Краевые углы. Условия равновесия на границе жидкости и твердого тела

Пусть некоторый объем жидкости помещен на поверхность твер­дого тела. Форма, которую в этом случае принимает жидкость, опреде­ляется соотношением трех действующих на жидкость сил: силы тяжести, сил взаимодействия молекул жидкости и сил взаимодействия между частицами жидкости и частицами твердого тела, с которым она контактирует. Характеристикой соотношения двух последних из перечисленных сил служит краевой угол Θ, т.е. угол, образованный каса­тельной к поверхности жидкости у ее границы с твердым телом и по­верхностью твердого тела.

Пусть жидкость 2 (рис. 2) граничит с плоской поверхностью твердого тела 1. Величина краевого угла определяется из условия равновесия: сумма проекций сил, приложенных к любому элементу длины линии соприкосновения трех сред 1, 2, 3, должна равняться нулю. Тогда

 

 

Рис. 2. Схема равновесного положения жидкости на поверхности твердого тела, случай частичного смачивания; угол между σ₂₃ и σ₁₂ равен Θ.

 

Откуда

(4)

Если , т.е. Θ = 0, то жидкость растекается тонким слоем по поверхности твердого тела (например, вода на чистом стекле). Это явление называется полным смачиванием.

Случай, когда Θ = π (когда )соответствует полномунесмачиванию твердого тела жидкостью (вода на парафине).

В большинстве случаев имеет место частичное смачивание ( 0 < Θ < π/2, рис. 3а) или частичное несмачивание (π/2 <Θ < π, рис. 3б).

а б

Рис. 3. Схемы частичного смачивания (а) и частичного несмачивания (б) жидкостью твердого тела.

 

Явление краевого угла наблюдается у стенок сосудов, когда в них налита жидкость. Образуется мениск, вогнутый у смачивающих жид­костей и выпуклый у несмачивающих. Величина краевого угла здесь также определяется формулой (4).

 

Формула Лапласа.

Во многих случаях поверхность жидкости оказывается искривленной. Кривизна поверхности жидкости приводит к появлению сил, действующих на жидкость под этой поверхностью. Представим себе сферическую каплю жидкости с радиусом сферы r. При увеличении (или уменьшении) радиуса сферы растет (или уменьшается) площадь ее по­верхности, а вместе с ней увеличивается (или уменьшается) поверхност­ная энергия. Ясно, что это может быть достигнуто только ценой затра­ты работы, которая производится силами, действующими в самой кап­ле. Следовательно, объем жидкости под сферической поверхностью всегда несколько сжат, т.е. испытывает дополнительное давление, на­правленное радиально. Из этих соображений можно вычислить и ве­личину этого дополнительного давления, связанного с кривизной по­верхности.

Пусть под действием этого давления жидкий шар уменьшит свой объем на dV. Работа сжатия жидкости произведена, очевидно, за счет уменьшения поверхностной энергии, то есть

.

Работа сжатия равна:

dA = PdV. (5)

Уменьшение поверхностной энергии:

dψ = σ dS,

где dS - уменьшение поверхности шара, соответствующее уменьшению радиуса на dr. Известно, что для шара площадь поверхности и объем равны, соответственно,

Тогда

Подставляя dS и dV в формулу (5), получаем:

Если поверхность цилиндрическая, то дополнительное давление, вызванное кривизной, определяется формулой:

В общем случае поверхности любой формы давление, обуслов­ленное кривизной поверхности, выражается уравнением Лапласа

(6)

где и - главные радиусы кривизны для данного элемента поверх­ности.

Дополнительное давление, определяемое формулой Лапласа, на­правлено к центру кривизны поверхности. Поэтому в случае выпуклой поверхности оно направлено внутрь жидкости и добавляется к нор­мальному давлению жидкости. В случае же вогнутой поверхности жид­кость будет находиться под давлением меньшим, чем та же жидкость под плоской поверхностью. Математически это соответствует тому, что радиус кривизны для вогнутой поверхности, когда центр кривизны на­ходится вне жидкости, считается отрицательным, а для выпуклой по­верхности - положительным.

Дополнительное давление Лапласа, направленное перпендику­лярно поверхности, возникает в результате действия сил поверхностно­го натяжения, искривляющих поверхность жидкости.

 

Капиллярные явления.

Поверхность жидкости, налитой в сосуд, имеет некоторую кри­визну вблизи границы между жидкостью и твердой стенкой сосуда.

Опр. Ес­ли размеры сосуда, в котором находится жидкость, сравнимы с радиу­сом кривизны поверхности жидкости, то такие сосуды называются капиллярными. Явления, происходящие в таких сосудах, называются капиллярными явлениями.

Так как для капиллярных сосудов характерна кривизна поверх­ности жидкости в них, то здесь больше всего сказывается влияние дополнительного давления Лапласа. Непосредственным следствием этого давления является так называемый капиллярный подъём.

 

Θ •О Θ Θ

Рис. 4. Схема капиллярного подъема жидкости.

На рис. 4 изображена узкая трубка, опущенная в широкий сосуд с жидкостью. Пусть стенки трубки смачиваются жидкостью. Тогда жид­кость, проникшая в трубку, образует вогнутый мениск. Радиус трубки r сравним с радиусом мениска .

Из-за давления Лапласа жидкость, заполняющая трубку, испыты­вает давление P, направленное к центру кривизны мениска, т.е. вверх, и равное . Под действием этого давления жидкость поднимется по трубке до уровня h, при котором гидростатическое давление ρgh столба жидкости высотой h уравновешивает давление Р. То есть условие рав­новесия будет:

(7)

где ρ - плотность жидкости.

Нетрудно установить связь между высотой подъема h и радиусом трубки r. Центр сферы, частью которой является мениск, находится в точке О (см. рис. 4). Краевой угол жидкости, соприкасающейся со стенками капилляра, равен Θ. Из рис. 4 следует, что

Тогда равенство (7) перепишется в виде:

откуда

(8)

В частности, дата жидкости, которая полностью смачивает стенки капилляра, то есть при Θ = 0, имеем:

h=2σ/ρgr

Итак, высота подъема жидкости в капилляре растет с уменьшени­ем радиуса капилляра и с увеличением коэффициента поверхностного натяжения.

Если жидкость не смачивает капилляра, картина будет обратной, так как мениск теперь выпуклый, центр кривизны находится внутри жидкости и давление Лапласа окажется направленным вниз. Уровень жидкости в капилляре будет теперь ниже уровня в сосуде, в который опущен капилляр (отрицательный капиллярный подъем).