Метод координат на плоскости и в пространстве.

Векторы и операция над ними

Определение вектора

Наиболее абстрактное понятие вектора будет введено в главе 16. Здесь же мы ограничимся определением, соответствующим наглядному представлению о векторе, известному из школьного курса математики.

Определение 1 Вектором называется направленный отрезок.

Таким образом, вектор - это отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора.

В математической литературе векторы обозначаются обычно одним из следующих способов: . В двух последних случаях -- обозначение точки, являющейся началом вектора, -- концом вектора. В тексте этого учебника будут использоватся первое и последнее из перечисленных обозначений.

Рис.1.Изображение векторов

Определение 2. Два вектора называются равными, то есть не различаются как векторы, если соответствующие отрезки параллельны, имеют одинаковую длину и направление.

Если считать, что на рисунке 1 векторы лежат в одной плоскости, тоа=с, то есть a и c -- разные обозначения одного и того же вектора. Векторы a и при равных длинах не равны друг другу, так как имеют разные направления. В соответствии с введенным равенством векторов слова "вектор параллелен прямой (плоскости)" и "вектор лежит на прямой (плоскости)" означают одно и то же, так как направленный отрезок можно передвинуть параллельно самому себе, вектор при этом не изменится.

Определение 3 Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.

Определение 4 Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Определение 5 Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.

Модуль вектора a обозначается . Вектор a называется единичным, если .

К множеству векторов необходимо добавить еще один объект, который мы будем называть нулевым вектором. Его можно рассматривать как отрезок, у которого начало и конец совпадают. Длина такого вектора равна нулю, направления он не имеет. Все нулевые векторы равны друг другу. Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектору.

В соответствии с принятыми выше обозначениями следовало бы нулевой вектор обозначать 0, но принято обозначать 0. По контексту всегда ясно, чем является 0, числом или вектором.

Операции над векторами

Определение 6 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис. 2).

Рис. 2.Сложение векторов

Сложение векторов в соответствии с рисунком 2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

Рис. 3.Правило треугольника

 

Определение 7 Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и . Вектор, противоположный вектору a, обозначается -а, то есть .

Определение 8 Разностью векторов a и b называется сумма .

Разность обозначается , то есть .

Определение 9 Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием

1) и, если , то еще двумя условиями:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если .

Произведение вектора a на число обозначается (рис 4).

Рис. 4.Умножение вектора на число

Рассмотрим некоторые свойства операций сложения и умножения вектора на число. Часть из них, которые будут особенно важны при обобщении понятия вектора, выделим в отдельную теорему.

Теорема 1 Для любых векторов и любых вещественных чисел выполняются следующие свойства:

1) (свойство коммутативности операции сложения);
2) (свойство ассоциативности операции сложения);

3) ;

4) ;

5) (свойство ассоциативности по отношению к числам);

6) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);

7) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;

8) .

Доказательство. Свойство 1 следует из того, что при сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. 2) порядок слагаемых не влияет на построение параллелограмма. Доказательство свойства 2 следует из рисунка 5.

Рис. 5.Ассоциативность сложения

 

Свойства 3 и 4 очевидны при сложении векторов по правилу треугольника.

Докажем свойство 5. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, имеют одинаковую длину . Если это произведение равно нулю, то векторы в правой и левой частях доказываемого равенства нулевые и, следовательно, равны друг другу. В противном случае векторы и коллинеарны вектору a и имеют с ним одинаковое направление, если числа и одного знака, и направление, противоположное вектору a, если и разного знака. Следовательно, .

 

 

Свойство 6 очевидно, если . Если и векторы a и b неколлинеарны, то это свойство вытекает из подобия треугольников на рисунке 6.

Рис.6.Свойство дистрибутивности

 

Случаи, когда или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.

Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы и коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что (в противном случае поменяем местами и в доказываемом равенстве).

Пусть и одного знака. Тогда , .

Пусть и имеют разные знаки. Тогда , . Получили, что в обоих случаях.

Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при и противоположно при . Следовательно, . Свойство 7 доказано.

Свойство 8 очевидным образом вытекает из определения 10.9 произведения вектора на число.

Из свойства ассоциативности следует, что в сумме векторов, содержащей три и более слагаемых, можно скобки не ставить. Как найти сумму нескольких слагаемых, не используя попарных сумм, видно из рисунка 7.

Рис. 7.Сумма нескольких слагаемых

Сформулируем еще несколько очевидных свойств операций сложения и умножения вектора на число:

9) равенство верно тогда и только тогда, когда или , или ;

10) вектор, противоположный вектору a, равен , то есть ;

11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что

 

 

Линии второго порядка.

Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

a₁₁x² + a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₁₁ = 0. (*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,

не распадающиеся линии:

— эллипсы,

— гиперболы,

y² = 2px — параболы,

— мнимые эллипсы;

распадающиеся линии:

— пары пересекающихся прямых,

— пары мнимых пересекающихся прямых,

x² - а² = 0 — пары параллельных прямых,

x² + а² = 0 — пары мнимых параллельных прямых,

x² = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.

 

Поверхность второго порядка

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.

Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением

(1)

где - вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

1. Сфера

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Теорема. Сфера радиуса с центром в точке имеет уравнение

2. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где , , -- положительные числа.

Рис. Эллипсоид

3. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид где , , -- положительные числа.

Рис. Однополостный гиперболоид

5. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

где , , -- положительные числа.

Рис. Изображение конуса с помощью сечений

6. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид где и -- положительные числа.

Рис. Эллиптический параболоид

 

 

7. Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими.

Рассмотрим уравнение вида

и покажем, что оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси . Пусть -- некоторая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению. Поскольку в это уравнение не входит явно переменная , ему будут удовлетворять координаты всех точек , где -- любое число. Следовательно, при любом точка лежит на поверхности, определяемой уравнением. Отсюда следует, что на поверхности целиком лежит прямая, проходящая через точку параллельно оси . А это означает, что поверхность, определяемая уравнением, составлена из прямых, параллельных оси , то есть она является цилиндрической поверхностью.

Заметим, что на плоскости уравнение определяет направляющую рассматриваемой цилиндрической поверхности.

Итак, делаем вывод, что если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой-либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением называется эллиптическим цилиндром, поверхность, которая задается уравнением называется гиперболическим цилиндром, а которая задается уравнением называется параболическим цилиндром.

 

 

7. Преобразования плоскости и пространства. Отображение плоскости на себя

Отображением плоскости на себя называется такое преобразование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке. Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F', то говорят, что фигура F' - образ фигуры F, а фигура F - прообраз фигуры F'. Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F', а затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение, переводящее F в F'' называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя. Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным. Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

1. Движения

Параллельный перенос; Осевая симметрия; Поворот вокруг точки; Центральная симметрия

2. Подобие

· Гомотетия

Движение:

Движением называется отображение плоскости на себя, при котором сохраняются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств:

1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

2. Отрезок движение переводится в отрезок.

3. При движении луч переходит в луч, прямая в прямую.

4. Треугольник движением переводится в треугольник.

5. Движение сохраняет величины углов.

6. При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

7. Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.

8. Композиция двух движений также является движением.

Используя определение движения можно дать такое определение равенства фигур:

Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.

Виды движений:

На плоскости существуют четыре типа движений:

1. Параллельный перенос.

2. Осевая симметрия

3. Поворот вокруг точки

4. Центральная симметрия

Параллельный перенос:

Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Осевая симметрия

Точки X и X' называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серидинным перпендикуляром отрезка XX'. Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответствует единственная точка X', симметричная X относительно a.

Симметрией плоскости относительно прямой a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой a.

Поворот

Поворот плоскости относительно центра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответствие такая точка X', что, во-первых, OX'=OX, во-вторых и, в-третьих, луч OX' откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота, а угол -углом поворота.

Центральная симметрия:

Центральная симметрия с центром в точке O это такое отображение плоскости, при котором любой точке X сопоставляется такая точка X', что точка O является серединой отрезка XX'.

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки O точка X перешла в X'. Тогда угол XOX'=180 градусов, как развернутый, и XO=OX', следовательно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением.

Центральная симметрия является движением, изменяющим направления на противоположные. То есть если при центральной симметрии относительно точки O точкам X и Y соответствуют точки X' и Y', то

XY= - X'Y'

Подобие:

Подобием с коэффициентом k>0 называется отображение плоскости, при котором любым двумя точкам X и Y соответствуют такие точки X' и Y', что X'Y'=kXY.

Отметим, что при k=1 подобие является движением, то есть движение есть частный случай подобия.

Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k, если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'.

Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия

Гомотетия:

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X', что OX' = kOX, причем не исключается и возможность k<0.

При k =-1 получается центральная симметрия с центром в точке O, при k =1 получается тождественное преобразование.

Основное свойство гомотетии

При гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на k. Подробнее: если точки A и B при гомотетии с коэффициентом k перешли в точки A' и B', то

A'B' = kAB

Доказательство.

Пусть точка O - центр гомотетии. Тогда OA' = kOA, OB' = kOB. Поэтому A'B' = OB' - OA' = kOB - kOA = k(OB - OA) = kAB.(расставить векторы)

Из равенства A'B' = kAB следует, что A'B' = |k|AB, то есть гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэффициентом |k|.

Отметим, что любое подобие с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения.

Некоторые свойства гомотетии

1.Гомотетия отрезок переводит в отрезок.

2.Гомотетия сохраняет величину углов.

3..

4.Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k­_1­ и k₂,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом 1/k.

 

8. Афинные п -мерные пространства

Если в обычном трехмерном пространстве выбрана система координат Oxyz, то каждая точка этого пространства отождествлялась с тройкой чисел -- координатами вектора . Аналогично мы можем считать, что набор из чисел является точкой -мерного пространства и рассматривать этот набор как координаты радиус-вектора этой точки. Такое -мерное пространство в отличие от векторного называется аффинным -мерным пространством. За начало координат принимается точка . За единичные векторы на осях координат в этом случае принимаются радиус-векторы точек

Любым двум точкам и аффинного пространства можно сопоставить вектор из -мерного линейного пространства. Для получения координат вектора нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала.

Пусть точка , являющаяся началом новой системы координат, имеет координаты . Пусть -- некоторая точка пространства с координатами в старой системе координат и в новой системе координат. Тогда связь между старыми и новыми координатами задается формулами

В трехмерном пространстве уравнение задает плоскость. Аналогично в -мерном пространстве уравнение

где -- числа, задает плоскость размерности , обычно ее называют гиперплоскостью. В трехмерном пространстве система из двух уравнений задает прямую. В -мерном пространстве система

из уравнений, , задает плоскость размерности , если ранг матрицы системы равен .

Если для векторов задано скалярное произведение формулой (18.3), то в аффинном пространстве можно определять расстояние между точками. Пусть , -- точки пространства, тогда расстояние между ними

В соответствии с этим говорят, что уравнение задает в -мерном вещественном пространстве -мерную сферу, а неравенство

задает -мерный шар радиуса с центром в начале координат. В аффинном -мерном пространстве можно рассматривать поверхности второго порядка. Их типов оказывается тоже конечное число.

Можно рассматривать множество точек, задаваемых уравнением . При некоторых ограничениях на функцию , это уравнение будет определять -мерную поверхность (гиперповерхность), а неравенство -- область в -мерном аффинном пространстве.

 

9. Евкливоды п -мерные пространства

Если координаты векторов

и

заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычисляется по формуле

Аналогичной формулой можно задать и скалярное произведение в -мерном пространстве.

Пусть -- вещественное -мерное пространство, в котором задан базис . Тогда векторы и из задаются своими координатами:

Скалярное произведение векторов, обозначается оно обычно , задается формулой (1)

В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно. Поэтому ортонормированным в -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (1).

Если , -- координатные столбцы векторов и , то скалярное произведение можно задать формулой

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (1)

Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.

В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя . В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично

то есть

В трехмерном пространстве с помощью скалярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном пространстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Если -- комплексное линейное -мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение, задав его формулой

где черта над означает комплексное сопряжение.

Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарным пространством.

В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи

Аксиоматический метод.

Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике.

Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.

Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.

Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.

Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии.

Так как нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить основные понятия в виде объектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах.

После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту. Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались "Элементы".

 

 

Неевклидовы пространства.

Неевклидовы геометрии, в буквальном понимании — все геометрические системы, отличные от геометрии Евклида; однако обычно термин «Н. г.» (Далее по тексту так будет обозначаться неевклидова геометрия) применяется лишь к геометрическим системам (отличным от геометрии Евклида), в которых определено движение фигур, причём с той же степенью свободы, что и в геометрии Евклида. Степень свободы движения фигур в евклидовой плоскости характеризуется тем, что каждая фигура без изменения расстояний между её точками может быть перемещена так, чтобы любая выбранная её точка заняла любое заранее назначенное положение; кроме того, каждая фигура может вращаться вокруг любой своей точки. В евклидовом трёхмерном пространстве каждая фигура может быть перемещена так, чтобы любая выбранная её точка заняла любое заранее назначенное положение; кроме того, каждая фигура может вращаться вокруг любой оси, проходящей через любую её точку.

Среди Н. г. особое значение имеют Лобачевского геометрия и геометрия Римана, которые чаще всего и подразумевают, когда говорят о Н. г. Геометрия Лобачевского — первая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида, и первая более общая теория (включающая евклидову геометрию как предельный случай). Геометрия Римана, открытая позднее, в некоторых отношениях противоположна геометрии Лобачевского, но вместе с тем служит ей необходимым дополнением. Совместное исследование геометрий Евклида, Лобачевского и Римана позволило в должной мере выяснить особенности каждой из них, а также их связи друг с другом и с другими геометрическими системами. Ниже обе Н. г. и геометрия Евклида сопоставляются как синтетические теории, затем в плане дифференциальной геометрии и, наконец, в виде проективных моделей.

Н. г. как синтетические теории

Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением только одной аксиомы о параллельных. Именно, согласно аксиоме о параллельных евклидовой геометрии, через точку, не лежащую на данной прямой а, проходит только одна прямая, которая лежит в одной плоскости с прямой а и не пересекает эту прямую; в геометрии Лобачевского принимается, что таких прямых несколько (затем доказывается, что их бесконечно много).

В геометрии Римана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных. Т. о., система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, необходимо должна отличаться от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных другим утверждением, но и в части остальных аксиом. Различными в этих геометриях являются аксиомы, которые служат для обоснования так называемых отношений порядка геометрических элементов. С