Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка



 

Задача о радиоактивном распаде

Скорость распада Rа (радия) в каждый момент времени про­порциональна его наличной массе. Найти закон радиоактивного распада Rа, если известно, что в начальный момент имелось m0 Rа и период полураспада Rа равен 1590 лет.

Решение. Пусть в момент tмасса Rа составляет xг.Тогда скорость распада Rа равна

По условию задачи

где kкоэффициент пропорциональности.

Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим

ln x = - kt + lnC,

откуда .

Для определения Сиспользуем начальное условие: при t= 0

x = m0.

Тогда С =m0 и, значит, .

Коэффициент пропорциональности kопределяем из дополнительного условия: при t= 1590 x = m0 /2.

Имеем m0 /2= m0е-1590kили е1590k = 2. Отсюда

еk = 21/1590 и искомая формула x(t) = m02-t/1590.

 

Задача о скорости размножения бактерий

Скорость размножения бактерий пропорциональна их коли­честву. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение 3 часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бак­терий от их количества. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 часов?

Решение. Пусть xколичество бактерий в момент t. Тогда согласно условию ,

где k— коэффициент пропорциональности.

Отсюда x = cekt . Из условия известно, что х(при t=0) = 100. Значит,

С = 100, х = 100еkt.

Из дополнительного условия x(при t=3) = 200. Тогда 200 = 100е3k,

2 = е3k, еk = 21/3. Искомая функция:

х = 100 ∙2t/3.

Значит, при t= 9x = 800, т. е. в течение 9 часов количество бактерий увеличилось в 8 раз.

Задача об увеличении количества фермента

В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действую­щего фермента пропорциональна его начальному количеству х.Первоначальное количество фермента ав течение часа удвои­лось. Найти зависимость x(t).

Решение. По условию дифференциальное уравнение про­цесса имеет вид

,

отсюда х = сеkt .

Но x(при t=0) = a. Значит, С = а,и тогда х = aеkt. Известно также, что х(при t=1) = 2а. Следовательно, 2а = аеk, еk = 2 x(t) = a2t .

Задача. Динамика численности популяции

Рассмотрим колонию организмов, обитающих в условиях не­ограниченных ресурсов питания. Предположим, что колония не подавляется никаким другим видом. В силу размножения и смертности число живых организмов в колонии будет меняться с течением времени. Найти закон этого изменения.

Решение. Пусть x = x(t)число живых организмов в момент t,

х (t+ Δt) — в момент t + Δt . Тогда Δx = х (t + Δt) – x(t) —приращение функции x(t)за промежуток Δt .

Из чего складывается приращение?

За время Δtвзрослые особи (или их часть) произведут потом­ство, а часть особей может погибнуть. Таким образом,

Δx = G – H,

где G — число развившихся особей за период Δt, Hчисло погибших особей за это время.

Gзависит от длины промежутка Δt(чем больше Δt,тем больше G)и от количества «родителей» (чем больше взрослых особей, тем больше их потомство):

G = Ф(x, Δt ),

где Ф (x, Δt )растет с ростом x или Δtи равна нулю, если равна нулю одна из переменных.

Из экспериментов известно, что Δt должна входить линейно: если промежуточные наблюдения увеличить, например, в 2 раза, то и прирост потомства микроорганизмов увеличивается в 2 раза, т.е. Ф(х, Δt ) = f (x) Δt .

Характер f(x) определить сложнее. Но известно, что f (x) монотонно возрастает с ростом x и f(0) = 0.

Но каков рост f (x)? Он существенно зависит от биологиче­ских особенностей исследуемого вида, и для его описания могут понадобиться те или иные степени ж, рациональная функция и т. п.

Мы рассмотрим простейший случай, когда численность потомства пропорциональна количеству «родителей»: f(x) = αх, α = соnst (например, такой случай реализуется при делении клеток).

Итак, G = αх Δt .

Аналогично, Н = βx Δt .

Следовательно,

Δx = γx Δt, (19)

где γ = β – α .

Разделим обе части равенства (19) на Δtи перейдем к пре­делу при Δt—» 0:

и, значит,

.

Тогда, после интегрирования и разделения переменных, бу­дем иметь x(t) = Ceγt .

Используем начальное условие: x(t0 ) = x0 (t0 — время нача­ла наблюдения за колонией; x0 — количество организмов).

Тогда искомый закон будет иметь такой вид:

Нужно отметить, что найденный закон носит только предпо­ложительный пока характер. Для удвоения количества живых организмов требуется всегда одно и то же время, независимо от первоначального количества (кстати, население Земли удваива­ется примерно через каждые 40 лет).

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-12-12; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.237.20.246 (0.008 с.)