Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Теорема. Если функция дифференцируема в точ­ке x, причем f '(x) 0, то при Δx —> 0 приращение Δy и диф­ференциал dyфункции являются эквивалентными бесконечно малыми.

На этой теореме и основано применение дифференциала к приближенным вычислениям. Известно, что любую из двух эквивалентных бесконечно малых можно приближенно заменить другой. Следовательно,

Δy ≈ dy.(9)

Абсолютная и относительная погрешности этого равенства могут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно ма­лом ‌‌‌ ‌‌. Структура дифференциала обычно значительно проще структуры приращения функции, в силу чего формула (9) широко применяется в приближенных вычислениях.

 

Частные производные и полный дифференциал

5.1. Частные производные. Пусть (x, у) — произвольная фиксированная точка из обла­сти определения z = f(x, у). Рассмотрим предел

.

Этот предел (если он существует) называется частной производ­ной (1-го порядка) данной функции zпо переменной xв точке (x, у). Производная обозначается одним из символов: .

Аналогично, .

Частные производные функции z = f(x, у) сами представля­ют собой некоторые функции переменных x и у.

Таким образом, частная производная функции z= f(x, у) по аргументу x есть производная этой функции по x при постоянном значении у. Аналогично, есть производная функции z= f(x, у) по у в предположении, что x является константой.

Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные этой функции по одному из них при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

 

5.2. Полный дифференциал. Пусть Р(x, у) — данная точка, а Р'(х+Δх, у+Δу)— близкая точка, отвечающая приращениям аргументов Δх и Δу.Пол­ным приращением функции z= f(x, у)в точке Рназывается разность Δz = f(Р') – f(Р) = f(x + Δx, у + Δу) – f(x, у). Если приращение Δzможно представить в виде Δz = АΔх + BΔу + ε,где ε — бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с расстоянием ρ = между точками Р и Р' (т.е. ε / ρ —> 0 при ρ —> 0), то функция z= f(x, у) называется дифференцируемой в точке Р, а главная линейная часть ее приращения AΔx + ВΔу = dz называется полным дифференциалом функции в точке Р. Функция, имеющая диф­ференциал в каждой точке некоторой области D, называется дифференцируемой в этой области.

Если функция дифференцируема, то необходимо, чтобы вы­полнялись равенства:

A = , B = .

Достаточным условием дифференцируемости является нали­чие непрерывных частных производных. Так как приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами, т. е. Δx = dx, Δу = dу, то дифференциал функции z= f(x, у) вычисляется по формуле

.