Основные факты и теоремы проективной геометрии

Проективная геометрия, раздел геометрии, изучающий проективные свойства фигур. Отличается от евклидовой геометрии тем, что в ней не используются понятия параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков и углов и предполагается, что любые две прямые на плоскости имеют общую точку. Тесно связанная с перспективой, проективная геометрия плоскости занимается изучением свойств и отношений, которые остаются неизменными при проецировании плоской фигуры на другую плоскость.

Определения.Основными понятиями, не нуждающимися в определении, будем считать «точку», «прямую» и отношение «инцидентности». Если точка P и прямая l инцидентны, мы говорим, что точка P «лежит на» прямой l, или что прямая l «проходит через» точку P. Если прямая l проходит через две точки P и Q, то мы говорим, что l «соединяет» их, и записываем l = PQ. Если точка P лежит на прямых l и m, мы говорим, что эти прямые «пересекаются» в P, и записываем P = l × m. Три и более точек на одной прямой называются «коллинеарными». Три и более прямых, проходящих через одну точку, называются «пересекающимися в одной точке». После введения понятия плоскости (см. ниже) мы можем использовать аналогичные термины для пространственных понятий: если плоскость a проходит через две прямые l и m, мы говорим, что она «соединяет» их, и записываем a = lm; если прямая l лежит в плоскостях a и b, мы говорим, что эти плоскости «пересекаются» по прямой l, и записываем l = a × b.

«Треугольник» ABC состоит из трех неколлинеарных точек A, B, C, называемых его «вершинами», и трех соединяющих их прямых линий BC, CA, AB, называемых его «сторонами». «Плоскость» ABC состоит из всех точек, которые лежат на прямых, соединяющих C с точками на AB, и всех прямых, соединяющих пары построенных таким образом различных точек. Если четыре точки на плоскости соединены попарно шестью различными прямыми, то они называются вершинами «полного четырехвершинника», а соответствующие прямые служат его шестью сторонами. Две стороны называются «противоположными», если они не имеют общей вершины. Точка, в которой пересекаются две противоположные стороны, называется «диагональной точкой».

Если подвижная точка X на одной фиксированной прямой и подвижная точка X ¢ на другой соответствуют друг другу так, что прямая XX ¢ всегда проходит через неподвижную точку O, мы будем писать

и говорить, что между подвижными точками X и X ¢ или, точнее, между «областями изменения» точек X и X ¢, которые являются двумя «сечениями» «пучка» прямых, проходящих через O, имеется проективное соответствие с центром в точке O. Более общо, если точки X и X ¢¢¢ на заданных (необязательно различных) прямых связаны между собой рядом последовательных перспективных соответствий

то мы записываем

и говорим, что между X и X ¢¢¢ имеется непрерывное соответствие или что X проективно отображается в X ¢¢¢.

Точка, соответствующая самой себе, называется «инвариантной».

Аксиомы. После этих предварительных определений мы располагаем всем необходимым для того, чтобы сформулировать следующие девять аксиом:

I. Существуют, по крайней мере, две различные точки.

II. Любые две различные точки A и B лежат на единственной прямой (а именно на прямой AB).

III. Если A и B – различные точки, то на прямой AB существует по крайней мере одна точка, отличная от A и B.

IV. Если A и B – различные точки, то существует по крайней мере одна точка, не лежащая на прямой AB.

V. Если A, B, C – три неколлинеарные точки и D – точка, лежащая на BC и отличная от B и C, а E – точка, лежащая на CA и отличная от C и A, то существует точка F, лежащая на AB, такая, что точки D, E, F коллинеарны.

VI. Три диагональные точки любого полного четырехвершинника неколлинеарны.

VII. Существует, по крайней мере, одна точка, не лежащая в плоскости ABC.

VIII. Любые две различные плоскости пересекаются по прямой.

IX. Если на прямой имеются три различных точки, каждая из которых инвариантна относительно проективного соответствия, то любая точка этой прямой также инвариантна относительно этого соответствия.

Теорема Дезарга.Если соответствующие вершины двух треугольников соединены прямыми, пересекающимися в одной точке, то их соответствующие стороны пересекаются в трех коллинеарных точках. Обратно, если соответствующие стороны пересекаются в коллинеарных точках, то прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке.

Основная теорема проективной геометрии.Проективное соответствие между двумя прямыми (т.е. между точками этих прямых) единственным образом определяется заданием трех точек на одной прямой и соответствующих трех на другой.

Проективное соответствие между различными прямыми эквивалентно одному перспективному соответствию лишь, когда точка, в которой эти прямые пересекаются, инвариантна.

Классификация проективных соответствий на прямой. Аксиома IX показывает, что проективное соответствие на одной прямой не может иметь более двух инвариантных точек; в противном случае оно вырождается в тождественное соответствие, которое сопоставляет с каждой точкой ее саму. Проективное соответствие называется «эллиптическим», «параболическим» или «гиперболическим» в зависимости от того, равно число инвариантных точек 0, 1 или 2. Если используются координаты, то инвариантные точки возникают как корни квадратных уравнений; таким образом, в комплексной геометрии эллиптические проективные соответствия не встречаются, но в действительной геометрии проективное соответствие является эллиптическим.

Если при проективном соответствии некоторая точка X прямой переходит в точку X ¢, а точка X ¢ переходит в X, то для любой другой точки Y, переходящей в Y ¢, Y ¢ переходит в Y; такое соответствие, меняющее местами точки в любой паре переходящих друг в друга точек, называется инволюцией.

Коллинеации и корреляции. Проективное соответствие можно описать как своего рода одномерное преобразование. Оно имеет два двумерных аналога. Коллинеация – проективное соответствие, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой. Корреляция – проективное соответствие, при котором любым трем точкам, лежащим на одной прямой, соответствуют три прямые, проходящие через одну точку, а любым трем прямым, проходящим через одну точку, соответствуют три точки, лежащие на одной прямой.