Некоторые множества вещественных чисел

В математике множество относится к так называемым первичным, неопределяемым понятиям (в школьной математике такими первичными понятиями являются понятия числа, точки, прямой и т.д.). Под множеством понимается собрание или совокупность каких-либо предметов. Примеры: множество деревьев на поляне; множество всех целых чисел. Обозначаются множества обычно большими латинскими буквами: A, B,U и т.д. Если x – один из предметов множества A, то записывают так: (x принадлежит A). Если какой-то элемент не принадлежит множеству A, то пишут так: .

В дальнейшем мы будем иметь дело с различными множествами действительных чисел. Наиболее часто используются следующие числовые множества, задаваемые с помощью неравенств:

 

1. ; a и b – граничные точки отрезка; любое число a<x<b – это внутренняя точка отрезка;

2. a<x<b, (a,b) – интервал;

3. – полуинтервалы;

4. Любой интервал, содержащий точку C, называют ее

окрестностью;

5. Интервал называется -окрест-ностью точки C;

6. Множество всех вещественных чисел будем называть бесконечной числовой прямой, обозначение: ;

7. – полупрямые;

8. – открытые полупрямые.

 

Основные операции над множествами

1. Объединением множеств A и B называется множество .

2. Пересечением множеств A и B называется множество .

3. Разностью множеств A и B называется множество .

Запись означает, что каждый элемент множества A является элементом множества B.

Множества A и B называются равными, если (состоят из одних и тех же элементов).

 

Множества вещественных чисел, ограниченные

Сверху или снизу

Рассмотрим произвольное множество вещественных чисел, содержащее хотя бы одно число. Отдельные числа этого множества будем называть его элементами.

 

Определение.

Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число M (число m), что каждый элемент x множества удовлетворяет неравенству

При этом число M (число m) называется верхней гранью (нижней гранью) множества . Любое ограниченное сверху множество имеет бесконечно много верхних граней. Любое , так же, как и M, является верхней гранью. Аналогичное замечание можно сделать относительно нижней грани.

Естественно, возникают вопросы: имеется ли среди верхних граней множества наименьшая? Или имеется ли среди нижних граней наибольшая?

 

Определение.

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом – супремум. Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью этого множества и обозначается – инфинум.

Это определение можно сформулировать по другому.

Число называется точной верхней (точной нижней) гранью множества , если выполнены следующие два требования:

1) Каждый элемент множества удовлетворяет неравенству

2) Каково бы ни было вещественное число , меньшее , найдется хотя бы один элемент x множества , удовлетворяющий неравенству ().

 

Теорема.

Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число , являющееся точной верхней (точной нижней) гранью этого множества.

Формулировка этой теоремы дается без доказательства.

 

Понятие о функции

Если каждому значению переменной x, принадлежащей некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y есть функция от x. Символьная запись:

 

Определение.

Совокупность значений x, для которых определяются значения y в силу правила f(x), называется областью определения (ОДЗ аргумента функции). Обозначается .

– множество значений, которые принимает функция

Функцию можно задать:

1) таблицей:

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

 

Существуют, например, таблицы тригонометрических, логарифмических, показательных функций и т.д.

 

2) графически:

 

 

3) аналитически (формулой):

Теперь я напомню вам про основные элементарные функции, которые изучались в школьном курсе математики.

 

1. Степенная функция

2. Показательная функция

3. Логарифмическая функция

4. Тригонометрические функции

5. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим области определения и графики этих функций.

Степенная функция

1. целое положительное число.

Область определения:

 

Примеры:

(парабола)

y y

 

 

y

x

 

 

2. – целое отрицательное число. Область определения:

 

 

 

 

2. Если

а) Если q – нечетное, то область определения:

 

Примеры:

 

б) Если q – четное, то область определения:

 

 

Пример:

 

3. Если

 

а) Если q – нечетное, то область определения:

Примеры:

 

 

б) Если q – четное, то область определения: x>0.

Пример:

 

4. Если – положительное иррациональное число, то область определения

 

Примеры:

 

 

6. Если – отрицательное иррациональное число, то область определения x>0.

Пример:

 

 

Показательная функция . Напомню, что a>0,

 

Область определения:

 

а) 0<a<1 б) a>1

 

Логарифмическая функция

Область определения x>0.

 

 

а) a>1 б) 0<a<1

 

 

Тригонометрические функции

Аргумент x в тригонометрических функциях y=sinx, y=cosx и т.д. выражается в радианах. Углу в Все тригонометрические функции – периодические. Дадим общее определение периодической функции.

 

Определение.

Функция называется периодической, если существует такое постоянное число T, от прибавления (вычитания) которого к аргументу x значение функции не меняется: Наименьшее такое число называется периодом функции. Напомню, что период функций y=sinx и y=cosx y=tgx и y=ctgx

 

Функция y=sinx определена при всех x. Ее график имеет вид:

 

 

Функция y=cosx также определена при всех x, а график ее изображен ниже:

 

 

 

Функция y=tgx определена при всех x, кроме точек Z – множество всех целых чисел.

 

 

График имеет вид:

 

 

 

Функция y=ctgx определена при всех x, за исключением

График имеет вид:

 

 

 

Обратные тригонометрические функции

Функция y=arcsinx; область определения:

График имеет вид:

 

Значения функции заполняют отрезок

 

Функция y=arccosx; область определения:

График имеет вид:

 

 

Значения функции находятся на отрезке

 

Функция y=arctgx; область определения:

График имеет вид:

 

 

 

Значения функции заполняют интервал

Функция y=arcсtgx определена при всех x.

 

График имеет вид:

 

Значения функции находятся в интервале

 

Мы с вами рассмотрели основные элементарные функции. Все эти функции вы изучали в школе.

Кроме основных элементарных функций в математике имеется понятие об элементарных функциях. Прежде, чем мы с ним познакомимся, введем вначале понятие сложной функции.

Если y является функцией от u, , а u в свою очередь зависит от переменной x, , то y также зависит от x. Эта зависимость записывается так: ; y является сложной функцией от x.

 

Пример:

– сложная функция.

Операция “функция от функции” может производиться не один, а любое число раз. Например, функция получена в результате следующих операций:

Теперь дадим определение элементарной функции.

 

Определение.

Элементарной функцией называется функция, которая составлена из основных элементарных функций при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. На основании этого определения ясно, что элементарные функции задаются аналитически.

 

Пример элементарной функции:

.