Кинематика твердого тела. Углы Эйлера, угловая скорость.

Твердое тело в классической механике определяется как си­стема материальных точек, расстояние между которыми не изме­няется. Это может быть система из отдельных материальных то­чек, соединенных жесткими стержнями, или сплошное тело. По­ложение твердого тела относительно некоторой системы коорди­нат XYZ можно задать следующим образом (рис. 6.1). С твердым телом жестко связывается декартова система координат xyz, кото­рую в дальнейшем будем называть подвижной системой коорди­нат. Координаты начала подвижной системы координат задаются вектором . Ориентацию подвижной системы координат относи­тельно неподвижной системы координат обычно задают с помощью углов Эйлера. Для определения углов Эйлера совместим начала подвижной и неподвижной систем координат (рис. 6.2).

Один из углов Эйлера — это угол Θ между осями OZ и oz, от­считываемый от оси OZ. Линия пересечения плоскостей 'XOY и хоу называется линией узлов. Второй угол Эйлера φ — это угол между осью ОХ и линией узлов. Третий угол Эйлера φ отсчиты­вается в плоскости хоу от линии узлов до оси ох. Три угла Эйлера полностью определяют ориентацию подвижной системы координат относительно неподвижной. Задание трех координат подвижного начала координат и трех углов Эйлера полностью определяет по­ложение твердого тела. Поэтому твердое тело имеет шесть степе­ней свободы.

Координаты любой точки твердого тела можно задать как от­носительно неподвижной системы координат с помощью радиуса-вектора , так и с помощью радиуса-вектора , относительно по­движной системы координат (рис. 6.1). Из рис. 6.1 видно, что . (6.1)

Дифференцируя равенство (6.1) по времени, получим следующее выражение для скорости некоторой точки твердого тела: . (6.2)

Здесь — скорость подвижного начала координат. Так как век­тор проведен в твердом теле, то его длина остается постоянной и он испытывает только вращение. Направление оси вращения может быть различным в разные моменты времени. Направление оси вращения в данный момент времени зададим единичным век­тором , а угол поворота при вращении вокруг нее обозначим через Ф. Тогда, используя формулу для уравнения Лагранжа, используя определение обобщенного импульса , производную от запишем в виде

(6.3) Введем вектор мгновенной угловой скорости (6.4) Вектор угловой скорости направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого буравчика, С учетом сделанных определений скорость произвольной точки твердого те­ла можно представить в виде суммы скорости подвижного начала координат и скорости, обусловленной вращением тела: (6.5)

Угловая скоростъ твердого тела не зависит от положения подвижиого начала координа. Перенесем начало подвижной систе­мы координат из точки о в точку о ' вдоль вектора , как показано на рис. 6.3. Из рисунка и формулы (6.5) получим новое выражение для скорости:

, . (6.6)

Здесь — скорость нового начала подвижной с-мы координат, — координата точки тв. тела относительно новой подвиж­ной с-мы координат. Последнее равенство в (6.6) аналогично равенству в формуле (6.5) с той же самой угловой скоростью , что доказывает утверждение о независимости угловой скорости от выбора начала подвижной с-мы координат. Поэтому можно го­ворить об угловой скорости вращения тв. тела без указания где выбрано начало подвижной с-мы коорд.

Рис. 6.З Как и другие векторы, векторы угловой скорости можно скла­дывать. Запишем сумму трех угловых скоростей, каждая из кото­рых получается при изменении только одного из углов Эйлера. В результате получим , (6.7)

где векторы и — это единичные векторы, направленные соот­ветственно вдоль осей OZ и oz, вокруг которых происходит враще­ние при изменении углов φ и ψ. Единичный вектор направлен вдоль линии узлов, которая является осью вращения при изме­нении угла . Формула (6.7) дает разложение вектора угловой скорости по трем направлениям, которые не совпадают с напра­влениями координатных осей. Спроектируем векторы и на подвижные оси, что дает

, (6.8) . (6.9) Подставляя разложения (6.8) и (6.9) в формулу (6.7) и собирая коэффициенты при одинаковых базисных векторах, получим про­екции вектора угловойскорости наподвижные оси: , ,

. (6.10) - кинематическими формулами Эйле­ра. Они позволяют найти вектор угловой скорости, если задан за­кон изменения углов Эйлера как функция времени. Аналогичным образом после проектирования векторов и на неподвижные оси можно получить проекции вектора угловой скорости на непо­движные оси.

 

Тензор инерции

Запишем момент импульса и кинетическую энергию твердого тела. Их можно представить в виде

, (6.11) . (6.12)

Здесь и — момент импульса и кинетическая энергия твердого тела в системе отсчета центра инерции твердого тела. В системе отсчета центра инерции твердое тело может только вра­щаться. Поэтому момент импульса и кинетическая энергия связа­ны только с вращением и должны выражаться через угловую ско­рость твердого тела. Начало подвижной системы координат поместим в центр инерции твердого тела и перейдем в систему отсчета центра инерции. Подставляя скорость в определение момента импульса и учи­тывая, что = 0, получим . (6.13)

Будем рассматривать только момент импульса и кинетическую энергию, обусловленные вращением тела, и отбросим индекс «вращ». Раскрывая в формуле (6.13) двойное векторное произведение, най­дем для момента импульса:

. (6.14)

Спроектируем равенство (6.14) на оси координат. Для проектиро­вания следует выбрать подвижные оси координат, которые жестко связаны с твердым телом. Проекция на ось ох имеет вид (6.15)

и может быть записана в форме (6.16)

с коэффициентами

,

,

.

Аналогичным образом получаются проекции на оси оу и ог. Все три проекции можно записать в виде . (6.18)

Здесь индексы i, j задают номер координатной оси. Величины являются компонентами симметричного тензора второго ранга, на­зываемого тензором инерции. Компоненты тензора инерции запи­сываются в виде следующей симметричной матрицы:

(6.19)

Если твердое тело является сплошным, а не состоит из отдельных материальных точек, то суммы в (6.19) заменяются интегралами но объему твердого тела. Например, компонента - тензора инер­ции вычисляется по формуле

. (6.20)

Выразим теперь через тензор инерции кинетическую энергию вращения твердого тела. В системе отсчета центра инерции имеем

. (6.21)

Подставляя в формулу (6.21) выражения для проекций момента импульса из (6.18), получим для кинетической энергии твердого тела следующую формулу:

. (6.22)

Тензор инерции определяется распределением масс в твердом теле и является характеристикой твердого тела, не зависящей от характера движения твердого тела. Диагональные компоненты тензора инерции равны моментам инерции при вращении твердого тела вокруг осей, совпадающих с координатными осями подвижной системы координат. Недиагональные компоненты тензора инерции называются центробежными моментами инерции. Так как тен­зор инерции является симметричным тензором второго ранга, то преобразованием координат его можно привести к диагональной форме, когда недиагональные компоненты будут равны нулю. Оси декартовой системы координат, в которой тензор инерции имеет диагональную форму, называются главными осями инерции. Диа­гональные компоненты тензора инерции в главных осях инерции называются главными моментами инерции а обычно записыва­ются с одним индексом: I ₁, I ₂, I ₃. В главных осях инерции момент импульса и кинетическая энергия твердого тела записываются в особенно простой форме:

, (6.23)

, , . (6.24)

Если твердое тело обладает некоторой симметрией, то напра­вления главных осей инерции совпадают с осями симметрии твер­дого тела. Поэтому при вычислении тензора инерции для таких твердых тел оси координат направляют по осям симметрии твер­дого тела.