Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка

 

Задача о радиоактивном распаде

Скорость распада Rа (радия) в каждый момент времени про­порциональна его наличной массе. Найти закон радиоактивного распада Rа, если известно, что в начальный момент имелось m₀ Rа и период полураспада Rа равен 1590 лет.

Решение. Пусть в момент tмасса Rа составляет xг.Тогда скорость распада Rа равна

По условию задачи

где k — коэффициент пропорциональности.

Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим

ln x = - kt + lnC,

откуда .

Для определения Сиспользуем начальное условие: при t= 0

x = m₀.

Тогда С =m₀ и, значит, .

Коэффициент пропорциональности kопределяем из дополнительного условия: при t= 1590 x = m₀ /2.

Имеем m₀ /2= m₀е^-1590kили е^1590k = 2. Отсюда

е^k = 2¹/¹⁵⁹⁰ и искомая формула x(t) = m₀2^-t/¹⁵⁹⁰.

 

Задача о скорости размножения бактерий

Скорость размножения бактерий пропорциональна их коли­честву. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение 3 часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бак­терий от их количества. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 часов?

Решение. Пусть x — количество бактерий в момент t. Тогда согласно условию ,

где k— коэффициент пропорциональности.

Отсюда x = ce^kt. Из условия известно, что х(при t=0) = 100. Значит,

С = 100, х = 100е^kt.

Из дополнительного условия x(при t=3) = 200. Тогда 200 = 100е^3k,

2 = е^3k, е^k = 2^1/3. Искомая функция:

х = 100 ∙2^t/3.

Значит, при t= 9x = 800, т. е. в течение 9 часов количество бактерий увеличилось в 8 раз.

Задача об увеличении количества фермента

В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действую­щего фермента пропорциональна его начальному количеству х.Первоначальное количество фермента ав течение часа удвои­лось. Найти зависимость x(t).

Решение. По условию дифференциальное уравнение про­цесса имеет вид

,

отсюда х = се^kt.

Но x(при t=0) = a. Значит, С = а,и тогда х = aе^kt. Известно также, что х(при t=1) = 2а. Следовательно, 2а = ае^k, е^k = 2 x(t) = a2^t .

Задача. Динамика численности популяции

Рассмотрим колонию организмов, обитающих в условиях не­ограниченных ресурсов питания. Предположим, что колония не подавляется никаким другим видом. В силу размножения и смертности число живых организмов в колонии будет меняться с течением времени. Найти закон этого изменения.

Решение. Пусть x = x(t) — число живых организмов в момент t,

х (t+ Δt) — в момент t + Δt. Тогда Δx = х (t + Δt) – x(t) —приращение функции x(t)за промежуток Δt.

Из чего складывается приращение?

За время Δtвзрослые особи (или их часть) произведут потом­ство, а часть особей может погибнуть. Таким образом,

Δx = G – H,

где G — число развившихся особей за период Δt, H — число погибших особей за это время.

Gзависит от длины промежутка Δt(чем больше Δt,тем больше G)и от количества «родителей» (чем больше взрослых особей, тем больше их потомство):

G = Ф(x, Δt),

где Ф (x, Δt)растет с ростом x или Δtи равна нулю, если равна нулю одна из переменных.

Из экспериментов известно, что Δt должна входить линейно: если промежуточные наблюдения увеличить, например, в 2 раза, то и прирост потомства микроорганизмов увеличивается в 2 раза, т.е. Ф(х, Δt) = f (x) Δt.

Характер f(x) определить сложнее. Но известно, что f (x) монотонно возрастает с ростом x и f(0) = 0.

Но каков рост f (x)? Он существенно зависит от биологиче­ских особенностей исследуемого вида, и для его описания могут понадобиться те или иные степени ж, рациональная функция и т. п.

Мы рассмотрим простейший случай, когда численность потомства пропорциональна количеству «родителей»: f(x) = αх, α = соnst (например, такой случай реализуется при делении клеток).

Итак, G = αх Δt.

Аналогично, Н = βx Δt.

Следовательно,

Δx = γx Δt, (19)

где γ = β – α.

Разделим обе части равенства (19) на Δtи перейдем к пре­делу при Δt—» 0:

и, значит,

.

Тогда, после интегрирования и разделения переменных, бу­дем иметь x(t) = Ce^γt.

Используем начальное условие: x(t₀ ) = x₀ (t₀ — время нача­ла наблюдения за колонией; x₀ — количество организмов).

Тогда искомый закон будет иметь такой вид:

Нужно отметить, что найденный закон носит только предпо­ложительный пока характер. Для удвоения количества живых организмов требуется всегда одно и то же время, независимо от первоначального количества (кстати, население Земли удваива­ется примерно через каждые 40 лет).