Геометрические построения, применявшиеся древними мастерами

Важнейшей проблемой для архитектора было правильное проведение ортогональных друг другу продольной и поперечной осей храма и построение подкупольного квадрата. Про то, как именно осуществлялась эта процедура, сведений не сохранилось. Но можно понять, чем руководствовались в работе древние архитекторы, изучая созданные ими сооружения.

С древних времен известен так называемый "египетский" треугольник - треугольник, отношение сторон которого описывается тройкой 3:4:5, суть прямоугольный. Планы, имеющие пропорции 3:4, имели дворцы и усадьбы еще в древнем Египте.

 

 

 

 

 

Построить такой треугольник можно с помощью кругового шнура, поделенного на 12 равных частей. Если натянуть шнур с помощью 3-х колышков так, как это показано на рисунке 3а, то получим прямоугольный треугольник. Этот же треугольник позволяет построить часто употребляемые прямоугольники и арки с отношением сторон 3:4 и 4:5 (рис.3а).

Известны были древним и другие тройки целых чисел, задающих отношение сторон прямоугольных треугольников: 5:12:13, 20:21:29, 7:24:25, 9:40:41. Знание тройки 40:41:9 позволяет решить школьную задачу (рукопись XVII века): "В некоемом кладязе поставлена лестница долготою 41 стопа, а кладязь широтою во все стороны до 9 стоп. И ведательно есть, колику оный кладязь глубины мяше". Согласно теореме Пифагора величина неизвестного катета (рис.3б) вычисляется по формуле: . Скорее всего, эта задача предполагает знание учащимся тройки (9,40,41).

Разбивка плана церкви начиналась с построения 2-х взаимно перпендикулярных осей. Направление продольной оси храма определялось на рассвете, затем любым способом строилась перпендикулярная ей ось - с помощью засечек циркуля, плотничьего наугольника или с помощью прямоугольного треугольника. Вслед за построением перпендикулярных осей строился квадрат (или прямоугольник). В Грузии на стене одного из древних храмов высечен чертеж, воспроизводящий построение квадрата на основе перпендикулярных осей (рис. 3в). Сначала проводится окружность, диаметр которой равен стороне квадрата, затем из точек пересечения окружности с осями строятся полуокружности такого же диаметра. Точки пересечения соседних полуокружностей определяют вершины квадрата.

У всех построенных квадратов и прямоугольников измерялись диагонали. Равенство диагоналей является признаком того, что углы у фигуры прямые (при проведении обмеров сооружений размер диагоналей прямоугольных частей обязательно наносится на план). Известно было мастерам и то, что угол, опирающийся на диаметр окружности, - прямой. Это могло использоваться, например, при создании плотничьих наугольников (рис.3г).

Далее при разбивке плана использовались простые построения, выполняемые с помощью циркуля и линейки, и правила пропорционирования, которыми мастера древности владели в совершенстве.

Обследования древних храмов показали, что для каждого сооружения можно определить модульный (первоначальный) размер, служащий основой всех последующих построений, определяющих форму сооружения. Все построения образуют непрерывную цепь, первое звено которой определяется модульным размером. В качестве такого модуля может выступать толщина столба, сторона подкупольного квадрата или еще какая-то величина.

Приведем обобщенные данные, приведенные в монографии К.Н.Афанасьева "Построение архитектурной формы древнерусскими зодчими", позволяющие составить представление о принципах проектирования, которыми руководствовались строители русских храмов в XI-XII веках.

 

Некоторые стандарты планировки интерьера храма

Если размер подкупольного "квадрата" измерить в футах (греческих – 308-309мм или римских 295-296мм), то, как правило, используются размеры: 25, 20, 16, 15, 12, 10 футов. В летописи упоминается размерение с помощью "пояса Шимона", но эта мера, скорее всего, равна 4 футам. При описании геометрии храма сторона подкупольного "квадрата" может использоваться в качестве "модуля" - исходной меры, которая является начальным звеном в цепи соразмерности всех элементов сооружения.

Слово "квадрат" мы снабдили кавычками, так как вместо точного квадрата часто использовался "живой" квадрат - близкий к квадрату прямоугольник, вытянутый чаще всего вдоль продольной оси храма.

В описании встречаются следующие пропорциональные отношения сторон подкупольного квадрата.

рациональные соотношения:

1:1 - точный квадрат;

20:21»0,95 (21:20»1,05) или 21:22»1.05 (22:21»0.95)

20:21 - "квадрат" вытянут в продольном направлении (рис.4а), 21:20 - в поперечном;

10:11≈0,9 (11:10≈1,1);

5:6»0,83 (6:5=1,2);

4:5=0,8 (5:4=1,25);

 

 

иррациональные соотношения (построение с помощью циркуля и линейки):

1,155:1 (0,866:1) (рис. 4б,в) - соотношение между стороной и высотой равностороннего треугольника, ();

- соотношение между стороной и диагональю квадрата, на рисунке 4г дано построение, начиная с нижней стороны, на рисунке 4д построение прямоугольника такого же размера, но выполненное от центра;

0,894:1 (1,118:1) - соотношение между стороной квадрата и диагональю полуквадрата - ().

"Живой квадрат" с соотношением сторон =1,118:1 можно построить двумя способами - с помощью диагонали полуквадрата (рис 5а) и как катет прямоугольного треугольника, короткий катет которого равен 1, а гипотенуза - 1.5 (рис.5в), так как согласно теореме Пифагора длина второго катета вычисляется по формуле: .

 

На рисунках 5а и 5в дано построение, начиная с нижней стороны, на рисунках 5б и 5г те же построения выполняются от центра.

Толщина столбов выражается в долях стороны подкупольного квадрата. Самые распространенные значения: 1/5=0,2 и 1/4=0,25. Получить 1/5 можно геометрически, не прибегая к измерениям, описав окружность вокруг квадрата со стороной 1 (рис. 6а). Для получения 1/4 также не требуется измерения - достаточно веревку, длина которой равна стороне квадрата, сложить два раза. Сводная таблица, приведенная в книге Афанасьева, демонстрирует, что эти 2 алгоритма соблюдаются только для больших подкупольных квадратов. При уменьшении размеров храма толщина столбов и стен не уменьшалась пропорционально размерам храма, толщина меньше метра практически не встречается и, вместо долей 0,2 и 0,25 от величины стороны подкупольного квадрата, у малых храмов появляются доли 0,3-0,4. Например, сторона подкупольного "квадрата" храма Покрова на Нерли 10 футов - 3м10см. 310:4»78см. И размер столбов определяется диагональю полуквадрата (рис. 6б). При таком построении толщина столбов будет составлять примерно 0,3 часть от стороны квадрата и получается равной 96-98см. Точнее, если принять сторону квадрата за единицу, то толщина столба при таком построении равна j/2»0,309. Эти же дуги служат и для "растягивания" квадрата вдоль продольной оси, когда центром растяжения является центр квадрата. Очень редки круглые столбы, встречаются столбы восьмиугольной формы. Неизвестно, каким именно способом чертил восьмиугольник создатель таких столбов, никаких письменных источников того времени, освещающих эту проблему нет. На рис. 6в приведен очень простой и верный, несмотря на отсутствие доказательства, способ построения восьмиугольника, содержащийся в немецком руководстве по практической геометрии, написанном во второй половине ХV века. Этот учебник наверняка вобрал в себя многовековой опыт строителей.

 

Столбы имеют крестчатую форму. Размер лопаток чаще всего определяется каким-нибудь простым построением, например, тем же построением, что и размер столба - проведением окружности вокруг сердцевины столба, или равен просто 1/4 или 1/2 толщины столба (рис.6г). Но точность их сооружения, как правило, очень невелика. Естественно, встречаются столбы и не очень правильной формы (о них мы говорить не будем, обсуждение их формы оставим архитекторам).

Ширина нефов также является рациональной (выражается в целых долях) или иррациональной (строится с помощью циркуля) функцией стороны подкупольного квадрата. В размерении нефов, как продольных, так и поперечных, могут участвовать и обе стороны подкупольного "квадрата", и его диагональ или диагональ половины подкупольного "квадрата".

Ширина боковых нефов Киевской Софии, прилегающих к центральному нефу, определяется тем же построением, что и у Константинопольской Софии - диагональю половины подкупольного квадрата (рис 7а). Такое построение задает разбивку поперечной оси храма в отношении: j:1:j. Этот же алгоритм построения может выполняться и тогда, когда подкупольный квадрат слегка вытянут.

 

 

 

Ширина боковых нефов Новгородской Софии, прилегающих к центральному нефу, определяется полудиагональю подкупольного квадрата (рис. 7б) (отношение 0.707:1:0.707»7:10:7). В некоторых планах в построениях участвуют равносторонние треугольники (построение таких треугольников с помощью циркуля осуществить очень легко) - и для определения центра апсиды, и для определения ширины нефа или всего храма.

Самые простые рациональные соотношения - ширина боковых нефов равна 1/2 или 3/5 стороны подкупольного квадрата. В качестве ширины поперечных нефовиспользуются те же самые рациональные и иррациональные функциисторон подкупольного "квадрата". На выбор ширины нефов влияет много обстоятельств. Это и практические соображения, и стремление соблюсти общие пропорции здания, и связь их величины с внешним обликом здания.

Мы видим, что древними мастерами широко используются отрезки, длины которых суть иррациональные величины и даже (гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого равен 1, а второй ). Они несоизмеримы с единицей, то есть их нельзя измерить совершенно точно, как это принято в наши дни, с помощью измерительной линейки, состоящей из метров, сантиметров и миллиметров (или саженей, локтей и пальцев или футов и дюймов), но их легко построить с помощью циркуля и линейки. Древними мастерами использовались рациональные приближения для их значений, обеспечивающие удовлетворительную с точки зрения практики точность.

Внутренний диаметр барабана определяется стороной подкупольного квадрата, а внешний диаметр барабана этой стороной и толщиной столбов (рис. 7в). В простом случае проекция барабана - это вписанная и описанная окружности подкупольного квадрата. Желая облегчить вес купола, стены барабана старались сделать как можно более тонкими. Увеличение внутреннего диаметра увеличивает внутренне пространство купола, но лишает внутреннюю стену барабана опоры на подпружные арки. Поэтому проще добиться уменьшения веса барабана за счет внешних размеров. Так что иногда стенки барабана делали, чуть ли не вдвое тоньше опорных столбов.

Мы не касаемся вопроса о том, как проектировалась алтарная часть храма - как выбирались ширина восточного нефа, центр и радиус апсид. Это вопросы скорее архитектурные, чем геометрические. Так как мы обсуждаем построения, которые использовались в работе древними мастерами, отметим примеры использования трехцентровых дуг.

Несколько необычная форма апсиды в одном из храмов - это не дуга окружности, а трехцентровая дуга, имеющая форму подковы (рис. 8а). Сначала вычерчивается полуокружность, затем радиусом, равным диаметру, из конечных точек диаметра проводятся дополнительные дуги. Форму трехцентровой дуги имеет подпружная арка Успенского собора в Чернигове (рис. 8б). Пролет арки делится на 8 частей, средняя часть описывается радиусом, равным 5 частям, боковые части радиусом, равным 3 частям (еще одно использование тройки 3, 4, 5).

Внутренняя планировка русского храма целиком определяет наружный вид здания, так как наружные фасады членятся пилястрами, расположенными на тех же уровнях, что и внутренние столбы, закомары повторяют очертания сводов, а высоту здания и его частей, как правило, можно найти на его горизонтальном плане.

Уровень точности, с которой воплощался геометрический замысел архитектора, был в те времена не слишком высок. Планы, воспроизведенные в масштабе 1:100 или 1:50, демонстрируют иной раз видную невооруженным глазом перекошенность, как подкупольного квадрата, так и всего плана, разницу в ширине симметричных нефов, столбы неправильной формы и т.д. А уж разница в 10 см и вовсе не видна на плане, выполненном в таком маленьком масштабе. Несмотря на простоту алгоритмов, добиться хорошей точности при больших длинах не удавалось. Кроме того, в "правильный" геометрический чертеж архитекторы, знакомые с тайнами восприятия человеком объемных предметов, вносят поправки, служащие для того, например, чтобы вызвать иллюзию большей глубины интерьера или большей высоты купола, или сознательно вносят небольшие неточности, что, как показывает опыт, улучшает общее впечатление.

Приведем некоторые схемы, которые представляются первым приближением построения планов древнерусских храмов в домонгольский период, "математика" которых может быть связана с "золотыми" пропорциями. Напоминаем, что речь будет идти о математической модели, дающей лишь первое приближение, а не о точном описании конкретных храмов.

Изучение планов, собранных в монографии К.Н.Афанасьева, показывает, что для планов храмов, имеющих развитую западную часть характерно соотношение длины и ширины интерьера близкое к золотому. Кроме 4-х столбов подкупольного пространства в таких храмах имеются дополнительные опоры в виде 2-х или даже 4-х столбов, а иногда целая внутренняя стена, отделяющая нартекс. Опишем простейшие математические модели таких планов, построенные на основе представленных в монографии материалов. Сначала рассмотрим схемы, которые можно построить безо всякого циркуля на клетчатой бумаге. При построении плана, имеющего пропорции "золотого" прямоугольника, мы будем пользоваться целыми числами и простейшими дробями, т.е. не выйдем за пределы расчетов, доступных древним мастерам. В масштабе 1:50 эти схемы являются неплохим приближением для плана нескольких храмов.

 

Схема плана, основанная на делении поперечной оси в пропорции: 1:2:1:4:1:2:1

На рисунке 9а изображен план, в котором поперечный разрез храма конструируется с помощью пропорциональных соотношений 1:2:1:4:1:2:1, то есть величина стороны подкупольного квадрата - 4 единицы, толщина стен и столбов равна 1, ширина боковых нефов равна 2.

 

Самый простой вариант описания этой схемы плана - внутреннее пространство храма, включая апсиды - прямоугольник, который можно разбить на квадрат со стороной 10, к которому с восточной стороны пристроены апсиды (вписаны в прямоугольник 3´10), а с западной – нартекс (также прямоугольник 3´10), отделенный от молитвенной части стеной или столбами.

Второй вариант описания того же плана - квадрат со стороной 10, в который входит подкупольное пространство и апсиды, и примыкающий к нему с запада прямоугольник со сторонами 10 и 6. Это описание напоминает построение "золотого" прямоугольника с помощью диагонали полуквадрата. Западная сторона этого квадрата задает положение западной стороны подкупольного квадрата. Прямоугольники с отношением сторон 16:10=8:5=1,6:1 и 10:6=5:3»1,67 близки к золотым. Пропорции 8:5 и 5:3 встречается у древних мастеров очень часто. Центр подкупольного квадрата совпадает с центром плана. Если в качестве короткой стороны маленького прямоугольника взять 6+1/4=0,625, то получим пропорции совсем мало отличимые от "золотых": 16,25:10=1,625»1,618 и 6,25:10=0,625»0,618 (точность соблюдения пропорций: 0,007:1,6×100@0,5%). Отношение ширины бокового нефа к стороне подкупольного квадрата: 2:4=0,5. На рисунке 9б приведена грубая схема внешнего вида западного фасада такого храма.

 

Схема плана, поперечный разрез которого описывается с помощью чисел 1, 3, 5, 8, 13, 21

Поперечный разрез храма конструируется с помощью пропорциональных соотношений 1:3:1:5:1:3:1. Величина стороны подкупольного квадрата - 5 единиц, толщина стен и столбов равна 1, ширина боковых нефов равна 3. Схему плана можно нарисовать на клетчатой бумаге так, как это представлено на рисунках 10а,б. Схема западного фасада, имеющего такие пропорции, представлена на рисунке 10в.

Похожий вид имеет план самого древнего сохранившегося до наших дней храма - Спасо-Преображенского собора в Чернигове (заложен в 1036г.). Похожую разметку имеют многие планы "золотой" или близкой к "золотой" пропорции.

Не только пропорции поперечного разреза, но и основные пропорции продольного разреза также у многих храмов имеют общие черты. На схеме видно, что в плане внутреннее пространство храма, включая апсиды - прямоугольник с отношением сторон 21:13. Его можно разбить на квадрат со сторонами 13:13, расположенный в восточной части храма, и прямоугольник со сторонами 13:8 в западной части. Западная сторона подкупольного квадрата, сторона которого в тех же единицах измерения равна 5, лежит на западной стороне квадрата 13:13. Отношение ширины бокового нефа к стороне подкупольного квадрата 3:5=0,6.

Мы видим, что пропорции прямоугольников, из которых строится план, описываются с помощью последовательности целых чисел: 1, 3, 5, 8, 13, 21. Эта последовательность выделялась (из натурального ряда) архитекторами еще в античные времена. Если вставить на второе место число 2, то получим начало последовательности Фибоначчи, о свойствах которой мы уже рассказывали.

Отношение соседних членов последовательности Фибоначчи очень близко к "золотому":

(1+j):1=Ф:1=1:j»21:13»1,615:1»1,618:1 (точность 0,003:1,6×100»0,2%),

(1+j):1=Ф:1»13:8=1,625:1»1,618:1 (точность 0,007:1,6×100»0,5%),

3:5=0,6»0,618»j (точность 0,018:0,6×100»2%).

Таким образом, данное нами описание пропорций плана храма с помощью последовательности целых чисел 1, 3, 5, 8, 13, 21 дает неплохое с практической точки зрения рациональное приближение "золотых" пропорций.

Центр подкупольного квадрата по этой схеме находится в центре прямоугольника плана. На рисунке 10б изображено построение того же плана от центра (считается, что разбивка плана в соответствии с традициями, пришедшими из Греции, производилась мастерами именно от центра). Если принять, что ширина лопатки столба равна половине толщины столба, то в основе построения окажутся 3 концентрических квадрата со сторонами 5, 8 и 13. Апсиды с восточной стороны, нартекс с западной со своими столбами примыкают к квадрату 13´13.

Заметим, что точность, с которой работали древние мастера, была порядка 1-2%. Например, для подкупольного квадрата со стороной 25 футов (≈7,7м) длина диагонали составляет примерно 11м, а разница в длинах 2-х диагоналей составляет 20см. Длины диагоналей подкупольного квадрата различаются примерно на 2%. Разница в ширине боковых нефов составляет 3см при том, что их размер равен примерно 150см (2%) и т.д.

Чтобы получить пропорции северного и южного фасадов, примем для радиуса апсиды грубую оценку. Как правило, диаметр апсиды на величину 2-х лопаток меньше восточной стороны подкупольного квадрата. Так что будем считать, что радиус апсиды равен 2 единицам. Заканчивается апсида столбами с лопатками, заменяющими восточную стену и это дает нам длину храма снаружи без апсид, равную 20 единицам (21-2+1). Тем самым членение северной и южной стороны храма с востока на запад для схемы, приведенной на рисунках 10а,б, можно описать пропорцией: 1:2:1:4:1:5:1:3:1:3:1.

В наших схемах для барабана примем самый простой вариант, когда внешний диаметр барабана равен малой стороне подкупольного квадрата в сумме с двумя столбами. Тогда для схемы 1 2 1 4 1 2 1 членение плечо - барабан - плечо описывается пропорцией 3:6:3=1:2:1, так как длина плеча от внешней стенки барабана до края стены храма равна толщине стены плюс ширина бокового нефа, т.е.1+2=3, а диаметр барабана это две толщины столба плюс сторона подкупольного квадрата, т.е. 1+4+1=6. Для схемы 1 3 1 5 1 3 1 получается пропорция 4:7:4. Эти схемы демонстрируют, как отражается выбор схемы на внешнем облике здания.

 

Построение “золотого” плана циркулем и линейкой

Мы дали два построения, которые можно осуществить просто на клетчатой бумаге. Эти схемы лежат в основе планов нескольких храмов.

Построим схему плана, содержащую иррациональные соотношения, с помощью циркуля и линейки - в интерьере отношение полной длины храма (с апсидами) к ширине не близкое к "золотому", а в точности “золотое” (Ф:1=1:j@1,618:1@1:0,618), а его подкупольный квадрат вытянут в продольном направлении и имеет отношение сторон, равное (функция золотого сечения - пропорция, хорошо известная древним мастерам).

 

 

Строим на клетчатой бумаге квадрат. Далее вытягиваем его так, чтобы продольный размер "квадрата" стал в больше поперечного размера. Это построение можно выполнить с помощью диагонали полуквадрата или с помощью циркуля, раствор которого в 1,5 раза больше стороны квадрата (рис. 11б). Построение можно начинать от нижней стороны вверх (рис 11а) или от центра (рис. 11в).

Построение циркулем от центра позволит одновременно с растяжением в продольном направлении в раз получить на поперечной оси храма наружные границы "ядра", в которое вписан подкупольный прямоугольник и столбы. Пропорциональные соотношения “ядра” определяются из построения "золотого" прямоугольника с помощью диагонали полуквадрата (рис. 11в).

В формулах на плане малая сторона подкупольного квадрата принята за единицу, все остальные размеры выражаются в долях этой величины, так что она выполняет роль модуля, стоящего в начале цепочки построения и играющего роль единицы в пропорциональных соотношениях. Если мы примем, что толщина столба равна четверти стороны подкупольного квадрата, ширина лопатки равна примерно четверти толщины столба, то толщина столба в сумме с лопаткой равна примерно 1/4+1/4×1/4=0,25+0,0625=0,3125. А при построении с помощью циркуля j/2»0,309. Следовательно, малая сторона+2(столб+лопатка)»1+j, что мы и изобразили на чертеже. Если расстояние от границ ядра до боковых стен храма равно 0,5, то ширина храма в интерьере равна 2+j. Продольные размеры храма в интерьере определим следующим образом: расстояние от восточной границы подкупольного квадрата до восточной границы интерьера храма равно диагонали подкупольного "квадрата", то есть 1,5, а расстояние от западной границы подкупольного "квадрата" до западной стены храма равно ширине ядра, то есть 1+j. Эти построения легко выполняются с помощью циркуля и план приобретает классические "золотые" пропорции - он состоит из квадрата со сторонами 2+j и прямоугольника со сторонами 2+j и 1+j, отношение сторон прямоугольника плана, таким образом, равно (3+2j):(2+j)=1:j=Ф:1.

Наше построение дает поперечное членение интерьера в соответствии с пропорцией 0,5:j/2:1:j/2:0,5=1:j:2:j:1 (ширина бокового нефа равна половине, толщина зоны столба j/2-ая часть стороны подкупольного квадрата). Сторона подкупольного квадрата в этом случае делит поперечную ось в отношении: (1+j):2:(1+j) = Ф:2:Ф = Ф/2:1:Ф/2 = 1:2j:1, что можно выразить в числовой форме: 0,809:1:0,809 @1:1,236:1.

Рациональным приближением для этого плана будет такой план: подкупольный "квадрат" 4´4,5; толщина столба 1, ширина лопатки 1/4, т. е. ширина “ядра” 6,5; ширина интерьера 10,5; расстояние от западной стороны подкупольного квадрата до западной стены равно ширине “ядра”, т.е. 6,5; расстояние от восточной стороны подкупольного "квадрата" до восточной границы интерьера храма, включая апсиды, равно диагонали подкупольного"квадрата", т.е. 6; полная длина интерьера храма, включая апсиды, 6,5+4,5+6=17; западная сторона подкупольного квадрата лежит на западной стороне квадрата 10,5´10,5. Если все эти числа умножить на 2, то получим числа 8, 13, 21, 34 из последовательности Фибоначчи, что обеспечивает "золотые" пропорции.

В рассмотренных нами ранее рациональных схемах центр подкупольного квадрата находился в центре продольной оси. В этой схеме, соответствующей построению с помощью циркуля, это уже не так - расстояние от центра подкупольного "квадрата" до восточной стены (стена апсиды) равно 6+2,25=8,25, а до западной стены 6,5+2,25=8,75, т.е. на 0,5 (на ½ толщины столба) меньше, чем до западной стены.

Эта схема примерно соответствует схеме плана Успенского собора Елецкого монастыря в Чернигове, содержащейся в книге Шевелева Формообразование», и по описанию схемы плана в масштабе 1:50, приведенному в монографии Афанасьева. Для этого храма величина малой стороны подкупольного "квадрата" равна 622см (у Шевелева 622см, у Афанасьева 616-618см), толщина столба равна примерно 1/4 этого значения, ширина лопатки равна примерно 1/4 толщины столба (в сумме 192см), ширина храма в интерьере равна 1624см, длина храма в интерьере равна 2655см. Тем самым:

Если принять за единицу толщину столба (примерно 155см), то малая сторона подкупольного квадрата равна 4, ширина ядра равна 1006:155»6,5, ширина интерьера равна 1624:155»10,5, длина интерьера 2655:155»17.

Величина, через которую легко выражаются размеры разных частей сооружения, называется модулем. В наших описаниях схем роль модуля играли величина подкупольного квадрата или толщина столба.

Пропорции плана, полученные при измерении по наружным стенам, из-за стен храма отличаются от внутренних, и здесь просматриваются некоторые простые пропорциональные отношения, которые можно описать с помощью целочисленных отношений: 5:4, 3:2, 6:5.

Мы не касались и практически не будем касаться вопросов, связанных с вертикальными размерами и пропорциями храмов. Отметим только, что существовало правило, согласно которому вертикальные размеры сооружения или прямо берутся из его плана или связываются с горизонтальными размерами простыми пропорциональными соотношениями - прием, очень удобный с точки зрения технологии. Пропорциональные соотношения, между вертикальными и горизонтальными размерами и между вертикальными членениями - это опять самые простые рациональные отношения и пропорции, порождаемые отношениями диагонали квадрата и полуквадрата и их производных.