Свойства функций, непрерывных в точке

 

Теорема 1.

Если функции и непрерывны в точке , то функции (с – константа), + , , а если , то и также непрерывны в точке _.

Доказательство:

Следует из свойств пределов и определения непрерывности. Например:

.

 

Теорема 2 (непрерывность сложной функции).

Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция также непрерывна в точке , т.е. . (*)

 

Доказательство.

Т.к. функция непрерывна в точке , то

. Т.к функция непрерывна в точке , то , но т.к. при любом стремлении и , то , т.е. , т.е. при . Сложная функция непрерывна.

Формулу (*) можно записать в виде , которая может быть использована при вычислении пределов.

Можно также записать: , где .

Это правило замены переменных, которое очень часто используется при вычислении пределов.

В качестве примеров докажем непрерывность некоторых элементарных функций.

1. – непрерывна в любой точке .

Функция

 

2. – непрерывна в любой точке .

;

Функция

 

Справедлива теорема (без доказательства).

Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Подчеркну, что речь идет не только об основных элементарных функциях, а вообще об элементарных функциях, т.е. таких, которые получены из основных элементарных путем конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции.

 

Теорема об ограниченности непрерывной функции.

Если функция непрерывна в точке , то существует окрестность этой точки, на которой функция ограничена.

 

Доказательство.

Из определения непрерывности следует, что определена в некоторой окрестности точки и, следовательно, можно взять любую последовательность , и при этом . Сходящаяся же последовательность ограничена, поэтому и ограничена.

 

Два замечательных предела

Для вывода формул первого и второго замечательных пределов сначала докажем вспомогательную теорему (лемму).

 

Лемма.

Пусть в некоторой -окрестности точки (за исключением, быть может, самой точки ) заданы функции , причем и . Тогда .

 

Доказательство.

Пусть – произвольная последовательность, при , элементы которой лежат в указанной окрестности точки и не равны , а – соответствующие последовательности значений функции. По условию и . Но тогда в силу теоремы, доказанной для последовательности, . Поскольку – произвольная, сходящаяся к последовательность значений аргумента, это и означает, что . Лемма доказана.

 

1. Первый замечательный предел

.

Функция не определена. Найдем ее предел при . Для этого рассмотрим на окружности радиуса 1 два радиуса OA и OM, острый угол между которыми равен x (в радианах).

 

 

 

Из точки M проведем , а продолжив OM, из точки С проведем Из рисунка ясно, что

Sсектора OMA < . (1)

Поскольку OM=OA=1, то

Sсектора= OMA =

Тогда неравенство (1) имеет вид:

.

Т.к. x -острый угол и , разделив это неравенство на sinx>0, получим

или

. (2)

Это неравенство получено в предположении, что x>0. Если же x<0, то cos(–x) = cosx и , поэтому оно справедливо и при x <0. Из неравенства (2) следует, что переменная заключена между двумя переменными, имеющими при один и тот же предел: ; . Поэтому согласно указанной лемме .

 

2. Второй замечательный предел

Мы уже знаем, что . При этом n принимает целые положительные значения. Оказывается, если , принимая любые, в том числе и дробные значения, предел также оказывается равным e.

В самом деле, любое положительное значение x заключено между двумя положительными и целыми числами:

.

При этом выполняются неравенства:

 

; ;

.

Если , то и . Найдем пределы, к которым стремятся переменные, между которыми заключена переменная .

 

Пределы оказались одинаковыми. Поэтому в соответствии с леммой .

Мы доказали, что если x всегда положителен и , то .

Можно доказать, что этот предел равен e при произвольном стремлении x к или

Этот же предел можно записать в другой форме, обозначив и рассматривая .

.

 

Теперь рассмотрим примеры вычисления пределов.

 

 

Пример 1.

Найти . Т.к. функция непрерывна в любой точке, то

 

Пример 2.

Найти

 

Пример 3.

Найти Т.к. функция непрерывна в каждой точке ( элементарная функция), то

Пример 4.

Используем замену переменной

Тогда =

 

Пример 5.

.

 

Пример 6.

Пример 7.