Ограниченные и неограниченные последователь-

ности

Определение.

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (m), что каждый член x_n последовательности удовлетворяет неравенству При этом M и m называются соответственно верхней и нижней гранями последовательности .

Очевидно, любая ограниченная сверху последователь-ность имеет бесконечное число верхних граней: любое число M^*, большее M, также является верхней гранью. Аналогичное замечание имеет место для нижней грани.

Определение.

Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существует такие числа m и M, что любой член последовательности x_n удовлетворяет неравенствам

Если последовательность ограничена и M и m – ее верхняя и нижняя грани, то все члены x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству

, (*)

где

Верно и обратное: если все члены последовательности x_n удовлетворяют неравенству (*), то последовательность ограничена.

Последовательность называется неограниченной, если для любого А>0 найдется член x_n этой последовательности, удовлетворяющий неравенству

.

 

Примеры:

Рассмотрим последовательность

1) .

Эта последовательность ограничена. Действительно, любое число является ее верхней гранью, а любое число – нижней гранью.

 

2) –1, –4, –9,..., –n²,....

Последовательность ограничена сверху и не ограничена снизу.

 

3) –1, 2, –3, 4,....

Последовательность не ограничена.

Бесконечно малые и бесконечно большие последо-

вательности

Определение.

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого А>0 можно указать номер такой, что при все члены x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

 

Замечание.

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной; однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Пример: последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n,... является неограниченной, но не является бесконечно большой, т.к. при A>1 неравенство не имеет места для всех членов x_n с нечетными номерами.

 

Определение.

Последовательность называется бесконечно малой, если для любого можно указать номер такой, что при все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству .

 

Примеры:

1) Доказать, что последовательность является бесконечно большой, а при бесконечно малой.

а) Пусть . Тогда , где .

+(положительные члены), т.е. Теперь зафиксируем произвольное число A>0 и выберем N столь большим, чтобы (например, выберем ). Тогда . Но при и ,т.е. Утверждение доказано.

б) Пусть . В этом случае

Теперь

. Зафиксируем произвольное и выберем номер N из условия . Т.к. и при , то из полученных неравенств вытекает, что . Утверждение доказано.

2) Докажем, что – бесконечно малая последовательность. В самом деле, если Поэтому по заданному достаточно выбрать номер N из условия . Тогда при и утверждение доказано.

Теорема.

Если – сходящаяся последовательность и то – бесконечно малая последовательность.

 

Доказательство:

Т.к. для любого можно найти номер такой, что при выполняется неравенство , это и означает, что при , т.е. – бесконечно малая последовательность.

Из этой теоремы следует, что члены сходящейся последовательности могут быть представлены в виде:

где – бесконечно малая последователь-ность.

 

Теоремы о бесконечно малых последовательно-

стях

Теорема 1.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

Пусть и – бесконечно малые последовательности. Докажем, что – бесконечно малая последовательность. Пусть – произвольное число, N₁ – номер, начиная с которого , а N₂ – номер, начиная с которого . Тогда, если , то при , т.е. . Теорема доказана.

 

Теорема 2.

Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

 

Теорема доказывается аналогично предыдущей, только вместо неравенства следует взять неравенство .

Следствие.

Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

 

Теорема 3.

Бесконечно малая последовательность ограничена.

 

Доказательство:

Пусть – бесконечно малая последовательность и – произвольное число. Пусть N – номер, начиная с которого . Тогда любой член последовательности с номером ограничен по модулю числом . Из оставшихся первых членов выберем наибольший по модулю: и зададим . Тогда для всех членов последовательности , что и означает ограниченность последовательности. Теорема доказана.

 

Теорема 4.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.

Доказательство:

Пусть – ограниченная, а – бесконечно малая последовательности. Т.к. ограничена, то существует число A>0, такое, что любой член x_n удовлетворяет неравенству Возьмем произвольное . Поскольку – бесконечно малая последовательность, то для положительного числа можно указать номер N такой, что при . Тогда при . Поэтому последовательность – бесконечно малая. Теорема доказана.

 

Следствие.

Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

 

Теорема 5.

Если – бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера n определена последовательность , которая является бесконечно малой последовательностью. Если все элементы бесконечно малой последовательности не равны нулю, то последовательность бесконечно большая.

Доказательство:

Во-первых, надо четко понимать, почему в формулировке теоремы имеются слова “начиная с некоторого номера”. Дело в том, что у бесконечно большой последовательности могут встретиться нулевые члены и тогда последовательность не определена. Но вспомним определение бесконечно большой последовательности – у этой последовательности, начиная с некоторого номера N^*, все члены по модулю превосходят любое положительное число A. Следовательно, у бесконечно большой последовательности нулевых членов может быть лишь конечное число. Другими словами, начиная с номера N^*, последовательность оказывается определенной и формулировка теоремы справедлива для n>N^*.

Докажем теперь, что – бесконечно малая последовательность. Пусть – любое положительное число. Для числа можно указать номер такой, что при члены x_n последовательности удовлетворяют неравенству . Поэтому, начиная с указанного номера N, выполняется неравенство .

Таким образом, доказано, что – бесконечно малая последовательность.

Доказательство второй части теоремы провести самостоятельно (оно аналогично только что приведенному).

Основные теоремы о пределах

 

Теорема 1.

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

 

Доказательство:

 

 

Предположим, что сходящаяся последовательность имеет два предела a и b. Выберем возле точек a и b на числовой оси интервалы (c, d) и (e, f), настолько малые, чтобы они не пересекались. Теперь воспользуемся третьим определением предела: если число a является пределом , то вне интервала (c, d) имеется только ограниченное число членов последовательности. Но это означает, что интервал (e, f) не может содержать бесконечное число членов последовательности . Это противоречие доказывает, что сходящаяся последовательность может иметь только один предел. Теорема доказана.

 

Теорема 2.

Сходящаяся последовательность ограничена.

 

Доказательство:

Пусть . Тогда можно представить в виде , где – бесконечно малая последовательность. Но бесконечно малая последовательность ограничена, т.е. найдется A>0, такое, что при всех n. Тогда . Это неравенство выполняется для всех n, а это означает ограниченность последовательности . Теорема доказана.

 

Еще несколько теорем о пределах. Пусть даны две сходящихся последовательности и .

 

Значения определяют последовательности . Справедливы равенства:

 

; (1)

; (2)

, если . (3)

 

Эти формулы фактически задают арифметические действия с переменными, имеющими предел.

 

Доказательство равенства (1):

Пусть Выберем и подберем N так, чтобы при Тогда при Равенство доказано.

Доказательство равенства (2):

Представим и в виде: где и – члены бесконечно малых последовательностей. Тогда Поэтому . При этом последовательность – бесконечно малая последовательность, т.к. бесконечно малой последовательностью является каждая из трех переменных . Поэтому последовательность также бесконечно малая, а последовательность сходится и ab – ее предел. Равенство доказано.

Для доказательства равенства (3) сначала докажем лемму.

Лемма.

Если последовательность сходится и имеет отличный от нуля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

 

Доказательство:

Пусть начиная с которого выполняется неравенство или Тогда , , т.е. . Поэтому при . Следовательно, начиная с этого N мы можем рассматривать последовательность и она ограничена. Лемма доказана.

 

Доказательство равенства (3):

Если , где – бесконечно малые последовательности. Тогда

Таким образом Равенство (3) доказано.

 

Итак, мы выяснили, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами. Этот очень важный вывод поможет вычислять пределы различных последовательностей.

Оказывается, что если элементы (члены) сходящихся последовательностей удовлетворяют некоторым неравенствам, то таким же неравенствам удовлетворяют и пределы их последовательностей.

 

Теорема.

Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .

 

Доказательство:

Пусть начиная с некоторого номера все элементы удовлетворяют неравенству Требуется доказать, что . Предположим противное, т.е. что . Введем . Для этого существует номер такой, что при или . Из правого неравенства тогда следует, что , а это противоречит условию теоремы. Случай рассматривается аналогично. Теорема доказана.

 

Следствие 1.

Если элементы и сходящихся последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и их пределы удовлетворяют такому же неравенству .

 

Следствие 2.

Если все элементы сходящейся последовательности находятся на отрезке , то и ее предел С также находится на этом отрезке.

 

Теорема.

Пусть и – сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности удовлетворяют неравенствам Тогда последовательность сходится и имеет предел a.

Доказательство:

Пусть N^* – номер, начиная с которого выполняются неравенства Тогда с этого же номера выполняются неравенства

Очевидно, что при N^*

Т.к. то для любого можно указать номера N₁ и N₂ такие, что при N₁ , а при N₂ .

Пусть Очевидно, при N , т.е. последовательность – бесконечно малая последовательность. Теорема доказана.