![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Задача двух тел. Приведенная масса
Рассмотрим задачу о движении двух взаимодействующих только между собой материальных точек. Вследствие однородности и изотропности пространства потенциальная энергия взаимодействия может зависеть только от расстояния между точками. Функция Лагранжа для данной задачи запишется в форме
Рассматриваемая система материальных точек замкнута. Поэтому ее импульс сохраняется, и система отсчета центра инерции является инерциальной системой отсчета. Задачу будем решать в системе отсчета центра инерции. Начало координат поместим в центр инерции, что дает
Введем радиус-вектор
С помощью формул (4.2) и (4.3) выразим векторы
Потенциальная энергия теперь зависит только от величины вектора
Выраженная через радиус-вектор
Функция Лагранжа (4.6) — это функция Лагранжа одной материальной точки массы
Масса Если масса одной материальной точки, например Поскольку масса Солнца намного больше массы каждой из планет Солнечной системы, то в первом приближении можно пренебречь взаимодействием планет между собой и движением Солнца вокруг центра инерции Солнечной системы. В этом приближении движение отдельной планеты рассматривается как движение материальной точки в поле тяготения Солнца. Учет взаимодействия планет между собой приводит к задаче многих тел, взаимодействующих между собой. Эта задача не может быть сведена к квадратурам и решается приближенными методами.
Движение в центральном поле Вследствие сферической симметрии поля сохраняется вектор момента импульса
Координата
Согласно формуле (3.34) обобщенный импульс для одной материальной точки
Этот обобщенный импульс равен проекции момента импульса материальной точки на ось OZ. Будем считать, что постоянная М положительна, что соответствует выбору положительного направления оси OZ по положительному направлению вектора момента импульса. В этом случае всегда
Из формул (4.9) и (4.10) находим скорость изменения площади с течением времени. Эта величина называется секторной скоростью и в центральном поле
За равные промежутки времени радиус-вектор материальной точки заметает одинаковые площади. Это утверждение, известное как закон площадей, является другой формулировкой закона сохранения момента импульса. Закон площадей выполняется для любого центрального поля.
Так как функция Лагранжа материальной точки в центральном поле не зависит явно от времени, то сохраняется энергия материальной точки. В полярных координатах выражение для энергии записывается в форме
Из выражения (4.9) найдем производную
где введено понятие эффективной потенциальной энергии
Формула (4.13) для энергии совпадает с формулой для энергии материальной точки, движущейся по радиусу и находящейся в потенциальном поле с эффективной потенциальной энергией
Разделяя в выражении (4.15) переменные и интегрируя его, получим неявную зависимость
Выражение (4.15) и интеграл (4.16) имеют смысл только тогда, когда подкоренное выражение не отрицательно, то есть когда выполняется неравенство Найдем теперь уравнение траектории. Так как производные
Интегрируя выражение (4.17), находим уравнение траектории в полярных координатах:
Интеграл можно вычислить только после задания потенциальной энергии
Рис. 4.3 Рис. 4.4 Примеры возможных траекторий приведены на рис. 4.3 и рис. 4.4. Угол
Если при сложении нескольких
где Задача Кеплера Рассмотрим важный случай центрального поля, когда потенциальная энергия равна Ур-ие траектории получим, вычисляя интеграл (4.18). Запишем его для поля притяжения, выбирая знак минус в (4.21). Положим также постоянную
где введены две новые постоянные: параметр
Материальная точка, движущаяся по гиперболе, может уйти на бесконечность и будет иметь там ненулевую скорость. При
Размер большой полуоси эллипса не зависит от момента импульса материальной точки и определяется только ее энергией. Период обращения материальной точки вокруг центра найдем путем интегрирования соотношения (4.11) закона площадей. За период обращения вокруг центра площадь, заметаемая радиусом-вектором материальной точки, равна площади эллипса. Используя значения для
Для планет Солнечной системы отношение Закон 1. Планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Закон 2. Площади, заметаемые радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки времени, равны. Закон 3. Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их больших полуосей. Уравнение траектории для поля отталкивания, когда
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 974; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.218.241.155 (0.036 с.) |