Отыскание точек возможного экстремума

Мы ввели понятия локального экстремума (локального максимума и локального минимума). Напомню: если функция определена в окрестности точки с и f (с) является наибольшим значением в этой окрестности, то точка с – точка локального максимума. Если же f (с) – наименьшее значение в указанной окрестности, то с – точка локального минимума. Если функция дифференцируема и имеет в точке с экстремум (max или min), то Таким образом, для отыскания у дифференцируемой функции точек возможного экстремума следует найти все корни уравнения т.е. найти все нули производной . Эти точки называются точками возможного экстремума (стационарными точками).

Экстремум, однако, может быть, а может его и не оказаться. Достаточным же условием экстремума является смена знака у производной в стационарной точке. При этом если при переходе через стационарную точку меняет знак с «–» на «+», то из области, где функция f (x) убывала, мы переходим к области, где она возрастает. В такой стационарной точке функция имеет минимум. Если же производная меняет знак с «+» на «–», то f (x) в такой стационарной точке имеет максимум.

Производная может не изменять знака при переходе через стационарную точку: в этом случае экстремума (максимума или минимума) нет.

 

Примеры.

1. Возьмем предыдущий пример

х=0 и х=2 – стационарные точки.

Мы уже видели, что при , при

Поэтому слева от точки х=0 , справа х=0 – точка max.

Аналогично слева от точки х=2 , а справа х=2 – точка min (см. график).

2.

Очевидно при х=2. Если же , то , т.е. слева и справа от точки х=2 производная положительна. Экстремума нет.

 

График имеет вид:

 

Если исследовать знак первой производной слева и справа от стационарной точки затруднительно, то можно установить наличие или отсутствие экстремума по второй производной в критической точке (разумеется, если эта вторая производная существует).

 

Пример.

Опять возьмем . Тогда

В первой критической точке х=0 отрицательный знак указывает, что в точке х=0 убывает, значит она меняет знак с «+» на «–», т.е. х=0 – точка max.

Во второй критической точке х=2 в точке х=2 возрастает, т.е. меняет знак с «-» на «+». Точка х=2 – точка min.

Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке

До сир пор мы решали вопрос о наличии у функции f (x) экстремума в такой точке с, в которой функция f (x) дифференцируема. Теперь изучим вопрос о наличии экстремума в точке с, в которой функция не дифференцируема, но дифференцируема всюду в некоторой окрестности справа и слева от точки с.

 

Теорема.

Пусть функция f (x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с, за исключением, быть может, самой точки с, и непрерывна в точке с.

Тогда, если в пределах указанной окрестности производная (х) положительна (отрицательна) слева от точки с и отрицательна (положительна) справа от точки с, то функция имеет в точке с локальный максимум (минимум).

Если же производная имеет слева и справа от с одинаковый знак, то экстремума в точке с нет (без доказательства).

 

Графическая иллюстрация:

 

В случаях 1 и 2 производная меняет в точке с знак; в случае 1 с «+» на «–», функция имеет max; в случае 2 с «–» на «+», функция имеет min. В случае 3 и слева и справа от точки с; экстремума нет. Аналогично в случае 4 и слева и справа от точки с; экстремума также нет.

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки

Перегиба

Предположим, что функция f (x) дифференцируема в любой точке интервала (a,b). Тогда в каждой точке имеется касательная к графику, причем она не параллельна оси Оy (ибо ее угловой коэффициент конечен).

 

Определение.

Будем говорить, что график функции y=f (x) имеет на интервале (a,b) выпуклость, направленную вниз (кривая вогнутая), если график в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной.

Если график лежит не выше любой своей касательной, будем говорить, что график имеет выпуклость, направленную вверх (кривая выпуклая).

 

Примеры.

 

Вогнутая кривая Выпуклая кривая

(выпуклость направлена вниз) (выпуклость направлена

вверх)

Теорема.

Если функция y=f (x) имеет на интервале (a,b) конечную вторую производную и если эта производная не отрицательна (не положительна) всюду на этом интервале, то график функции y=f (x) имеет на интервале (a,b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Мнемоническое правило.

Если в сосуд набирается вода, то «+», выпуклость направлена вниз. Если вода не набирается, то знак «–», выпуклость направлена вверх.

 

 

Доказательство.

Для определенности рассмотрим случай, когда всюду на (a,b). Обозначим через c любую точку интервала (a,b) (см. рис.).

 

 

Требуется доказать, что график функции f (x) лежит не ниже касательной, проходящей через точку Запишем уравнение касательной, проходящей через точку М:

 

(1)

 

Разложим f (x) в окрестности точки с по формуле Тейлора, взяв в этой формуле два члена (n=2):

 

(2)

 

Здесь учтен остаточный член в форме Лагранжа; . Поскольку по условию существует всюду на (a,b), формула (2) справедлива для любого . Вычитая из (2) (1), получим:

Поскольку всюду на (a,b), то

А это и означает, что график функции y=f (x) находится не ниже, чем касательная.

Аналогично доказывается случай, когда .

Итак, что же мы получили? Направление выпуклости графика функции полностью характеризуется знаком второй производной этой функции.

Таким образом, первая производная определяет, в каких точках имеется максимум или минимум и на каких интервалах функция возрастает или убывает, а вторая производная определяет те интервалы, на которых функция выпукла вверх или вниз.

 

Точки перегиба графика функции

Определение.

Точка графика функции y=f (x) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки с, в пределах которой график слева и справа от точки с имеет разные направления выпуклости.

Пример. Рассмотрим график y=sinx.

 

На интервале функция y=sinx имеет выпуклость, направленную вниз, на интервале выпуклость направлена вверх, точка х=0 – точка перегиба графика.

Оказывается, что для этого графика все точки – точки перегиба.

 

Теорема (необходимые условия перегиба) (без доказательства).

Если функция f (x) имеет в точке с вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке

 

Пример.

если x<0, то , выпуклость графика направлена вверх. Если x>0, то , выпуклость направлена вниз. В точке х=0 имеется перегиб графика, поэтому

Пример, иллюстрирующий, что условие не является достаточным условием перегиба: но перегиба нет, т.к. при всех х. График имеет вид:

 

 

 

 

В точке х=0 но

перегиба нет.

 

Поэтому надо иметь достаточный признак существования перегиба графика.

Теорема (достаточное условие перегиба).

Пусть функция y=f (x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки с и Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от c, то график этой функции имеет перегиб в точке c.

Теперь все встало на свои места: смена знака первой производной определяет наличие экстремума, а смена знака второй производной определяет наличие перегиба графика.

 

Асимптоты графика функции

 

Определение 1.

Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции y=f (x), если хотя бы одно из предельных значений

Пример.

1)

х=0 – вертикальная асимптота.

 

 

2) y=lnx;

х=0 – вертикальная асимптота.

 

 

Определение 2.

Прямая y=kx+b (*) является наклонной асимптотой графика функции y=f (x) при , если функция f (x) представима в виде

 

Теорема.

Для того, чтобы график функции y=f (x) имел при наклонную асимптоту (*), необходимо и достаточно, чтобы существовало два предела:

Аналогично определяется асимптота при Если хотя бы один из этих пределов не существует или бесконечен, то соответствующей асимптоты нет.

 

Пример.

При имеется наклонная асимптота Y=2x–1.

Кроме того, при

Имеется вертикальная асимптота х= –1.

График функции выглядит так:

 

 

Если оба предела: существуют, но k=0, это означает, что имеет место не наклонная, а горизонтальная асимптота.

 

Пример.

Таким образом, функция имеет две горизонтальные асимптоты:

 

 

левую у= –1 и правую у=1. График выглядит так: