Движения на плоскости – перенос, поворот на угол a, симметрии

Преобразование фигуры F в фигуру F₁ называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками. Движениями являются поворот, параллельный перенос и преобразования симметрии – отражение относительно точки и отражение от прямой.

Параллельным переносом называется такое движение, при котором точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние (рис. 9а).

Поворотом около точки О на угол a называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из точки О, поворачивается на угол a в одном и том же направлении (рис. 9б).

Две точки А₁ и А₂ называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка А₁А₂. Точка О называется центром симметрии точек А₁ и А₂ (рис. 9в).

Пусть F – данная фигура и О – некоторая точка плоскости. Через каждую точку М фигуры и точку О проведем прямую, продолжим ее за точку О на расстояние ОМ, конец отрезка М₁ – точка, симметричная точке М относительно О. Тем самым мы построили для фигуры F ее симметричное отражение F₁ относительно точки О (рис. 9г).

 

 

Это преобразование фигуры называется симметрией относительно точки. Если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит фигуре, то фигура называется центрально-симметричной, а точка О – ее центр симметрии. Симметрия относительно центра симметрии центрально-симметричной фигуры переводит фигуру в себя. Окружность – симметрична относительно своего центра. Параллелограмм – относительно центра пересечения диагоналей (рис. 9д), прямая – относительно любой своей точки. Треугольник не имеет ни одного центра симметрии.

Точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой р, если эта прямая перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину.

Пусть F - данная фигура и р – некоторая прямая. Для каждой точки М фигуры построим точку М₁, симметричную точке М относительно прямой р. Для этого надо из точки М опустить на прямую р перпендикуляр, (точку пересечения назовем Р), продолжить его за точку Р и отложить на нем отрезок РМ₁, длина которого равна МР. Полученная фигура F₁ является зеркальным отражением фигуры F относительно прямой р (рис. 10а).

Прямая р называется осью симметрии фигуры, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой р также принадлежит фигуре, а фигура F в этом случае симметрична относительно прямой р (рис. 10б). У фигуры может быть несколько осей симметрии (рис. 10в). Осью симметрии угла является его биссектриса. Осями симметрии прямой являются сама прямая и любая перпендикулярная ей прямая. У равнобедренного (но не равностороннего) треугольника одна ось симметрии, у равностороннего их три. Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии. У квадрата осей симметрии четыре – прямые, на которых лежат диагонали, и прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно его сторонам (рис. 10г). У окружности осью симметрии является любой ее диаметр. Осей симметрии у фигуры может и не быть (рис. 10д).

 

 

 

Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Преобразование, обратное движению, снова является движением.

При движении прямые переходят в прямые, а углы сохраняются.

 

Симметрия в орнаментах

Красота тесно связана с симметрией. Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство. Наверно поэтому, начиная с древнейших времен, в произведениях искусства симметрия присутствует. Присутствует она и в природе (листья растений, снежинки, кристаллы, симметрия тела живого существа и т.д.) В силу важности предмета изучение законов симметрии обратилось в научную отрасль знания. Развитие теории с привлечением современного математического аппарата позволило создать описание всех возможных типов объектов, обладающих симметрией. Предметом теории симметрии является изучение квантования пространства: из пространства методами симметрии можно выделить равные части – кванты пространства. Кванты могут быть совмещаемы друг с другом с помощью переноса, вращения и отражения кванта. Мы коснемся только проблемы симметрии в орнаментах. Орнаменты представляют собой повторение с правильным пространственным ритмом элементов, имеющих вид некоторого рисунка. Следовательно, можно считать, что к шаблону, по которому создается орнамент, применяются операции движения. Это может быть простая операция переноса, последовательно выполняющаяся много раз, или для создания красивого симметричного рисунка может выполняться несколько движений – переносов, зеркальных отражений и поворотов.

 

Розетки

Самые простые ритмичные рисунки – розетки. Окружность делится на n равных частей. Орнамент, созданный в одном из секторов, n раз поворачивается на угол a= . Поворачиваемый орнамент может иметь ось симметрии – биссектрису угла, образующего сектор. Можно описать схему орнамента. Точками отмечают центры поворота, стрелкой (или просто углом) указывается поворот, две стрелки, глядящие в разные стороны – отражение от оси между ними. На рисунке 11 приведена схема розетки, которая получается с помощью поворотов на 90° и 2-х узоров, построенных по этой схеме. Правее приведена схема получения розетки с помощью отражения и поворота и розетки, построенные по этой схеме. Сердце имеет ось симметрии, квантом является полусердце, оно отражается от оси симметрии, кроме того производится поворот на 90°. Аналогичное строение имеют и еще две розетки, получающиеся с помощью отражения и поворота (8-ми-кратного и 5-ти-кратного).

 

 

 

Как эти, так и все последующие приведенные в этом руководстве рисунки, не являются художественными, а имеют целью только продемонстрировать в "абстрактной" форме методы построения симметричных узоров.

Собор в Модене

 

 

 

 

 

Церковь СанФранческо д’Ассизи (XIII в., Палермо)

 

Примеры симметричных узоров, являющихся прекрасными произведениями искусства, можно найти в книгах, посвященных архитектуре и интерьеру.

 

Бордюры

Бордюры – это ленточные орнаменты. Они располагаются вдоль центральной прямой l и обладают еще и шириной. Зеркальное отражение в ленточном орнаменте может быть продольным - от центральной прямой l, и поперечным – от прямой, перпендикулярной прямой l; продольное отражение может сочетаться с переносом на величину а вдоль центральной линии (продольное скользящее отражение). Поперечное отражение в сочетании с переносом на величину а

можно трактовать, как отражение от прямой, находящейся на расстоянии а/2. Может использоваться поворот на 180° вокруг точки и различные сочетания этих операций (рис. 12).

 

 

Естественно, при создании художественных орнаментов, кроме простых переносов-отражений, используются и различные приемы, лишающие рисунок монотонности. Но это уже не предмет математики.

Все способы, позволяющие внести симметрию в создаваемый объект, применяются и в архитектуре. Поворотная симметрия широко используется при постройке башен. Переносная - в фасадах зданий (яркий пример – дворец дожей в Венеции). Среди планов зданий и башен встречаются квадраты, прямоугольники, круги, правильные многоугольники (чаще всего восьмиугольники). Крайне редко встречается форма пятиугольника. Такую форму имеют здание Пентагона в Вашингтоне и Театр Советской Армии в Москве.

 

Решетки

Перенос, отражение, поворот лежат в основе симметричных узоров решеток и витражей. Самые простые виды решеток – прямоугольная (рис. 13а) и ромбическая (рис. 13б). На рисунке 13в представлен эскиз решетки из полуокружностей, в котором используется перенос. Дуги окружностей можно спрямить. Из тех же дуг полуокружностей, если применить отражение, получается совсем другая решетка (рис. 13г). Вписав внутрь кванта еще две полуокружности, получаем еще один узор (рис. 13д). Такие узоры могут использоваться и для витражей. Дуги можно спрямить или равномерно сжать, придать им более изящную форму, внутрь кванта поместить узор и т. д.

 

Очень распространена решетка, изображенная на рисунке 14а. Она строится из дуг размера 120° плотно уложенных окружностей. Наиболее плотная укладка кругов на плоскости – термин, введенный для описания схемы укладки кругов, при котором достигается наиболее полное заполнение плоскости кругами (в одной из следующих глав мы научимся вычислять величину максимального коэффициента заполнения плоскости кругами).

 

Так как в природе обычно реализуются оптимальные схемы, требующие наименьших затрат материала и энергии, примеры наиболее плотной укладки встречаются и в природе. Если свалить в кучу пушечные ядра или круглые бусинки, то они естественным образом примут вид конуса. На плоскости аналог "естественной" укладки кругов можно получить следующим образом. Возьмем идеальные бревна, имеющие одинаковое сечение в виде круга. Свалим их в кучу следующим образом. Положим первый ряд из бревен - вплотную друг к другу, следующий ряд положим в пазы, образованные нижним рядом и т.д. Вид кладки со стороны торцов бревен даст картинку наиболее плотной укладки кругов на плоскости (рис. 14б).

Наиболее плотная укладка кругов на плоскости строится на основе треугольной решетки. Вокруг вершин треугольной решетки радиусом, равным половине ребра решетки (стороны треугольника) описываются круги (рис. 14в). Дуги касающихся друг друга уложенных плотно окружностей сопрягаются друг с другом без излома. На рисунке 14г показано, как из дуг плотно уложенных окружностей строится решетка. При вершинах основания треугольников радиусом, равным половине основания, проводятся дуги длины 60°.

Целиком замостить плоскость кругами, естественно, нельзя. Если провести касательные к каждому кругу в точках, где он соприкасается с шестью окружающими его кругами, то эти касательные образуют правильный шестиугольник, описанный около круга (рис. 14д). Если заменить каждый круг на окаймляющий его шестиугольник, то получатся пчелиные соты - правильная конфигурация из шестиугольников, заполняющая всю плоскость. На рисунке видно, что для того, чтобы построить пчелиные соты, не надо строить плотно уложенные окружности. Достаточно построить сетку из равносторонних треугольников и объединить по 6 треугольников в шестиугольник. Если мы хотим, чтобы у шестиугольника две стороны были не горизонтальные, а вертикальные, то основания треугольников надо располагать не на горизонтальной прямой, а на вертикальной (рис.14е)

Все приведенные решетки обладают тем свойством, что строятся на основе одного кванта, которым целиком заполняют плоскость. Предположим, что мы хотим, чтобы взятый нами за основу квант имел форму креста – такие решетки часто создаются для церковных окон, дверей и ворот. На рисунках 15а,б приведены два простейших макета решеток из крестов. Первая из них - кресты + фон, кресты второго макета заполняют плоскость без фона.

Если кресты первого макета расположить так, как расположены кресты второго макета, незаполненный фон все равно будет присутствовать (рис. 15в).

Для того, чтобы убрать промежуток между крестами, надо увеличить ширину креста. Длина горизонтальной ветви креста должна быть ровно вдвое меньше ширины вертикальной ветви (рис. 15г).

 

 

Квант такой решетки строится на основе ромба. Он имеет две оси симметрии (горизонтальную и вертикальную) и инвариантен относительно поворота на 180°. Кроме того, его нижняя левая сторона при переносе вправо-вверх должна совпасть с правой верхней. В силу того, что левая нижняя сторона совпадает с правой верхней и после поворота на 180°, сторона ромба должна быть симметричной относительно своего центра (на рисунках 15б,г центр симметрии стороны отмечен жирной точкой). Таким образом, для того, чтобы построить решетку из крестов, в которой квант фона равен основному кванту, надо начертить основу – ромбическую решетку, искривить половину ребра ромба, отразить эту линию по правилам центральной симметрии относительно середины ребра и построить остальные ребра кванта с помощью отражения от диагоналей ромба. На рисунках 15г,д приведены макеты распространенных решеток, построенных по этому принципу.

Крайне важно понимать законы симметрии при построении мозаик. Мозаикой заполняют плоскость – пол, стену, дверь, ковер и т.д. Контуры мозаик могут использоваться для изготовления плетеных сетей (например, в виде пчелиных сот) или в узорчатых решетках.