Фазовое пространство, скобки Пуассона.

Для наглядного геометрического изображения решений кано­нических уравнений (7.6) вводится понятие фазового простран­ства. Фазовое пространство — это абстрактное пространство 2s измерений, на координатных осях которого откладываются обобщенные координаты и обобщенные импульсы. Система ко­ординат в фазовом пространстве считается декартовой системой координат. Решение канонических уравнений дает 2s функций В каждый момент времени эти функции определя­ют в фазовом пространстве одну точку. Эта точка называется изображающей точкой, и полностью определяет состояние меха­нической системы. С течением времени значения функций

изменяются и изображающая точка перемещается по фазово­му пространству, описывая кривую, которая называется фазовой траекторией. Движение механической системы с любым конеч­ным числом степеней свободы всегда изображается в фазовом про­странстве как траектория изображающей точки. От размерности механической системы зависит только размерность фазового про­странства.

Канонические уравнения — это система обыкновенных диф­ференциальных уравнений первого порядка. Поэтому начальные данные для нее задаются только на сами неизвестные функции. Задание и некоторый момент времени t₀ начальных данных

означает задание точки в фазовом пространстве. Поскольку начальные данные полностью определяют частное решение кано­нических уравнений, то из каждой точки фазового пространства выходит только одна фазовая траектория. Поэтому фазовые тра­ектории не пересекаются.

В статистической физике вводится понятие статист.ического ансамбля. Статистический ансамбль — это множество идентич­ных механических систем, для которых заданы различные началь­ные данные. В фазовом пространстве статистический ансамбль изобрази гея множеством точек, которые можно рассматривать как частицы сплошной среды, называемой фазовой жидкостью. Если в начальный момент времени в фазовой жидкости выделить неко­торый объем, го при движении каждой частицы фазовой жидко­сти по своей фазовой траектории этот объем будет перемещаться и деформироваться. Однако вследствие выполнения канонических уравнений величина этого объема не меняется при его перемеще­нии, то есть фазовая жидкость является несжимаемой жидко­стью. Это утверждение носит название теоремы Лиувилля. Тео­рема Лиувилля применяется для обоснования функции распреде­ления в статистической физике.

Рассмотрим произвольную функцию координат импульсов и времени и найдем от нее полную производную по вре-

мени. Так как координаты и импульсы зависят от времени, то производную считаем как производную от сложной функции. В результате получим

(7.15)

Производные от координат и импульсов по времени с помощью ка­нонических уравнений (7.6) заменим на производные от функции Гамильтона, Тогда выражение (7.15) приводится к виду

(7.16)

Определим новую величину, называемую скобкой Пуассона функ­ций H и f, согласно формуле

(7.17)

 

 

Тогда полная производная от функции запишется в виде

 

 

(7.18)

 

Формула (7.18) дает производную по времени от любой функции координат, импульсов и времени. Если в качестве таких функций возьмем обобщенные координаты qi, то получим первую группу канонических уравнений:

(7.19)

Точно так же при подстановке в скобку Пуассона (7.17) вместо функции f обобщенных импульсов pi из (7.18) получается вто­рая группа канонических уравнений. Таким образом, формула (7.18) включает в себя и канонические уравнения. При построении квантовой механики Гейзенберг использовал обобщение формулы (7.18) для получения производной по времени для операторов, опи­сывающих физические величины в квантовой механике.

Если некоторая функция координат и импульсов не зависит яв­но от времени и ее скобка Пуассона с функцией Гамильтона Н равна нулю, то эта функция остается постоянной при движении механической системы, и, следовательно, имеется закон сохране­ния. Например, скобка Пуассона функции Гамильтона с функци­ей Гамильтона тождественно равна нулю. Поэтому если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то она остается постоян­ной. Поскольку функция Гамильтона равна энергии механической системы, то это означает, что выполняется закон сохранения ме­ханической энергии.