5. Контрольные вопросы

Глава 6 Основы интерполяции.

Постановка задачи

 

Пусть некоторая функция f(x) задана таблично на интервале [a,b]

f (x_n)=y_n, f(x₁)=y₁,..., f(x_n)=y_n (6.1)
в n +1 точках x₀, x₁, x₂,...,x_n.

Под интерполяцией понимается нахождение по таблице значений функции её аналитического описания, позволяющего вычислять значение этой функции от аргумента отсутствующего в таблице, т.е. так называемое чтение "между" строк. Задача сводится к построению функции f(x) (интерполирующей функции), принадлежащей известному классу функций и принимающей в точках x₀, x₁, x₂,..., x_n (узлах интерполяции) те же значения, что и функция

f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁,..., f(x_n)=y_n,

а в остальных точках отрезка [a,b] приближённо представляющая функцию f(x) с какой-то степенью точности.

При этом допускают, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на нём в каждой точке конечные производные любого порядка, а узлы интерполирования отличны друг от друга.

Через точки x₀, x₁, x₂ ,..., x_n можно провести бесчисленное множество кривых (рис. 6.1). Следовательно, задача отыскания функции f(x) по её значениям, поставленная таким образом, является неопределённой: можно построить бесчисленное множество функций принимающих при x₀, x₁, x₂ ,..., x_n, значение y₀, y₁, y₂,..., y_n

Рис. 6.1

 

Чтобы получить единственную f(x) наложим на неё дополнительные ограничения, а именно, в качестве f(x) используем полином P(x) степени на единицу меньше числа заданных значений n +1.