Свойства неопределенных интегралов

Рассмотрим простейшие свойства неопределенного интегра­ла, которые позволят интегрировать не только основные элемен­тарные функции.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подын­тегральной функции:

.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

Пример 1.

Пример 2.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Пример 3.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Пример 4.

Формула интегрирования остается справедливой, ес­ли переменная интегрирования является функцией: если

, то , где u = φ(x) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Это свойство называется инвариантностью.

Пример 5. , поэтому

, .

Сравнить с .

В интегральном исчислении нет универсального способа ин­тегрирования. Применение различных методов приводит данный интеграл к табличному, который надо узнать с учетом свойства инвариантности. Полезно прочитать табличный интеграл, обра­щая внимание на то, где находится переменная интегрирования (в показателе степени, в знаменателе, под знаком синуса и т. д.).

 

Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств.

Пример.

Метод разложения

Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в линейную комбинацию более простых функций с использованием известных формул.

Пример.

.

 

Метод подведения под знак дифференциала

Для приведения данного интеграла к табличному бывает удобно сделать преобразования дифференциала.

а) Подведение под знак дифференциала линейной функции

d(ах+b) = а dх,отсюда dх = d (ах + b), а 0, в частности

dх = d(х + b), dх = d(ах),т.е. дифференциал не меняется, если к переменной прибавить или отнять постоянную величину, а если переменная увеличивается в несколько раз, то дифферен­циал умножается на обратную величину.

Пример.

.

б) Подведение под знак дифференциала основных элементарных функций: e^x dx = d(e^x), cos x dx = d(sin x), x dx = d(x²)/2 и т. д.

Пример.

Метод замены переменной

Существуют две формулы замены переменной в неопреде­ленном интеграле:

1. , где x = φ(t)

2. , где φ(x) = t

Здесь x = φ(t) и t = φ(x) суть монотонные дифференцируе­мые функции своих переменных.

Искусство применения метода состоит, в основном, в выборе функций х = φ(t) или t = φ(x) так, чтобы новые интегралы являлись табличными или сводились к ним. В окончательном ответе следует вернуться к старой переменной.

Замечание. Подведение под знак дифференциала является частным случаем замены переменной, так как выполняются те же действия, только не вводится новая переменная. Это произ­водится в уме.

Пример.

Здесь следует ввести новую переменную t так, чтобы избавиться от квадратного корня. Положим x+1 = t², тогда x = t² – 1, а dx = 2t dt:

Метод интегрирования по частям

Дифференциал произведения двух функций определяется формулой

Интегрируя это равенство, получим выражение:

Отсюда .Это и есть формула интегриро­вания по частям.

Применение этого метода предполагает субъективное пред­ставление подынтегрального выражения в виде ,и при этом интеграл должен быть не труднее, чем . В противном случае применение метода не имеет смысла.

Итак, искусство применения метода интегрирования по ча­стям предполагает умение выделять из подынтегральной функ­ции сомножители u и dυс учетом вышеизложенных требований. Конечно, не все интегралы могут быть найдены этим методом.

Пример.