Аксиомы статики твердого тела

В основе статики твердого тела лежат аксиомы, установленные из опытов и наблюдений. Всё содержание статики может быть получено дедуктивно (т.е. посредством логических умозаключений с использованием соответствующего математического аппарата) как следствие этих аксиом.

Аксиома 1 (о равновесии двух сил). Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, уравновешиваются тогда и только тог­да, когда они равны по ве­личине, противонаправлены и имеют общую линию действия (рис. 1.4).

Аксиома 2 (о присоединении и исключении уравновешенных сил). Дейст­вие данной системы сил на твердое тело не изменяет­ся, если к ней присоеди­нить или исключить из нее уравновешен­ную систему.

Из аксиом 1 и 2 логически получаем следствие: не изменяя действия силы на твердое тело, можно переносить точку приложе­ния силы вдоль линии дейст­вия. Иногда этот факт выражают сло­вами: сила, приложенная к абсо­лютно твердому телу, есть вектор скользящий. В самом деле (рис. 1.5), пусть на твердое тело дей­ствует сила , приложенная в точке . Приложим в произ­вольной точке , лежащей на линии дейст­вия силы , две уравновешенные силы и , причем , . Согласно аксиоме 2 полученная система из трех сил эквивалентна силе . Но силы и согласно аксиоме 1 уравновешива­ют­ся и их можно отбросить, сле­дова­тельно, сила эквивалент­на системе , а потому и данной силе .

При формулировании этой аксиомы полагают, что сила при переносе точки ее приложения работы не совершает.

Аксиома 3 (закон параллелограмма). Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке тела под углом друг к другу, выражается по величине и по направлению диагональю параллелограмма, построен­ного на заданных силах (рис.1.6):

 

.

 

Величину равнодействующей силы можно определить по теореме косинусов

 

 

или по теореме синусов

 

.

 

Аксиома 4 (о действии и противодей­ствии). Два тела дейст­вуют друг на друга с силами, равными по величине и направлен­ными по одной прямой в противопо­ложные стороны (рис. 1.7).

Заметим, что эти силы приложены к разным телам.

Аксиома 5 (аксиома отвердевания). Равновесие нетвердого тела не нару­шится, если при тех же действующих на него силах оно затвердеет и станет абсолютно твердым.

На основании этой аксиомы результа­ты, полученные в статике абсолютно твердого тела, можно применять к дефор­мируемым телам.

Утверждение, обратное аксиоме 5, неверно (если тело пе­рестает быть твер­дым, то его равновесие может нарушиться).

Аксиома 6 (аксиома освобождаемости от связей). Не изменяя состояния несвободного тела, можно отбросить наложенные на него связи, приложив их реакции, после чего рассматривать тело как свободное.

Момент силы

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 1):

 

Рис.1

 

Здесь М - псевдовектор, направление которого совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

(1)

где α - угол между r и F; rsinα= l - наименьшее расстояние между линией действия силы и точкой О - плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 2).

 

Рис.2

 

Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.
Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис.3).

 

Рис.3

 

Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, α - угол между радиусом-вектором r и направлением силы. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, которую необходимо затратить на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds=rdφ и работа равна произведению проекции силы на направление с мещения на величину смещения:

(2)

Учитывая (1), можем записать

где Frsinα=F l =M_z - момент силы относительно оси z. Значит, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.
Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA=dT, но поэтому , или
Учитывая, что получаем

(3)

Уравнение (3) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

где J - главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

БИЛЕТ

Момент инерции:

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

 

Единица измерения СИ: кг·м².

Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

,

- момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси;

- расстояние между осями;

- масса тела.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

, где

- момент инерции;

- угловая скорость.

Момент силы, действующей в плоскости, перпендикулярной оси вращения

, где

- сила,

- плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Момент импульса твердого тела

.