Площадь поверхности вращения

Рассмотрим поверхность, полученную вращением вокруг оси ОХ дуги АВ, описываемой уравнением y=f(x) на интервале [a,b]. Разобьем, как мы это уже неоднократно проделывали, интервал [a,b] на n частей, восставим в точках деления перпендикуляры к оси ОХ и куски дуг Ds заменим прямыми отрезками, соединяющими концы дуг. Площадь поверхности вращения есть предел, к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением ломаной линии, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длины звеньев стремятся к нулю. В этом определении мы, как обычно, пользуемся эквивалентностью длины дуги и хорды (когда длина дуги мала). Для одной узкой полоски поверхности, площадь вычисляется по формуле: DS_i~2pyds, где – длина i-го звена ломаной (рис. 9). Из этого соотношения можно непосредственно вывести формулу для вычисления площади поверхности вращения:

 

 

Если поверхность образована вращением кривой вокруг оси OY, то все рассуждения сохраняются, но х и у меняются местами: DS_i~2p х ds и переменной интегрирования будет у (рис. 10): Например, вычислим площадь поверхности шара (рис.11). В полярных координатах формула поверхности фигуры выглядит следующим образом: , и для шара R(j)=Rcosj. Следовательно:

.

Найдем площадь поверхности маковки, образованной вращением вокруг оси OY дуг окружностей. Рассмотрим два варианта.

1. Маковка состоит из сегмента высоты h шара радиуса R и, начиная с 60-ой параллели, - поверхности вращения дуги окружности того же радиуса R вокруг вертикали. Сопряжение дуг гладкое, они имеют общую касательную (рис. 12а).

 

Площадь сферической части маковки S₁ ищется по известной формуле площади сегмента шара: S₁=2pRh. Площадь верхней части маковки S₂ – площадь поверхности вращения дуги окружности вокруг оси OY. С дугами окружности проще работать в полярной системе координат. Возьмем в качестве переменной интегрирования угол j (рис. 12б) и применим те же рассуждения.

Выпишем, чему равна боковая поверхность узкой цилиндрической полоски. Величина радиуса цилиндра равна R-Rcosj=R(1-cosj). Величина образующей ds=Rdj. Следовательно,

В нашем конкретном случае точке перегиба, до которой мы интегрируем, соответствует значение j₀=60°=p/3 (силуэт верхней части маковки состоит из 2-х дуг окружности, центральный угол которых равен 60°).

S=S₁+S₂=2pRh+2pR²(p/3-sinp/3)=2pRh+2pR²(p/3- =2pRh+2pR²×0,18

Для шлема вместо слагаемого 2pR²×0,18 по формуле S₂=2pRh получается величина:

2pR²(1- =2pR²×0,13, то есть на вогнутую верхушку маковки идет материала ("золота") на 38,5% больше (0,05:0,13=0,385)

2. Маковка с раздвинутыми боками (рис. 13а).

Для того чтобы найти поверхность такой маковки, выпишем формулу для вычисления поверхности вращения выпуклой дуги окружности, центр которой находится на расстоянии а от оси вращения. Такая поверхность не будет частью сферы. Это часть тора. Самый простой пример тора – хорошо всем известный бублик. Лежащий горизонтально бублик получается вращением вокруг вертикальной оси целой окружности. Если вращать не всю окружность, а только некоторую дугу окружности, то получится часть поверхности тора. Как видно из чертежа 13б величина радиуса узкого цилиндра, боковая поверхность которого нас интересует, равна а +Rcosj. Длина образующей ds=Rdj. Следовательно,

Для j₀=60°=p/3 S₂=2pRa×p/3+

 

Ответы к задачам

Глава 1

1. 2,3515£x£2,399 х~2,4- 2 верных знака

2. 0,6%

3. 1260

4. 38,8%

5. 117,8£х£130

6. 44%

7. 2%, 3%, 4%, 5%; (1-0,01)ⁿ=0,99ⁿ

8. Валютный выгоднее

9. 1,052

10.»е²⁰ копеек или е¹⁸ рублей, ≈е¹²⁰копеек≈1,28∙10⁵²

Глава 2

1. 6

2. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024; 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512;

; ;

3. , 1, 2, 4, 8, 16; 16, 8, 4, 2, 1,

4. 1, 0.6, 0.36, 0.216, 0.1296;

0.4, 0.24, 0.144; 0.0864;

1, 0.618, 0,382, 0.236, 0.146, 0.090;

0.382, 0.236, 0.146, 0.090, 0,056;

2.9%, 5.7%, 8,5%,11,1%;

5. 1, 1.6, 2.56, 4.096, 6.55;

2.6, 4.16, 6.66, 10.646;

1, 1.618, 2.618, 4.236, 6.854;

2.618, 4.236, 6.854;

Глава 4

3. 10м

4. 21,5м; 43м

5. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

13. 1, 1.272, 1.618, 2,058, 2,618

18. 1.618

19.

Глава 7

1. 7,62мм

2. 4,4ц/га

3. 108км/час

4. 148,5; 221,3; 46°

5. 55°; 70,36; 45°

6. 42°

7. 64,7

8. 100; 1,96

9.»4°20'

10. 15,625

11. ~4,9м³; 0,65; 41°

12. ~12л

13. а)7,5м², б) ; в) ; г)~51,6м²

14. 2.5, 37°, 53°, 90°, 3/5, 4/5, 4/3, 3/4

15.

16. 19/35, 1/5, 5/7

17.

18.

Глава 8

1. (6,-4), (4,0), (-2,4), (7,-10),

2. (2,-17), (6,-16), (13/6, -23/6)

3. 0

Глава 9

1. (-1,-2); (-3,-4)

8. у=х+1, у=-х-1

у=х+1, у=-х+1

9. 31,25°; 32°

Глава 10

7. а) ; б)

8. 5; (-3,0), (3,0)

9. ; (-3,0), (3,0)

10. a) a=1/5; b=1/4; b) a=1, b=1/2

11.

12. , ,

13. , ,

Глава 11

1. Квадрат со стороной 30м

2. Квадрат со стороной 200м

Приложение

 

 

Таблица значений тригонометрических функций

a°	a(радианы)	sina	tga	ctga	cosa
				¥		1,571
	0,017	0,017	0,017	57,29	1,000	1,553
	0,035	0,035	0,035	28,64	0,999	1,536
	0,052	0,052	0,052	19,08	0,999	1,518
	0,070	0,070	0,070	14,30	0,998	1,501
	0,087	0,087	0,087	11,43	0,996	1,484
	0,105	0,105	0,105	9,514	0,995	1,466
	0,122	0,122	0,123	8,144	0,993	1,449
	0,140	0,139	0,141	7,115	0,990	1,431
	0,157	0,156	0,158	6,314	0,988	1,414
	0,175	0,174	0,176	5,671	0,985	1,396
	0,192	0,191	0,194	5,145	0,982	1,379
	0,209	0,208	0,213	4,705	0,978	1,361
	0,227	0,225	0,231	4,331	0,974	1,344
	0,244	0,242	0,249	4,011	0,970	1,326
	0,262	0,259	0,268	3,732	0,966	1,309
	0,279	0,276	0,287	3,487	0,961	1,292
	0,297	0,292	0,306	3,271	0,956	1,274
	0,314	0,309	0,325	3,078	0,951	1,257
	0,332	0,326	0,344	2,904	0,946	1,239
	0,349	0,342	0,364	2,747	0,940	1,222
	0,367	0,358	0,384	2,605	0,934	1,204
	0,384	0,375	0,404	2,475	0,927	1,187
	0,401	0,391	0,424	2,356	0,921	1,169
	0,419	0,407	0,445	2,246	0,914	1,152
	0,436	0,423	0,466	2,145	0,906	1,134
	0,454	0,438	0,488	2,050	0,899	1,117
	0,471	0,454	0,510	1,963	0,891	1,100
	0,489	0,469	0,532	1,881	0,883	1,082
	0,506	0,485	0,554	1,804	0,875	1,065
	0,524	0,500	0,577	1,732	0,866	1,047
	0,541	0,515	0,601	1,664	0,857	1,030
	0,559	0,530	0,625	1,600	0,848	1,012
	0,576	0,545	0,649	1,540	0,839	0,995
	0,593	0,559	0,675	1,483	0,829	0,977
	0,611	0,574	0,700	1,428	0,819	0,960
	0,628	0,588	0,727	1,376	0,809	0,942
	0,646	0,602	0,754	1,327	0,799	0,925
	0,663	0,616	0,781	1,280	0,788	0,908
	0,681	0,629	0,810	1,235	0,777	0,890
	0,698	0,643	0,839	1,192	0,766	0,873
	0,716	0,656	0,869	1,150	0,755	0,855
	0,733	0,669	0,900	1,111	0,743	0,838
	0,750	0,682	0,933	1,072	0,731	0,820
	0,768	0,695	0,906	1,036	0,719	0,803
	0,785	0,707	1,000	1,000	0,707	0,785
		cosa	ctga	tga	sina	a(радианы)	a°

 

Курсовое задание

Геометрическая и арифметическая прогрессия циркулем и линейкой

 

 

Равносторонний треугольник, арки и треугольная решетка

 

 

Древние символы. Деление окружности на равные части

 

 

 

Решетки, пчелиные соты

 

 

Кресты, шестиугольная мозаика

 

 

Метод квадрата и его диагонали (пропорция 1: )

 

 

 

 

Среднее геометрическое, золотое сечение, золотой прямоугольник

 

Золотые треугольники, золотой дракон

 

 

Спираль Архимеда