Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод Эйлера описания сплошной среды.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Механика сплошной среды изучает движение газообразных, жидких и твердых деформируемых тел. При этом не учитывается молекулярное строение вещества, а предполагается его непрерывное распределение. В сплошной среде можно выделить малый объем , имеющий массу , и устремить к нулю. В этом пределе выделенный объем можно рассматривать как материальную точку, или частицу сплошной среды. Сплошная среда состоит из бесконечного числа таких частиц и, следовательно, является механической системой с бесконечным числом степеней свободы. Границы между частицами не определены, и поэтому частицы нельзя пересчитать. Для того чтобы различать отдельные частицы плотной среды, можно воспользоваться следующим приемом. Предположим, что в начальный момент времени положение каждой частицы известно и определяется тремя координатами: x0, y0, z0, или радиусом-вектором . В любой другой момент времени положение этих частиц будет задаваться радиусом-вектором . Здесь координаты x0, y0, z0 радиуса-вектора выделяют индивидуальную частицу среды. Они заменяют номер частицы, используемый в механике системы материальных точек. Однако в отличие от номера частицы начальные параметры x0, y0, z0 изменяются непрерывно. Выделив таким способом отдельные частицы сплошной среды, для них можно вычислить различные механические величины. Например, скорость и ускорение частиц сплошной среды определяется по формулам: , . (8.1) Частная производная при в механике сплошных сред называется полной производной и обозначается как полная производная. Метод описания сплошной среды, когда все характеристики сплошной среды отслеживаются из начальной конфигурации, называется методом Лагранжа. По известной зависимости можно найти зависимость . Подстановка зависимости в формулы (8.1) приведет к тому, что скорость и ускорение будут зависеть от времени t (и радиуса-вектора . Таким образом, от задания величин для отмеченных частиц сплошной среды совершается переход к заданию тех же величин во всех точках пространства, где имеется сплошная среда. В результате получаются заданными поле скоростей воле ускорений и ноля других величин, характеризующих сплошную среду. Метод описания сплошной среды, когда все характеристики сплошной среды задаются как функции координат и времени безотносительно к тому, какие частицы сплошной среды они описывают, называется методом Эйлера. При описании сплошной среды по методу Эйлера для вычисления полных производных по времени для отдельных частиц сплошной среды следует радиус-вектор , входящий в аргумент функций, представить как радиус-вектор отмеченной частицы сплошной среды . Например, если плотность сплошной среды задана по методу Эйлера как функция координат и времени , то вычисление полной производной по времени от нее даст , (8.2) . По тому же правилу вычисляется поле ускорений сплошной среды: . (8.3) 27. Производная по подвижному объему, ур-ние неразрывности. (Дифференциальные и интегральные соотношения, подвижный объем). В механике сплошной среды многие величины задаются своими плотностями. Например, плотность массы, плотность импульса и плотность момента импульса определяются по формулам: , , . (8.4) Тогда те же величины для конечного объема сплошной среды получаются интегрированием по объему: , , . (8.5) Уравнения механики сплошной среды также могут быть записаны в дифференциальной и интегральной формах. Объем, по которому ведется интегрирование, может быть фиксированным или подвижным. Под подвижным объемом в механике сплошной среды понимают объем, который движется вместе со сплошной средой. Поэтому частицы сплошной среды не пересекают поверхность, ограничивающую подвижный объем. Рис. 8.1 При вычислении производных по времени по подвижному объему необходимо учитывать, что с течением времени подвижный объем может измениться. Как видно из рис. 8.1, за время площадка поверхности, ограничивающей объем, сместится на расстояние . За счет этого смещения объем увеличится на . Все изменение объема получается интегрированием этого увеличения по замкнутой поверхности, ограничивающей подвижный объем: . (8.6) Если некоторая величина А задана объемной плотностью и вычислена интегрированием по подвижному объему , то ее приращение за время складывается из двух частей: приращения, вызванного изменением плотности внутри объема, и приращения за счет изменения объема: . (8.7) Разделив соотношение (8.7) на и устремив к нулю, получим производную от величины А, вычисленной по подвижному объему: . (8.8) Поверхностный интеграл в формуле (8.8) с помощью теоремы Остроградского—Гаусса можно преобразовать в объемный: . (8.9) Подстановка этого объемного интеграла в равенство (8.8) приводит к следующим выражениям для производной по подвижному объему: . (8.10) Переход от одной формы к другой осуществляется при помощи соотношения (8.2). Если положить , то величина А равна подвижному объему и формула (8.10) дает производную от подвижного объема, которая равна . (8.11) Если , то величина подвижного объема остается постоянной при движении сплошной среды. Такая сплошная среда называется несжимаемой средой. Положим в формуле (8.10) А = т. Так как частицы сплошной среды не пересекают границ подвижного объема, то т= const и производная от массы =0. Поэтому нулю должны быть равны подынтегральные выражения в (8.10), что даст уравнения , . (8.12) Уравнения (8.12) называются уравнениями неразрывности и выражают собой закон сохранения массы. Такие же уравнения выполняются для любой физической величины (например, заряда), которая остается постоянной внутри подвижного объема. Найдем сейчас производную по времени от импульса сплошной среды, заключенной в подвижном объеме. Из определения импульса (8.5) и выражения (8.10) для производной имеем . (8.13) Сумма во внутренних скобках под знаком интеграла (8.13) обращается в нуль вследствие уравнения неразрывности (8.12). В результате получаем . (8.14) Аналогичным образом можно показать, что производная от момента импульса конечного объема сплошной среды вычисляется по формуле . (8.15)
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 531; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.145.41 (0.006 с.) |