Шары, эллипсоиды, конусы, цилиндры, параболоиды, гиперболоиды

Уравнение шара: x²+y²+z²=a² - любая плоскость пересекает шар по окружности. Для плоскостей z=h h<a - это окружности x²+y²=а²-h². Из соображений симметрии это верно и для любой другой плоскости, нормаль к которой можно рассматривать в качестве координатной оси)

Уравнение эллипсоида: - любая плоскость пересекает эллипсоид по эллипсу (на рис. 20 приведен чертеж эллипсоида и других обсуждаемых тел).

Уравнение конуса: - вершина конуса в начале координат.

Цилиндрическая поверхность – поверхность, направляющей которой является кривая второго порядка, например, эллипс или парабола, образующей – вертикальная прямая. То есть цилиндр строится следующим образом. На плоскости XOY рассмотрим кривую второго порядка с уравнением F(x,y)=0. Через каждую точку М(х,у,0) линии проведем прямую, параллельную оси Z. Все эти прямые составят поверхность, которая называется цилиндрической. Тип кривой определяет название цилиндра, например:

эллиптический - ,

параболический – y ²=2 px.

Плоскость z=h пересекает цилиндр независимо от значения z по одной и той же кривой, уравнение которой от z не зависит.

Эллиптический параболоид: - сечения, параллельные плоскости XOY (z=c) – эллипсы (их уравнения ), сечения плоскостями XOZ (y=0) и YOZ (x=0) – параболы x²=a²z и y²=b²z и, вообще, сечения, параллельные оси Z – параболы.

 

Гиперболоид однополостный: - телевизионная башня Шухова, имеет два семейства прямолинейных образующих (см. ниже).

Двуполостный гиперболоид:

Гиперболический параболоид: (так называемое седло)

Более подробное описание и рисунки поверхностей второго порядка можно найти в справочниках.

 

Прямолинейные образующие

Прямолинейной образующей называется прямая линия, целиком лежащая на данной поверхности. Поверхность называется линейчатой, если ее можно образовать движением прямой линии (образующей). Из таких образующих состоят конус, цилиндр, плоскости, однополостный гиперболоид и даже седло.

Телевизионная башня, состоящая из прямолинейных металлических полос (образующих однополостного гиперболоида), дает нам наглядный пример применения на практике линейчатых свойств криволинейной поверхности. Полосы склепываются в местах пересечения двух систем образующих и при малой затрате материала конструкция обладает большой прочностью.

Идея применения в строительной технике конструкции из металлических полос, расположенных так, как расположены прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, принадлежала знаменитому русскому инженеру Шухову.

 

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Постройте график гиперболы.

2. Построить на том чертеже, на котором нарисован график цепной линии (см. задачу 7 гл. 9), по вершине и точке параболу (вершины у обеих линий совпадают, вторая точка параболы лежит на цепной линии).

3. Нарисуйте висящую гирлянду, воспользовавшись для ее линии провиса графиком параболы, заменяющей цепную линию, подобрав масштаб и кусок графика так, чтобы прогиб соответствовал тому, что вы желаете.

4. Постройте эскиз из струй фонтана, имеющих форму парабол.

5. Выберите два произвольных отрезка а и b и постройте на одном чертеже эллипс и овал с выбранными вами полуосями. Отметьте точки фокусов.

6. Постройте изображение шара с экватором и полюсом.

7. Постройте линию, которая получится, если: а) ординаты точек окружности х²+у² =16 уменьшить в 2 раза, не изменяя абсцисс; б) абсциссы точек окружности х²+у² =9 уменьшить в 2 раза, не изменяя ординат. Каковы уравнения полученных линий?

8. Определите радиус окружности, сжатием которой к оси Х получен эллипс . Каковы координаты фокусов эллипса?

9. Составить каноническое уравнение эллипса, если полуоси его соответственно равны 5 и 4. Каковы координаты его фокусов?

10. Определить полуоси эллипсов: а) 25х²+16у²= 1, б) х²+4у²=1

11. Постройте линию, определяемую уравнением: 4х²+9у² =36

12. Поверхность задана уравнением . Что представляют собой линии ее пересечения с плоскостями z=0, х=0, у=0?

13. Поверхность задана уравнением . Что представляют собой линии ее пересечения с плоскостями z=0, х=0, у=0?

 

Глава 11

Непрерывность функции. Производная и кривизна

Понятие предела

Рассматривая вопрос о сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, о вычислении длины окружности, площади круга и поверхностей и объемов круглых тел, мы уже пользовались понятием предела. Дадим точное определение предела. Пусть задана бесконечная последовательность чисел a₁, a₂, a₃,…,a_n,… Если по мере возрастания номера n члены значения членов последовательности приближаются к некоторому числу а так, что абсолютная величина разности | a_n-a | становится меньше любого наперед заданного числа, то число а называют пределом числовой последовательности a_n при возрастании аргумента (номера) n. Это кратко записывают так:

или или просто a_n®a

Например, или

Величина a_n, стремящаяся к 0 при бесконечном возрастании n, называется бесконечно малой.

Эти же рассуждения и понятия можно применить и в случае непрерывного аргумента.

Примеры

1. - I замечательный предел.

Этот предел означает, что при достаточно малых х sin x и х эквивалентны друг другу (напомним, что х – это величина угла, выраженная в радианах) (рис. 1). Это записывают так: sinx~ х

Смысл I-го замечательного предела состоит в том, что если центральный угол a_рад окружности единичного радиуса мал, то длина а полухорды, стягивающей этот угол, и длина дуги s, на которую угол опирается (рис.2), - величины эквивалентные. Действительно, величина угла в радианах – это и есть длина дуги окружности единичного радиуса, на которую угол опирается. А длина полухорды a =sina). Длину окружности L и вычисляют, как предел периметров вписанных n-угольников, когда число сторон n стремится к бесконечности. Если n велико, то a_n мало и выполняется sina_n/2~a_n/2 и a_n ~2Ra_n/2=Ra_n=s. Если L_n периметр многоугольника, то L_n=n a_n ®L.

 

Алгоритм предельного перехода применяется и для определения площади круга. Площадь круга S есть предел площадей n-угольников S_n. S_n складывается из площадей n треугольников равной площади s, вершиной которых является центр окружности, а основанием – сторона многоугольника (рис. 3). По формуле для вычисления площади треугольника получаем s_n=1/2Ra_n.

S_n=ns_n=n×1/2R a _n=1/2RL_n®1/2RL=1/2R×2pR=pR²

Архимед за 2тыс. лет до трудов Лейбница и Ньютона об исчислении бесконечно малых, определивших последующее развитие методов математического анализа в Европе, для определения значения числа p применил идею предельного перехода. Он вычислил периметры вписанных в окружность и описанных около нее правильных многоугольников от 6-ти до 96-ти угольника и определил очень узкие пределы для числа p: .

2. или -

II замечательный предел. Этот предел мы уже рассматривали, когда делали оценки величины наращенного вклада, когда число периодов начисления процентов по вкладу велико.