Непрерывность функции. Точки разрыва функции



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Непрерывность функции. Точки разрыва функции



Рассмотрим функцию непрерывного аргумента y=f(x). Пусть при приближении значения аргумента к числу а значение функции приближается к числу А как угодно близко (и может быть даже принимает значение А) (рис. 4).

Тогда говорят, что в точке а существует предел функции f(x), равный А, и это записывается следующим образом:

или

Как а, так и А могут, вообще говоря, принимать значение, равное бесконечности (¥).

В случаях, когда функция ведет себя по-разному, в зависимости от того, справа или слева мы приближаемся к точке а, говорят о пределе справа и пределе слева и приняты следующие обозначения:

 

 


Примеры

1. (рис. 5а)

2. (рис. 5б)

3. (рис. 6). Заметим, что при стремлении j к p/2 слева, тангенс неограниченно возрастает, а при стремлении j к p/2 справа, тангенс неограниченно убывает. Таким образом,

На рисунках 7, 8 и 9 приведены графики функций, имеющих разрыв в точке х0. На рисунке 10 приведен график функции, которая на отрезке [А,В] не имеет точек разрыва. Такая функция называется непрерывнойна отрезке [А,В] (в каждой точке а отрезка функция имеет определенное значение b и ).

 

 

Непрерывными являются функции y=x2, y=sinx, y=ax (на всей числовой прямой), y=lnx (при х>0) и т.д.

Производная и ее геометрический смысл

Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции Dy=f(x0+Dx)-f(x0) к приращению аргумента Dх при произвольном стремлении Dх к нулю, если такой предел существует.Обозначается производная функции f(x) в точке х0 символом f'(x0). Таким образом:

Можно использовать и другие обозначения:

Примеры

1. y=kx. Возьмем произвольную точку х, и найдем значение соответствующего предела:

2. у=х2.

 

Геометрический смысл производной состоит в том, что угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой f(x) в точке х0, есть f'(x0) (рис. 11) и, следовательно, уравнение касательной к графику в точке М0, имеет вид:

y-y0=k(x-x0)=f'(x0)(x-x0).

Если вычислять производную в различных значениях х, принадлежащих некоторому множеству, например, отрезку [a,b], то величина ее будет зависеть от значения х. Тем самым, можно говорить о производной функции, определенной на этом множестве. Производную функции обозначают f'(x).

Если функция в некоторой точке х0 имеет производную, то она в этой точке непрерывна. Это следует из соотношения:

Отсюда Dу~f'(x0)Dx и Dу®0 при Dх®0, то есть:

f(x0+Dxf(x0) (Dх®0). Это же соотношение можно переписать так:

f(x0+Dx)-f(x0)~f'(x0)Dx, или f(x0+Dx)~f(x0)+f'(x0)Dx

Линейная часть приращения функции, выражающаяся через производную, называется дифференциалом функции. Он обозначается dy. Полное приращение Dу в точках, в которых существует производная, можно представить в виде: Dу=f(x+Dx)-f(x)=f'(x)Dx+a(Dx), где a(Dх)<<Dx (<< означает много меньше).

dy=f'(x)Dx=f'(x)dx (Dx=dx - дифференциал аргумента равен приращению аргумента).

 

Основные правила дифференцирования

Мы показали, как вычисляется производная функции y=kx. Это лишь самые простой пример вычисления производной. Применяя похожие рассуждения, можно найти производные всех основных элементарных функций. Приведем таблицу этих производных.

 

 

Таблица основных формул дифференцирования.

1. y=c, y'=0, c – постоянная

2. y=xa, y'=a×xa-1 (a¹0), для целого n y=xn, y'=nxn-1 и (х¹0)

3. y=ax, y'=axlna, если a=e и y=ex, y'=ex

4. y=logax,

5. y=sinx, y'=cosx, у=arcsinx,

6. y=cosx, y'=-sinx, у=arccosx,

7. y=tgx, , у=arctgx,

8. y=ctgx, , у=arcctgx,

 

Для вычисления производных сложных функций и функций, получающихся из основных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, надо руководствоваться следующими правилами.

Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х, тогда справедливы следующие правила дифференцирования:

1. (cu),'=c×u', где с – постоянная;

2. (u±v)=u'±v';

3. (u×v)'=u'v+v'u;

4.

5. Если y=f(u), и u=j(x), то есть у есть сложная функция от х: y=f(j(x)), то:

Если y=f(u), u=j(t), t=y(x), то - "цепное правило" (в случае "цепи" из большего числа функций поступают аналогично).

Примеры

y=2ex+3lnx-5; y'=2ex+3×1/x.

y=x ex, y'=(x)' ex+x×(ex)'=ex+xex=ex(1+x)

 

Производные высших порядков

Пусть f'(x) есть производная от функции f(x). Тогда производная от функции f'(x) называется второй производной (или производной второго порядка)от функции f(x) и обозначается f''(x). Третья производная - это производная от второй производной и т.д. - n-ая производная - это производная от n-1-ой производной.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.239.58.199 (0.031 с.)