Частные производные высших порядков

 

Пусть дана функция двух переменных z=f(x,y). Ее частные производные и , вообще говоря, являются функциями двух переменных х и у. Поэтому эти функции можно снова дифференцировать по х и у. Таких частных производных второго порядка всего четыре, т.к. каждую из производных и можно дифференцировать как по х, так и по у.

 

Эти производные обозначаются так:

– дифференцируем два раза подряд по х;

 

– сначала дифференцируем по х, затем по у;

 

– сначала дифференцируем по у, затем по х;

 

– два раза дифференцируем по у.

 

Можно продолжать этот процесс, дифференцируя вторые производные по х или у и получая третьи производные и т.д.

– частная производная n -го порядка, дифференцирование ведется сначала р раз по х, затем n–p раз по у.

Аналогично определяются производные любого порядка от функции любого числа переменных.

 

Пример. Вычислить производные 2-го порядка функции f(x,y)=х²у+у³.

 

 

 

В данном примере оказалось, что , т.е. смешанная производная по х и у оказалась не зависящей от порядка дифференцирования. Оказывается, что это совсем не случайно.

Теорема (без доказательства).

Если функция f(x,y) и ее частные производные до второго порядка включительно определены и непрерывны в окрестности точки (х,у), то в этой окрестности

 

.

 

Из этой теоремы следует, что смешанные частные производные второго порядка не зависят от порядка дифференцирования. Это свойство дифференцируемых функций следует иметь в виду при выполнении практических расчетов.

 

Производная по направлению

Пусть в пространственной области задана функция трех переменных . Выберем в этой области две точки: и (знаки приращений и могут быть произвольными) и проведем вектор (см. рис.).

 

 

Этот вектор является диагональю параллелепипеда со сторонами . Очевидно, его длина равна

.

Будем считать, что функция дифференцируема и запишем полное приращение при переходе от точки к точке в виде

 

, (3.10.1)

 

где и стремятся к нулю, если . Разделим все члены в (3.10.1) на :

.

 

. (3.10.2)

 

 

Очевидно, – направляющие косинусы вектора .

Пусть теперь . Величину называют производной функции в точке по направлению вектора . Таким образом,

 

. (3.10.3)

 

Из этой формулы следует, что производная функции по любому направлению может быть вычислена, если известны все ее частные производные. Сами же частные производные являются производными по некоторым направлениям. Например, если выбрать в качестве заданного направления положительное направление оси ,

то , тогда и

 

Аналогично производные и являются производными вдоль положительных направлений координатных осей и .

 

Пример.

а) Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью угол º;

б) Найти производную функции в точке в направлении вектора ;

в) Найти производную функции в точке в направлении, составляющим одинаковые острые углы с направлениями координатных осей.

 

Решение.

а) Прежде, чем привести решение этой задачи, заметим, что формула (3.10.3) пригодна и для функций двух переменных. Для этого достаточно положить , т.е. исключить в этой формуле третье слагаемое.

Итак, в нашем случае º, º, т.е. .

 

.

 

Тогда

 

б) Сначала найдем направляющие косинусы вектора .

 

.

 

Теперь вычислим частные производные:

 

.

 

В точке эти производные равны

 

. Итак,

 

.

 

в) Воспользуемся тем, что

и .

 

Отсюда, т.к. углы – острые, то .

 

.

 

Окончательно получаем .

 

Градиент

Пусть в некоторой области задана функция . Введем вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных :

 

.

 

Этот вектор называется градиентом функции . Говорят также, что в области определено векторное поле градиентов (в каждой точке имеется свой вектор градиента). Сами же значения называют скалярным полем (т.к. значения – скаляры, т.е. числа).

 

Теорема.

Пусть дано скалярное поле и в этом скалярном поле определено поле градиентов

 

.

 

Тогда производная по направлению вектора равна проекции вектора на вектор :

 

пр . (3.11.1)

 

Геометрически формулу (3.11.1) можно трактовать с помощью следующего рисунка

 

Здесь – угол между векторами и . Таким образом

 

. (3.11.2)

Из определения градиента и формул (3.11.1) (3.11.2) следуют свойства градиента:

1) Производная в данной точке по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента ( на приведенном выше рисунке); это наибольшее значение производной равно . Другими словами, скалярное поле максимально изменяется в направлении градиента.

2) Производная по направлению, перпендикулярном градиенту, равна нулю: в этом случае . Таким образом, в направлении, перпендикулярном градиенту, функция не изменяется (мы находимся на поверхности заданного уровня ).

Пример 1.

Найти градиент функции в точке .

 

Для функции двух переменных градиент, очевидно, находится в виде:

 

.

 

В нашем случае

 

.

 

Тогда .

 

Пример 2.

Для функции найти величину и направление в точке .

 

 

,

 

поэтому .

Очевидно, , а направляющие косинусы вектора равны:

 

.