Непрерывность функции. Точки разрыва функции

Рассмотрим функцию непрерывного аргумента y =f(x). Пусть при приближении значения аргумента к числу а значение функции приближается к числу А как угодно близко (и может быть даже принимает значение А) (рис. 4).

Тогда говорят, что в точке а существует предел функции f(x), равный А, и это записывается следующим образом:

или

Как а, так и А могут, вообще говоря, принимать значение, равное бесконечности (¥).

В случаях, когда функция ведет себя по-разному, в зависимости от того, справа или слева мы приближаемся к точке а, говорят о пределе справа и пределе слева и приняты следующие обозначения:

 

 

Примеры

1. (рис. 5а)

2. (рис. 5б)

3. (рис. 6). Заметим, что при стремлении j к p/2 слева, тангенс неограниченно возрастает, а при стремлении j к p/2 справа, тангенс неограниченно убывает. Таким образом,

На рисунках 7, 8 и 9 приведены графики функций, имеющих разрыв в точке х ₀. На рисунке 10 приведен график функции, которая на отрезке [А,В] не имеет точек разрыва. Такая функция называется непрерывной на отрезке [А,В] (в каждой точке а отрезка функция имеет определенное значение b и ).

 

 

Непрерывными являются функции y=x², y =sin x, y=a^x (на всей числовой прямой), y =ln x (при х >0) и т.д.

Производная и ее геометрический смысл

Производной функции y= f (x) в точке х ₀ называется предел отношения приращения функции D y= f (x₀+ D x)- f (x₀) к приращению аргумента D х при произвольном стремлении D х к нулю, если такой предел существует. Обозначается производная функции f(x) в точке х ₀ символом f'(x ₀). Таким образом:

Можно использовать и другие обозначения:

Примеры

1. y=kx. Возьмем произвольную точку х, и найдем значение соответствующего предела:

2. у=х ².

 

Геометрический смысл производной состоит в том, что угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой f(x) в точке х _0, есть f'(x₀) (рис. 11) и, следовательно, уравнение касательной к графику в точке М_0, имеет вид:

y-y₀=k(x-x₀)=f'(x₀)(x-x₀).

Если вычислять производную в различных значениях х, принадлежащих некоторому множеству, например, отрезку [ a,b ], то величина ее будет зависеть от значения х. Тем самым, можно говорить о производной функции, определенной на этом множестве. Производную функции обозначают f'(x).

Если функция в некоторой точке х₀ имеет производную, то она в этой точке непрерывна. Это следует из соотношения:

Отсюда D у~f'(x₀) D x и D у ®0 при D х ®0, то есть:

f(x₀ +D x)® f(x₀) (D х ®0). Это же соотношение можно переписать так:

f(x₀+ D x)- f(x₀)~f'(x₀) D x, или f(x₀ +D x)~f(x₀)+f'(x₀) D x

Линейная часть приращения функции, выражающаяся через производную, называется дифференциалом функции. Он обозначается dy. Полное приращение D у в точках, в которых существует производная, можно представить в виде: D у=f(x +D x)-f(x)=f'(x) D x+a( D x), где a (D х)<<D x (<< означает много меньше).

dy=f'(x) D x=f'(x)dx (D x=dx - дифференциал аргумента равен приращению аргумента).

 

Основные правила дифференцирования

Мы показали, как вычисляется производная функции y=kx. Это лишь самые простой пример вычисления производной. Применяя похожие рассуждения, можно найти производные всех основных элементарных функций. Приведем таблицу этих производных.

 

 

Таблица основных формул дифференцирования.

1. y=c, y'=0, c – постоянная

2. y=x^a, y'=a×x^a-1 (a¹ 0), для целого n y=xⁿ, y'= n x ^n-1 и (х ¹0)

3. y=a^x, y' = a^x ln a, если a=e и y=e^x, y'=e^x

4. y =log _ax,

5. y=sinx, y'=cosx, у=arcsinx,

6. y=cosx, y'=-sinx, у=arccosx,

7. y=tgx, , у=arctgx,

8. y=ctgx, , у=arcctgx,

 

Для вычисления производных сложных функций и функций, получающихся из основных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, надо руководствоваться следующими правилами.

Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х, тогда справедливы следующие правила дифференцирования:

1. (cu),'=c×u', где с – постоянная;

2. (u±v)=u'±v';

3. (u×v)'=u'v+v'u;

4.

5. Если y=f(u), и u=j(x), то есть у есть сложная функция от х: y=f(j(x)), то:

Если y=f(u), u=j(t), t=y(x), то - "цепное правило" (в случае "цепи" из большего числа функций поступают аналогично).

Примеры

y= 2 e^x+ 3ln x- 5; y'= 2 e^x+ 3×1 /x.

y=x e^x, y'=(x)^' e^x+x×(e^x)^'=e^x+xe^x=e^x( 1 +x)

 

Производные высших порядков

Пусть f'(x) есть производная от функции f(x). Тогда производная от функции f'(x) называется второй производной (или производной второго порядка) от функции f(x) и обозначается f''(x). Третья производная - это производная от второй производной и т.д. - n-ая производная - это производная от n-1-ой производной.