Определение коэффициента линейного расширения твердого тела

1. Цель работы

Ознакомление с явлением теплового расширения твердых тел и с методикой определения значений коэффициентов линейного расширения твердых тел.

Теоретические пояснения

Опр. Явление изменения размеров тел при их нагревании
называют тепловым расширением.

Причина этого явления состоит в следующем. Потенциальная энергия взаимодействия пары соседних атомов в твердом теле в зависимости от расстояния между ними определяется графиком, изображенным на рис. 1.

Точка r₀ на рис.1 соответствует равновесному расстоянию между взаимодействующими атомами; энергия взаимодействия при этом равна U₀ и является минимальной из возможных для них энергией. Величина U₀ характеризует глубину потенциальной ямы.

 

U

 

r₀

0 r

U₀

Рис. 1. График зависимости потенциальной энергии взаимодействия двух атомов от расстоянии r между ними.

 

При любом отклонении атомов от положения равновесия энергия их взаимодействия возрастает и возникает сила F, стремящаяся возвратить их в прежнее положение. Причем при r > r₀ между атомами действует сила притяжения

F = - (dU/dr) < 0,

а при r < r₀ – сила отталкивания

F = - (dU/dr) > 0.

При любой температуре атомы в твердом теле совершают тепловые ко­лебания относительно положения равновесия. При этом каждый атом находится не на дне потенциальной ямы, а на определенном квантовом уровне U_n > U₀ (n = l, 2, 3…….).

Приближенно можно считать, что, на­пример, равновесное положение r_0n атома на уровне U_n соответствует середине отрезка r_n^I r_n^II (рис. 2). Повышение температуры приводит к переходу атома на более высокий уровень U_m, U_k,….

U

r_n^I r₀r_0n r₀^k r_n^II r

U_k

U_n

U_o

 

Рис.2. График, характеризующий изменение среднего расстояния между атомами с изменением их энергетического состояния.

 

Из рисунка 2 видно, что вследствие несимметричности потенциальной ямы точки равновесия смещаются вправо, что соответствует увеличению расстояния между атомами, т.к. r_0k > r_0n > r₀.

Колебания в потенциальной яме такого вида являются ангармоническими, поскольку потенциальная энергия взаимодействия не является квадратичной функцией x, а представляется в виде ряда:

U = -U₀ + ax²/2 - bx³/3 +…, (1)

где x = r – r₀ – смещение атома от положения равновесия.

Действительно, гармонические колебания, как известно, происходят под действием силы, пропорциональной смещению

F = - ax. (2)

Для (1) же имеем:

F = dU/dx = - ax + bx²… (3)

То есть в разложении (3) присутствуют нелинейные члены.

Если бы колебания происходили по гармоническому закону (2), то энергия взаимодействия U была бы квадратичной функцией от x:

(4)

и, как видно из рисунка 3, при переходе атома на более высокий уровень (что соответствует нагреванию твердого тела) увеличения равновесного расстояния не было бы.

U r_o r

U_m

 

U_n

 

U_o

Рис. 3. График зависимости среднего расстояния между атомами в случае их гармонического колебания.

 

Таким образом, необходимым условием теплового расширения твердых тел является ангармонизм колебаний атомов, который и наблю­дается в асимметричной потенциальной яме.

Различают линейное тепловое расширение (изменение линейных размеров тела) и объемное тепловое расширение (изменение объемов тела). Первое характеризуется коэффициентом линейного расширения α, второе – коэффициентом объемного расширения β.

Опр. Коэффицент линейного расширения α твердого тела определяют величиной, численно равной относительному удлинению тела dl/l при повышении его температуры на 1 градус.

(5)

Вообще говоря, величина α зависит от температуры. При низких температурах, когда уровни низки и потенциальную кривую (рис. 1) можно аппроксимировать параболой (рис. 3), т.е. в разложении (1) членами третьего и выше порядков можно пренебречь, коэффициент линейного расширения близок к нулю. При повышении температуры он возрастает. Если интервал исследуемых температур невелик (до нескольких десятков градусов), то величину α с некоторой точностью можно считать постоянной для этого интервала.

Опр. Коэффициент объемного расширения β равен относительному изменению объема тела dV/V при повышении его температуры на 1 градус.

(6)

Для анизотропных кристаллов коэффициент линейного расширения различен для различных направлений. Это ведет к тому, что, расширяясь, кристалл меняет свою форму.

Из формул (5) и (6) следует, что длина тела l _Т и объем тела V_Т при некоторой температуре, отличной от начальной на ∆T, выражается (при малом ∆T) формулами:

l _Т= l ₀(1+ α ∆T) и V_Т = V₀(1+ β ∆T),

где l ₀ и V₀ – начальные длина и объем тела.

Коэффициенты объемного и линейного расширения практически остаются постоянными, если интервалы температур, в которых они измеряются, малы, а сами температуры высокие.

 

Методика выполнения работы

Для экспериментального определения коэффициента линейного расширения α, строго говоря, для каждой температуры T_oi, кроме приращения необходимо измерить длину тела и вычислить α по формуле:

Однако в следующем интервале температур

Т Є [20, 100^oC] (8)

длина изменяется слабо, т.е. ∆l << , и ее с допустимой погрешностью можно считать постоянной:

= │_{t = 20}^o_C

Таким образом, набор коэффициента при различных температурах определяется по формуле:

l ∆ℓ_i

= (9)

ℓо∆T_i

 

где

∆ℓ_i = ℓ_i - ℓ_{i - l}

∆T_i = T_i – T_{i - 1}

i = 1, 2, 3,…, n.

 

Описание установки

Схема рабочей части установки приведена на рисунке 4.

Рис. 4. Схема установки для определения коэффициента линейного расширения твердых тел: 1 - исследуемый образец; 2 - вода; 3 - стеклянная пробирка; 4 - резиновая прокладка; 5 - нагреватель; 6 - индикатор малых перемещений (часового типа); 7 – кронштейн; 8 - стойка; 9 - датчик температур (термометр Г-образный); 10 - кнопка включения нагревателя в сеть.

 

Исследуемый образец 1 нагревается в воде 2, находящейся в стеклянной пробирке 3. Стеклянная пробирка со стержнем помещается через прокладку 4 внутрь нагревателя 5. Изменение длины нагреваемого образца по сравнению с его первоначальной длиной (при комнатной температуре) измеряется индикатором часового типа малых перемещений 6, закрепленным в крон­штейне 7 на стойке 8. Кронштейн может поворачиваться вокруг оси стойки. Измерение температуры воды в пробирке производится с помощью датчика температур 9 ртутного Г-образного разного термометра.

Исследуемые образцы представляют собой три цилиндрических
стержня, изготовленные, соответственно из стали, алюминия и стекла.

Порядок выполнения работы

1. Налить в пробирку воды на ¾.

2. Измерив линейкой длину исследуемого стержня (с точностью до 0,5 мм), осторожно вставить его в пробирку. Туда же поместить до упора термометр 9. Уровень воды не должен доходить до края пробирки на 1,5 - 2 см.

3. Оттянув верхний шток индикатора малых перемещений 6, установить пробку в печь, поворотом кронштейна 7 индикатор установить над пробиркой, после чего опустить шток до касания торца стержня. Кронштейн зафиксировать винтом на торце стойки 8.

4. Записать показания индикатора 6 (с точностью до полуделения, т.е. с точностью до 5 микрон).

5. С помощью кнопочного выключателя 10 включить в сеть нагреватель 5. Через каждые 10°С возрастания температуры образца за­писывать приращения его длины по индикатору. Нагревания проводить до 80°С.

6. Для продолжения работы и проведения опытов с другими образцами необходимо:

6.1. Кнопочным выключателем 10 отключить питание нагревателя.

6.2. Индикатор на поворотном кронштейне отнести в сторону, предварительно оттянув шток индикатора вверх.

6.3. Извлечь из прибора нагретую пробирку и поместить ее на подставку.

6.4. Выждать 30 минут. За это время печь охладиться, и установка будет готова для проведения опытов с другими образцами.

6.5. Повторить операции пунктов 6.1 – 6.6 для следующего образца.

7. По формуле (9) рассчитать ряд значений коэффициента α для каждого из трех образцов; построить графики зависимости их удлине­ний от температуры и найти средние значения α.

8. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 1.

Таблица 1.

№	= … =…	= … =…	= … =…
Сталь	Алюминий	Стекло
Т^оС	∆l,мм	α, К^-1	Т^оС	∆l,мм	α, К^-1	Т^оС	∆l,мм	α, К^-1

6. Контрольные вопросы

1. Дайте определение коэффициентов линейного и объемного расширения.

2. Объясните причину теплового расширения твердых тел. Почему увеличение амплитуды колебаний атомов не всегда приводит к увеличению среднего расстояния между ними?

3. В чем различие теплового расширения изотропных и анизо­тропных тел?

4. Для тела в форме параллелепипеда со сторонами a, b и c найдите связь между коэффициентами линейного расширения α_а, α_b, α_с и объемного теплового расширения β.

5. Объясните вид зависимости потенциала взаимодействия двух атомов от расстояния между ними.

6. Почему для газов и жидкостей не вводят понятия линейного
теплового расширения?

7. Металлический стержень состоит из трех частей разной длины с разными коэффициентами линейного теплового расширения. Найдите коэффициент линейного расширения стержня.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика. - М., Наука, 2003.

2. А.К. Кикоин, И.К. Кикоин. Молекулярная физика. - М., Наука, 1976.

3. А.Н. Матвеев. Молекулярная физика. – М., Высшая школа, 1987.

4. Физический практикум / Под редакцией В.И. Ивероновой. - М., Физ-мат. литература, 1962.

5. Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшиц. Механика сплошных сред. - М., ГИТТ., 1954.

6. Р. Фейман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике.- М., Мир, 1976, выпуск 4.

7. Сборник задач по общему курсу физики. Термодинамика и молекулярная физика / Под ред. Сивухина Д.В./ - М., Наука, 2003.