Понятие неопределенного интеграла, свойства.

При изучении дифференциального исчисления рассматрива-
лась задача нахождения производной или дифференциала по
заданной функции у = F(х),т. е. необходимо было найти f(x) =
= F'(х) или dF(х) = F'(х)dх = f(х)dх. Можно поставить
обратную задачу: восстановить продифференцированную функ-
цию, т.е., зная производную f(x) (или дифференциал f(x) dx),
найти такую функцию F(х), чтобы F'(х) = f(x). Например,
пусть известна скорость перемещения точки υ= υ(t), а надо найти закон ее перемещения S = S' (t),причем S'(t) = υ (t).Эта задача оказывается значительно более трудной, чем задача диф­ференцирования. Для решения подобных задач вводятся новые понятия и действия.

Определение 1. Дифференцируемая функция F(х) называ­ется первообразной для функции f(x) на (a, b), если F'(х) = f(x) на (а, b).

Например, для f(x) = х²первообразная F(х) = x³/3, так как F'(х) =(x³/3)' = х²;для f(x) = соs x первообразной будет F(х) = sin х,потому что F'(х) = (sin x)' = соs x, что совпадает с f(x).

Всегда ли существует первообразная для заданной функ­ции f(x)? Ответ положителен, если эта функция непрерывна на (а,b).Кроме того, первообразных бесчисленное множество и отличаются они друг от друга только постоянным слагаемым. Действительно, sin x + 2, sin x – 2, sin x+ с, — все эти функции будут первообразными для соs x (производная от постоянной величины равна 0).

Определение 2. Выражение F(х) + С,где С — произволь­ная постоянная величина, определяющее множество первообраз­ных для функции f(x), называется неопределенным интегралом и обозначается символом ,т.е. = F(х) + С, где знак — знак неопределенного интеграла, f(x) — называ­ется подынтегральной функцией, f(x) dx— подынтегральным выражением, x — переменной интегрирования.

Определение 3. Операция нахождения первообразной по за­данной производной или дифференциалу называется интегриро­ванием этой функции.

Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, его можно проверить дифференцированием, причем дифферен­цирование однозначно, а интегрирование дает ответ с точностью до постоянной. Придавая постоянной величине С конкретные значения С₁, С₂, Сз, получим различные функции:

y₁(х) = F(х) + С₁, у₂(х) = F(х) + С₂, y₃(х) = F(х) + С₃,

каждая из которых задает на координатной плоскости кривую, называемую интегральной. Все графики интегральных кривых сдвинуты относительно друг друга вдоль оси ОУ.Следователь­но, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых (рис. 4).

Рис. 4

 

Итак, введены новые понятия (первообразной и неопреде­ленного интеграла) и новое действие (интегрирование), но как все-таки находить первообразную? Чтобы легко было ответить на этот вопрос, надо в первую очередь составить и выучить наизусть таблицу неопределенных интегралов от основных эле­ментарных функций. Она получается в результате обращения соответствующих формул дифференцирования. Например, если (sin x)' = соs х, то соs х dх= sin x+ С.

Обычно в таблицу включаются и некоторые интегралы, полу­ченные после применения простейших методов интегрирования.