Начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена

Зададим произвольное число а и в правой части (1) сделаем замену

Теперь раскроем все квадратные скобки и приведем подобные члены с одинаковыми степенями (x–a). В результате получим

Равенство (2) называется разложением многочлена P (x) по степеням (x – a), а числа называется коэффициентами этого разложения.

Будем последовательно дифференцировать равенство (2):

 

В последнем равенстве положим :

Формула (4) называется формулой Тейлора разложения многочлена степени n по степеням (x – a).

Если а=0, то формула называется формулой Маклорена:

 

Пример:

Бином Ньютона.

Пусть , где а – произвольное число, а n – натуральное число.

k -я производная равна:

Это формула бинома Ньютона.

Если обозначить то формула записывается в виде .

Числа называются биномиальными коэффициентами. Эти коэффициенты обладают следующими свойствами (доказать самостоятельно):

равенства можно легко вычислить для любых n и k, пользуясь только одним действием сложения.

 

Располагая коэффициенты при различных n в отдельные строки, получим так называемый треугольник Паскаля.

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

………………….

В строке, соответствующей конкретному значению n, находится (n+1) число:

Примеры.

.

 

Выведем теперь формулу Тейлора для произвольной функции. Пусть в окрестности точки а задана функция f (x), не являющаяся многочленом степени n–1, но имеющая в точке а производные до n -го порядка включительно.

Это многочлен степени (n–1). Он называется многочленом Тейлора степени (n–1) функции f (x) по степеням (x–a). Если бы исходная функция f (x) была многочленом степени (n–1), то выполнялось бы тождество f (x) =Q (x) для всех х из нашей окрестности.

Но в данном случае это тождество не имеет места, т.к. мы предположили, что f (x) не есть многочлен степени (n–1).

Здесь , где Q (x) определен формулой . Индекс (n–1) выписан для удобства, чтобы подчеркнуть, что Q (x) – многочлен степени (n–1).

Равенство называется формулой Тейлора функции f (x) в окрестности точки x=a, а – остаточным членом или n -м остатком формулы Тейлора.

Оказывается, остаточный член может быть записан в весьма изящной форме: либо в форме Лагранжа, либо в форме Коши.

Форма Лагранжа:

Точка зависит от x и n. Обычно точное значение неизвестно, но можно утверждать, что находится на интервале (a,x), при этом х можно считать как большим, чем а, так и меньшим, чем а.

Другой вид формы Лагранжа:

Остаточный член, записанный в форме (*) или (**), обычно используют для оценки точности приближенного вычисления функции f(x) в точке x, отличной от a.

Формулы Тейлора для важнейших элементарных функций

 

Если положить в этой формуле х=1, то

Таким образом, выбирая соответствующее число членов ряда n, можно вычислить число е с любой требуемой точностью.

2)

Если n -четное число, то

Остаток для любого х стремится к нулю при .

 

 

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

 

Теорема 1.

Пусть функции f и непрерывны и имеют производные в окрестности точки а (а – число или ), за исключением, может быть, точки а, при этом не равны нулю в указанной окрестности и . Тогда, если существует предел (конечный или бесконечный), то существует также равный ему предел

В частности, здесь может идти речь о правом или левом пределе, и тогда под окрестностью точки а понимается правая или левая ее окрестность.

Доказательство (для случая а – конечного).

Полагая

доопределим функции f (x) и так, чтобы они были непрерывны в точке х=а. Тогда функции f (x) и удовлетворяют условиям теоремы Коши и для любой точки х из рассматриваемой окрестности найдется между а и х точка

такая, что

 

Замечание 1.

Обратное утверждение неверно. Именно из существования предела

следует наличие предела , но не наоборот!

 

Замечание 2.

Если и производные удовлетворяют тем условиям, которые наложены на f и , то

Формула (1) называется правилом Лопиталя по имени французского математика, применившего ее для весьма простых случаев. Впрочем, до Лопиталя это правило было известно швейцарскому математику Бернулли.

 

 

Примеры использования правила Лопиталя:

В последнем случае правило Лопиталя было применено трижды, т.к. неопределенность вида получалась как для функций, так и для первых и вторых производных.

 

Теорема 2.

Пусть функции непрерывны и имеют производные в окрестности (в частности, в левой или правой окрестности) точки а (конечной или бесконечной), за исключением самой точки а.

При этом в указанной окрестности и

.

Тогда, если существует предел то существует равный ему предел (без доказательства).

 

 

Пример 1.

Легко доказать, что для любого натурального n

 

Пример 2.

 

Мы рассмотрели примеры раскрытия неопределенностей вида или . Встречаются неопределенности вида:

Путем подходящих замен переменных они, как правило, сводятся к неопределенностям вида или .

Пример 3.

 

Пример 4.