Системы аксиом Вейля евклидового пространства.

Г.Вейль впервые предложил аксиоматику n-мерной Евклидовой геометрии как структуры

Е =< , v; +, ·, →, (,) >

1. (коммутативность сложения)

2. (ассоциативность сложения)

3. (существование нулевого элемента)

4. (существование противоположного элемента)

1. — 4. аксиомы коммутативной группы

5. (ассоциативность относительно числового сомножителя)

6. 1* =

7. (дистрибутивность относительно суммы элементов)

8. = (дистрибутивность относительно суммы числовых сомножителей)

9. Существует n линейно независимых векторов.

10. Каждые n + 1 вектор линейно зависимы.

11. Каждой точке и каждому вектору отвечает единственная точка , такая, что .

12. .

13. (коммутативность)

14. (дистрибутивность относительно сложения векторов)

15. (ассоциативность относительно умножения вектора на число)

16. (положительная определенность скалярного произведения) , лишь .

 

 

Неевклидовы пространства.

Неевклидовы геометрии, в буквальном понимании — все геометрические системы, отличные от геометрии Евклида; однако обычно термин «Н. г.» (Далее по тексту так будет обозначаться неевклидова геометрия) применяется лишь к геометрическим системам (отличным от геометрии Евклида), в которых определено движение фигур, причём с той же степенью свободы, что и в геометрии Евклида. Степень свободы движения фигур в евклидовой плоскости характеризуется тем, что каждая фигура без изменения расстояний между её точками может быть перемещена так, чтобы любая выбранная её точка заняла любое заранее назначенное положение; кроме того, каждая фигура может вращаться вокруг любой своей точки. В евклидовом трёхмерном пространстве каждая фигура может быть перемещена так, чтобы любая выбранная её точка заняла любое заранее назначенное положение; кроме того, каждая фигура может вращаться вокруг любой оси, проходящей через любую её точку.

Среди Н. г. особое значение имеют Лобачевского геометрия и геометрия Римана, которые чаще всего и подразумевают, когда говорят о Н. г. Геометрия Лобачевского — первая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида, и первая более общая теория (включающая евклидову геометрию как предельный случай). Геометрия Римана, открытая позднее, в некоторых отношениях противоположна геометрии Лобачевского, но вместе с тем служит ей необходимым дополнением. Совместное исследование геометрий Евклида, Лобачевского и Римана позволило в должной мере выяснить особенности каждой из них, а также их связи друг с другом и с другими геометрическими системами. Ниже обе Н. г. и геометрия Евклида сопоставляются как синтетические теории, затем в плане дифференциальной геометрии и, наконец, в виде проективных моделей.

Н. г. как синтетические теории

Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением только одной аксиомы о параллельных. Именно, согласно аксиоме о параллельных евклидовой геометрии, через точку, не лежащую на данной прямой а, проходит только одна прямая, которая лежит в одной плоскости с прямой а и не пересекает эту прямую; в геометрии Лобачевского принимается, что таких прямых несколько (затем доказывается, что их бесконечно много).

В геометрии Римана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных. Т. о., система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, необходимо должна отличаться от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных другим утверждением, но и в части остальных аксиом. Различными в этих геометриях являются аксиомы, которые служат для обоснования так называемых отношений порядка геометрических элементов. Сущность в следующем: в евклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского порядок точек на прямой является линейным, то есть подобным порядку в множестве действительных чисел; в геометрии Римана порядок точек на прямой является циклическим, то есть подобным порядку в множестве точек на окружности. Кроме того, в геометриях Евклида и Лобачевского каждая прямая, лежащая в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две части; в геометрии Римана прямая не разделяет плоскость на две части, то есть любые две точки плоскости, не лежащие на данной прямой, можно соединить в этой плоскости непрерывной дугой, не пересекая данную прямую (топологической моделью плоскости Римана служит проективная плоскость).

Требования аксиом, определяющих движение фигур, для всех трёх геометрий одинаковы.

Примеры теорем Н. г.

1. В геометрии Лобачевского сумма внутренних углов любого треугольника меньше двух прямых; в геометрии Римана эта сумма больше двух прямых (в евклидовой геометрии она равна двум прямым).

2. В геометрии Лобачевского площадь треугольника выражается формулой: где α, β, γ — внутренние углы треугольника, R — некоторая постоянная, которая определяется выбором единицы измерения площадей. В геометрии Римана имеет место формула: при аналогичном значении символов (в евклидовой геометрии зависимости между площадью треугольника и суммой его углов нет).

3. В геометрии Лобачевского между сторонами и углами треугольника существует ряд зависимостей, например

, где sh, ch — гиперболические синус и косинус, a, b, c — стороны треугольника, α,β,γ — противолежащие им углы, R — постоянная, определяемая выбором масштаба; для прямоугольного треугольника (с гипотенузой с и прямым углом γ) имеет место, например, равенство:

 

 

При некотором согласовании линейного масштаба и единицы измерения площадей постоянная R в формулах (1), (3), (4) будет одинаковой. Число R называется радиусом кривизны плоскости (или пространства) Лобачевского. Число R при данном масштабе выражает определённый отрезок в плоскости (пространстве) Лобачевского, который также называют радиусом кривизны. Если масштаб меняется, то меняется число R, но радиус кривизны, как отрезок, остаётся неизменным. Если радиус кривизны принять за масштабный отрезок, то R = 1. В геометрии Римана существуют сходные равенства:

(для произвольного треугольника) и (для прямоугольного) при аналогичном значении символов. Число R называют радиусом кривизны плоскости (или пространства) Римана. Как видно из формул (4) и (6), в каждой из Н. г. гипотенуза прямоугольного треугольника определяется его углами; более того, в Н. г. стороны любого треугольника определяются его углами, то есть не существует подобных треугольников, кроме равных. В евклидовой геометрии нет формул, аналогичных формулам (4) и (6), и нет никаких др. формул, выражающих линейные величины через угловые. При замене R на R_i при формулы (1), (3), (4) превращаются в формулы (2), (5), (6); вообще, при замене R на R_i все метрические формулы геометрии Лобачевского (сохраняющие при этой замене геометрический смысл) переходят в соответствующие формулы геометрии Римана. При R, стремящейся к бесконечности и те и другие дают в пределе формулы евклидовой геометрии (либо теряют смысл). Стремление к бесконечности величины R означает, что масштабный отрезок является бесконечно малым по сравнению с радиусом кривизны (как с отрезком). То обстоятельство, что при этом формулы Н. г. переходят в пределе в формулы евклидовой геометрии, означает, что для малых (по сравнению с радиусом кривизны) неевклидовых фигур соотношения между их элементами мало отличны от евклидовых.

Н. г. в плане дифференциальной геометрии

В каждой из Н. г. дифференциальные свойства плоскости аналогичны дифференциальным свойствам поверхностей евклидова пространства; в неевклидовой плоскости могут быть введены внутренние координаты u, v, так что дифференциал ds дуги кривой, соответствующий дифференциалам du, dv координат, определяется равенством:

Пусть, в частности, в качестве координаты u произвольной точки М берётся длина перпендикуляра, опущенного из М на фиксированную прямую, а в качестве координаты v — расстояние от фиксированной точки О этой прямой до основания указанного перпендикуляра; величины u, v следует брать со знаком, подобно обычным декартовым координатам. Тогда формула (7) для плоскости Лобачевского будет иметь вид:

а для плоскости Римана

R — та же постоянная, которая входит в формулы предыдущего раздела (радиус кривизны). Правые части (8) и (9) суть метрические формы поверхностей евклидова пространства, имеющих соответственно постоянную отрицательную кривизну К = — 1/R2 (как, например, псевдосфера) и постоянную положительную кривизну К = 1/R2 (как, например, сфера). Поэтому внутренняя геометрия достаточно малой части плоскости Лобачевского совпадает с внутренней геометрией на соответствующей части поверхности постоянной отрицательной кривизны. Аналогично, внутренняя геометрия достаточно малых частей плоскости Римана реализуется на поверхностях постоянной положительной кривизны (поверхностей, которые реализуют геометрию всей плоскости Лобачевского, в евклидовом пространстве нет).При замене R на R_i метрическая форма (8) переходит в метрическую форму (9). Так как метрическая форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, то при такой замене и другие метрические соотношения геометрии Лобачевского переходят в метрические соотношения геометрии Римана (что уже было отмечено выше). При R равном бесконечности каждое из равенств (8) и (9) даёт то есть метрическую форму евклидовой плоскости.

Трёхмерные неевклидовы пространства по своим дифференциальным свойствам относятся к числу римановых пространств в широком смысле и выделяются среди них прежде всего тем, что имеют постоянную риманову кривизну. Как в двумерном, так и в трёхмерном случае постоянство кривизны обеспечивает однородность пространства, то есть возможность движения фигур в нём, причём с той же степенью свободы, как (соответственно) на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве. Пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, равную — 1/R², пространство Римана — положительную кривизну, равную 1/R² (R — радиус кривизны). Евклидово пространство занимает промежуточное положение и является пространством нулевой кривизны.

Пространства постоянной кривизны могут иметь весьма разнообразное строение в смысле топологии. Среди всех пространств постоянной отрицательной кривизны пространство Лобачевского однозначно выделяется двумя свойствами: оно полно (в смысле полноты метрического пространства), топологически эквивалентно обычному евклидову пространству. Пространство Римана среди всех пространств положительной кривизны однозначно выделяется свойством топологической эквивалентности проективному пространству. Аналогичными условиями выделяются многомерные пространства Лобачевского и Римана среди многомерных пространств постоянной римановой кривизны.

 

25. Скалярные величины (длина отрезка, площадь многоугольника). Теорема о существования и единственности.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка так что:1) равные отрезки имеют разные длины;2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок e и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки равные e, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e отложились n раз и конец последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n, и пишут: а = ne. Если же отрезки, равные e, отложились n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки равные e =1/10 e. Если они отложились точно n раз, то тогда а =n, n e и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок e отложился n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка, а есть бесконечная десятичная дробь. Итак, при выбранной единице, длина любого отрезка выражается действительным числом. Верно и обратное; если дано положительное действительное число n, n, n,... то взяв его приближение с определённой точностью и проведя построения, отражённые в записи этого числа, получим отрезок, численное значение длины которого, есть дробь: n,n,n …

Понятие о площади фигуры имеет любой человек: мы говорим о площади комнаты, площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо покрасить, и так далее. При этом мы понимаем, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что у большего участка площадь больше; что площадь квартиры слагается из площади комнат и площади других её помещений.

Это обыденное представление о площади используется при её определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому когда говорят о площади, выделяют особый класс фигур. Например, рассматривают площади многоугольников и других ограниченных выпуклых фигур, или площадь круга, или площадь поверхности тел вращения и так далее. В начальном курсе математики рассматриваются только площади многоугольников и ограниченных выпуклых плоских фигур. Такая фигура может быть составлена из других. Например, фигура F составлена из фигур F1, F2, F3. Говоря, что фигура составлена (состоит) из фигур F1, F2,…,Fn, имеют в виду, что она является их объединением и любые две данные фигуры не имеют общих внутренних точек. Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:

I/ равные фигуры имеют равные площади;

2/ если фигура составлена из конечного числа фигур, тоеёплощадь равна сумме их площадей. Если сравнить данное определение с определением длины отрезка, то увидим, что площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина - на множестве отрезков, а площадь - на множестве плоских фигур. Площадь фигуры F обозначать S(F). Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку e, то есть отрезку, выбранному в качестве единицы длины. Площадь квадрата со стороной e обозначают e. Например, если длина стороны единичного квадрата m, то его площадь m.

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e. Результатом этого сравнения является такое число x, что S(F)=x e.Число x называют численным значением площади при выбранной единице площади.

Существование и единственность перпендикуляра к прямой

Теорема.
Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Доказательство
Пусть a – данная прямая и не лежащая на этой прямой точка A. Проведем через какую-нибудь точку прямой a перпендикулярную ей прямую с. Прямая с пересекает прямую a в точке С. Теперь проведем параллельно прямой с прямую b, так чтобы что бы прямая b проходила через точку A. Тогда прямая b a, так как b||с и с a.

Значит отрезок AB a.

Теперь докажем единственность перпендикуляра AB.
Допустим, существует еще перпендикуляр, проходящий через точку A к прямой a. Тогда у треугольника ABD будет два угла по 90°. А этого не может быть, так как сумма всех углов в треугольнике 180 °. Теорема доказана.