Геометрическая и механическая интерпретации производной

ЛЕКЦИЯ №1

Тема: Основы математического анализа

План:

1. Понятие производной функции

2. Правила дифференцирования функции

3. Понятие дифференциала функции

4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

5. Частные производные и полный дифференциал

6. Понятие неопределенного интеграла, свойства

7. Методы интегрирования

8. Понятие определенного интеграла, свойства

9. Дифференциальные уравнения

 

Понятие производной функции

Рассмотрим функцию , определенную в интервале [a, b].

Пусть x_oи x – два произвольных значения из этого интервала. Обозначим x – x_o = Δx, откуда x = х_o + Δx. Говорят, что для перехода от значения аргумента х_o к значению xпервоначальному значению придано приращение Δx. Прира­щением Δy функции , соответствующим приращению Δxаргумента xв точке x_o (рис. 1), называется разность

Δy = f(x_o + Δx) – f(х_o). (1)

 

Рис. 1

Пусть определена на некотором промежутке и пусть x_o – некоторая точка этого промежутка. Пусть Δx – прираще­ние к значению аргумента такое, что (x_o + Δx)не выходит за пределы упомянутого промежутка, а Δy = f(x_o + Δx) – f(х_o) – соответствующее приращение функции.

Определение. Если существует , то этот предел называется производной от функции по переменной x в точке x_o (обозначения: или у'_х). Итак:

у'_х = = (2)

Если предел (2) конечен, то производная называется ко­нечной,если же этот предел бесконечен, то у'_х — бесконечная производная.

Если конечная производная существует в каждой точке неко­торого множества, то она оказывается функцией от x, заданной на этом множестве.

Правила дифференцирования

1. Производная от постоянной величины равна нулю, т. е.
если у =C, то y'= 0:

C'= 0. (3)

2. Производная алгебраической суммы конечного числа
функций равна сумме производных слагаемых:

(u + v + w +...)' = u' + v' + w' +... (3)

3. Производная произведения двух функций определяется
формулой:

(u ∙ v)' = u' ∙ v + u ∙ v' (4)

4. Производная частного от деления двух функций опреде
ляется формулой:

(5)

Пример 1. Найти производную функции .

Используя таблицу производных, получаем:

,

Пример 2. Найти производную функции y = x ∙ sinx.

Используя правило дифференцирования произведения, получим:

.

 

Производные основных элементарных функций

 

Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств.

Пример.

Метод разложения

Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в линейную комбинацию более простых функций с использованием известных формул.

Пример.

.

 

Метод подведения под знак дифференциала

Для приведения данного интеграла к табличному бывает удобно сделать преобразования дифференциала.

а) Подведение под знак дифференциала линейной функции

d(ах+b) = а dх,отсюда dх = d (ах + b), а 0, в частности

dх = d(х + b), dх = d(ах),т.е. дифференциал не меняется, если к переменной прибавить или отнять постоянную величину, а если переменная увеличивается в несколько раз, то дифферен­циал умножается на обратную величину.

Пример.

.

б) Подведение под знак дифференциала основных элементарных функций: e^x dx = d(e^x), cos x dx = d(sin x), x dx = d(x²)/2 и т. д.

Пример.

Метод замены переменной

Существуют две формулы замены переменной в неопреде­ленном интеграле:

1. , где x = φ(t)

2. , где φ(x) = t

Здесь x = φ(t) и t = φ(x) суть монотонные дифференцируе­мые функции своих переменных.

Искусство применения метода состоит, в основном, в выборе функций х = φ(t) или t = φ(x) так, чтобы новые интегралы являлись табличными или сводились к ним. В окончательном ответе следует вернуться к старой переменной.

Замечание. Подведение под знак дифференциала является частным случаем замены переменной, так как выполняются те же действия, только не вводится новая переменная. Это произ­водится в уме.

Пример.

Здесь следует ввести новую переменную t так, чтобы избавиться от квадратного корня. Положим x+1 = t², тогда x = t² – 1, а dx = 2t dt:

Метод интегрирования по частям

Дифференциал произведения двух функций определяется формулой

Интегрируя это равенство, получим выражение:

Отсюда .Это и есть формула интегриро­вания по частям.

Применение этого метода предполагает субъективное пред­ставление подынтегрального выражения в виде ,и при этом интеграл должен быть не труднее, чем . В противном случае применение метода не имеет смысла.

Итак, искусство применения метода интегрирования по ча­стям предполагает умение выделять из подынтегральной функ­ции сомножители u и dυс учетом вышеизложенных требований. Конечно, не все интегралы могут быть найдены этим методом.

Пример.

 

Формула Ньютона-Лейбница

Непосредственное вычисление интеграла как предела соот­ветствующих интегральных сумм затруднительно, да и не требуется, поскольку для этой цели можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла:

, где F`(x) = f(x) (11)

Равенство (11) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Разность значений функции часто записывают так:

(12)

В случае использования (12) формуле можно придать вид

, где F`(x) = f(x)

Формула Ньютона-Лейбница дает нам альтернативный способ вычисления определенных интегралов. Она позволяет находить их по формуле

 

Дифференциальные уравнения

Основные понятия и определения. При решении различных задач математики и физики, био­логии и медицины довольно часто не удается сразу установить функциональную зависимость в виде формулы, связывающей переменные величины, которые описывают исследуемый про­цесс. Обычно приходится использовать уравнения, содержащие, кроме независимой переменной и неизвестной функции, еще и ее производные.

Определение. Уравнение, связывающее независимую пере­менную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным.

Неизвестную функцию обычно обозначают у(х)или просто у, а ее производные — у', у"и т. д.

Возможны и другие обозначения, например: если у = х(t), то х'(t),х"(t)— ее производные, а t — независимая переменная.

Определение. Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Об­щий вид обыкновенного дифференциального уравнения:

или .

Функции Fи f могут не содержать некоторых аргументов, но для того чтобы уравнения были дифференциальными, суще­ственно наличие производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения назы­вается порядок старшей производной, входящей в него.

Например: х²у' – у = 0, у' + sin х = 0 — уравнения первого порядка, а у" + 2у' + 5у = х — уравнение второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения на­зывается такая функция, которая обращает уравнение в тожде­ство после подстановки этой функции и ее производных в урав­нение.

При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, что связано с появлением произволь­ной постоянной. Если операция интегрирования применяется nраз, то очевидно, что в решении будет содержаться nпроизволь­ных постоянных.

ЛЕКЦИЯ №1

Тема: Основы математического анализа

План:

1. Понятие производной функции

2. Правила дифференцирования функции

3. Понятие дифференциала функции

4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

5. Частные производные и полный дифференциал

6. Понятие неопределенного интеграла, свойства

7. Методы интегрирования

8. Понятие определенного интеграла, свойства

9. Дифференциальные уравнения

 

Понятие производной функции

Рассмотрим функцию , определенную в интервале [a, b].

Пусть x_oи x – два произвольных значения из этого интервала. Обозначим x – x_o = Δx, откуда x = х_o + Δx. Говорят, что для перехода от значения аргумента х_o к значению xпервоначальному значению придано приращение Δx. Прира­щением Δy функции , соответствующим приращению Δxаргумента xв точке x_o (рис. 1), называется разность

Δy = f(x_o + Δx) – f(х_o). (1)

 

Рис. 1

Пусть определена на некотором промежутке и пусть x_o – некоторая точка этого промежутка. Пусть Δx – прираще­ние к значению аргумента такое, что (x_o + Δx)не выходит за пределы упомянутого промежутка, а Δy = f(x_o + Δx) – f(х_o) – соответствующее приращение функции.

Определение. Если существует , то этот предел называется производной от функции по переменной x в точке x_o (обозначения: или у'_х). Итак:

у'_х = = (2)

Если предел (2) конечен, то производная называется ко­нечной,если же этот предел бесконечен, то у'_х — бесконечная производная.

Если конечная производная существует в каждой точке неко­торого множества, то она оказывается функцией от x, заданной на этом множестве.

Геометрическая и механическая интерпретации производной

1. Если x = f(t)есть уравнение прямолинейного движения точки,

то производная представляет собой скорость точки в момент времени t.

Быстрота протекания физических, химических, биологиче­ских и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при помощи производной.

Пример. Предположим, что температура тела Тесть убы­вающая функция времени: Т = f(t). Пусть t — фиксированный момент времени. Если tполучает приращение Δt, температура Tуменьшается на ΔT; тогда отношение ΔT / Δtпредставляет среднюю скорость охлаждения тела. Предел этого отно­шения при Δt , т.е. = f '(t)выражает скорость охлаждения тела в данный момент t.

Таким образом, скорость охлаждения тела равна производ­ной температуры тела по времени.

2. Производная f'(х) функции геометрически пред­ставляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x.

При этом если существует касательная, то существует и про­изводная, и наоборот. Случаю касательной, не параллельной оси

Рис. 2 (а и б – конечные производные в точке М₀; в – бесконечная производная в точке М₀)

ОУ,отвечает конечная производная, параллельной оси ОУ— бесконечная производная (рис. 2).

 

Правила дифференцирования

1. Производная от постоянной величины равна нулю, т. е.
если у =C, то y'= 0:

C'= 0. (3)

2. Производная алгебраической суммы конечного числа
функций равна сумме производных слагаемых:

(u + v + w +...)' = u' + v' + w' +... (3)

3. Производная произведения двух функций определяется
формулой:

(u ∙ v)' = u' ∙ v + u ∙ v' (4)

4. Производная частного от деления двух функций опреде
ляется формулой:

(5)

Пример 1. Найти производную функции .

Используя таблицу производных, получаем:

,

Пример 2. Найти производную функции y = x ∙ sinx.

Используя правило дифференцирования произведения, получим:

.