Полное приращение и полный дифференциал. Использование дифференциала для приближенных вычислений

 

Мы уже знаем, что полное приращение функции двух переменных z=f(x,y) записывается в виде:

 

Dz = f(х+Dх, у+Dу) – f(x,y).

 

Пусть в точке (х,у) существуют и непрерывны обе частные производные и . Перепишем Dz в виде

 

Dz = [f(x+Dx, y+Dy) – f(x, y+Dy)] + [f(x, y+Dy) – f(x,y)].

 

Применим теорему Лагранжа:

 

 

Î(х, х+Dх);

 

Î(у, у+Dу);

 

Заметим, что в силу непрерывности частных производных

 

 

 

Но это означает, что

 

 

 

где g₁®0 и g₂®0, если Dх®0 и Dу®0 (или если ).

 

Тогда полное приращение Dz можно записать в виде

 

(3.6.1)

 

Первые два члена в этой формуле – основные, а слагаемые g₁×Dх и g₂×Dу – бесконечные малые более высокого порядка, чем первые два члена.

Другими словами, можно дать следующее определение.

Определение. Функция z = f(x, y), полное приращение которой в данной точке (х,у) может быть представлено в виде (3.6.1), называется дифференцируемой в данной точке; линейная часть приращения называется полным дифференциалом:

 

dz=f '_x(x,y)Dx+f '_y(x,y)Dy.

 

Обычно обозначают Dх = dx, Dу = dy, а формула для полного дифференциала имеет вид

 

(3.6.2)

 

С точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Dr можно записать приближенное равенство:

 

Dz» dz, (3.6.3)

 

которое используется для приближенных вычислений.

Примеры.

1. z=xy. Найти полный дифференциал и полное приращение в точке (2;3) при Dх=0,1, Dу=0,2.

Dz = (х + Dх)(у + Dу) – ху = уDх + хDу + DхDу;

 

 

Dz=0,72; dz=0,7.

 

2. Задача. Вычислить объем материала, нужно для изготовления цилиндрического стакана следующих размеров:

- радиус внутреннего цилиндра R;

- высота внутреннего цилиндра H;

- толщина стенок и дна стакана l.

 

Точное решение:

V=p(R+l)²(H+l)–pR²H=p(2RHl+R²l+Hl²+2Rl²+l³). (*)

 

Приближенное решение:

f = pR²H – объем внутреннего цилиндра. Это функция двух переменных R и Н. Если увеличить R и Н на l, то функция f получит приращение Df. Тогда V=Df.

Приближенно:

 

 

, ,

 

V» p(2RHl + R²l). (**)

 

Сравнивая (*) и (**), замечаем, что эти выражения отличаются на величину p(Hl²+2Rl²+l³), состоящую из членов второго и третьего порядка малости относительно l (естественно, мы должны считать l<<R, l<<H).

Числовой пример: R=4 см, Н=20 см, l=0,1 см.

V=17,881 p –точное значение,

V»17,6 p – приближенное значение.

Ошибка .

 

Сложная функция и ее полная производная

 

Пусть

z=F(u,v), (3.7.1)

 

а u и v являются функциями независимых переменных х и у.

 

u=j(x,y), v=y(x,y). (3.7.2)

 

В этом случае z есть сложная функция х и у. Будем рассматривать вопрос о частных производных и . Дадим приращение Dх, не меняя у. Тогда u и v получат приращения D_хu и D_хv:

 

 

Здесь g₁ и g₂ – бесконечно малые при Dх®0. Разделим последнее равенство на Dх и перейдем к пределу при Dх®0:

 

 

(3.7.3)

 

Аналогично

 

(3.7.4)

 

(3.7.3) и (3.7.4) – формулы для частных производных сложной функции.

Пример.

z=ln(u²+v), ; v=x²+y. Найти и .

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

Для случая большего числа переменных формулы (3.7.3) и (3.7.4) естественным образом обобщаются.

Рассмотрим следующий случай: дана функция z=F(x,y,u,v), где y,u,v зависят только от одной переменной х:

y=f(x), u=j(x), v=y(x).

 

В этом случае, по сути дела, z является функцией только одной переменной х и можно ставить вопрос о нахождении производной (в отличие от эта производная называется полной производной).

Очевидно

 

 

Но , а производные и являются по существу не частными, а полными производными, т.к. у, u и v зависят только от х:

 

(3.7.5)

 

Эта формула носит название формулы полной производной (в отличие от частной производной ).

 

Пример.

; у=sin x. Найти .

 

 

 

Производная неявно заданной функции

 

Если неявная функция одной переменной задана уравнением

, (3.8.1)

то производная находится по известной формуле:

 

. (3.8.2)

 

Формула (3.8.2) носит название производной неявно заданной функции одной переменной.

По аналогии неявная функция двух переменных ( есть функция ) задается уравнением

 

.

 

Если теперь искать, например частную производную , то переменная считается постоянной и можно действовать по формуле (3.8.2). Тогда

 

 

. (3.8.3)

 

Аналогично

. (3.8.4)

 

Разумеется, в формулах (3.8.3) и (3.8.4) следует считать . Эти формулы обобщаются на любое число переменных.

 

Пример.

Неявная функция трех переменных задана соотношением

 

. Найти и .

 

Пусть . Тогда

 

 

.