Задача двух тел. Приведенная масса

Рассмотрим задачу о движении двух взаимодействующих толь­ко между собой материальных точек. Вследствие однородности и изотропности пространства потенциальная энергия взаимодей­ствия может зависеть только от расстояния между точками. Функ­ция Лагранжа для данной задачи запишется в форме

(4.1)

Рассматриваемая система материальных точек замкнута. Поэтому ее импульс сохраняется, и система отсчета центра инерции являет­ся инерциальной системой отсчета. Задачу будем решать в систе­ме отсчета центра инерции. Начало координат поместим в центр инерции, что дает

(4.2)

Введем радиус-вектор , направленный от первой материальной точки ко второй:

(4.3)

С помощью формул (4.2) и (4.3) выразим векторы и через вектор :

; (4.4)

Потенциальная энергия теперь зависит только от величины век­тора . Выражая с помощью формул (4.4) скорости и через вектор , кинетическую энергию системы двух материальных точек можно записать как кинетическую энергию одной матери­альной точки массой

(4.5)

Выраженная через радиус-вектор функция Лагранжа (4.1) запи­шется в форме

(4.6)

Функция Лагранжа (4.6) — это функция Лагранжа одной мате­риальной точки массы , движущейся в потенциальном поле, за­висящем только от расстояния до начала координат. Такое потен­циальное поле называется центральным полем. Сила, действую­щая в центральном поле на материальную точку, направлена по прямой, соединяющей материальную точку с центром поля:

(4.7)

Масса , определенная согласно (4.5), называется приведенной массой. Следовательно, решение задачи двух тел эквивалентно решению задачи о движении в центральном поле материальной точки с массой, равной приведенной массе. После решения задачи о движении материальной точки в центральном поле координаты двух тел можно получить при помощи формул (4.4).

Если масса одной материальной точки, например , много больше массы другой материальной точки, то из формул (4.4) и (4.5) получим, что приближенно , , , то есть центр инерции системы двух тел совпадает с более массивным те­лом, а приведенная масса равна массе менее массивного тела. В этом случае задача двух тел сводится к задаче о движении одного тела в потенциальном поле, создаваемом другим телом.

Поскольку масса Солнца намного больше массы каждой из пла­нет Солнечной системы, то в первом приближении можно прене­бречь взаимодействием планет между собой и движением Солнца вокруг центра инерции Солнечной системы. В этом приближении движение отдельной планеты рассматривается как движение ма­териальной точки в поле тяготения Солнца. Учет взаимодействия планет между собой приводит к задаче многих тел, взаимодейству­ющих между собой. Эта задача не может быть сведена к квадра­турам и решается приближенными методами.

 

Движение в центральном поле

Вследствие сферической симметрии поля сохраняется вектор момента импульса , определенный относительно центра поля. Так как , то векторы и перпендикулярны посто­янному вектору и, следовательно, всегда лежат в плоскости, перпендикулярной ему. Поэтому вся траектория лежит в этой плоскости и является плоской кривой. Направим ось OZ по век­тору . Тогда траектория будет лежать в плоскости XOY. Выберем в этой плоскости полярную систему координат и функцию Лагранжа запишем в форме:

(4.8)

Координата является циклической. Сопряженный ей обобщен­ный импульс сохраняется:

(4.9)

Согласно формуле (3.34) обобщенный импульс для одной материальной точки

, (3.34)

Этот обобщенный импульс равен проек­ции момента импульса материальной точки на ось OZ. Будем счи­тать, что постоянная М положительна, что соответствует выбору положительного направления оси OZ по положительному напра­влению вектора момента импульса. В этом случае всегда и, следовательно, материальная точка в центральном поле движется так, что угол монотонно растет.

Закон сохранения (4.9) часто формулируется как закон площа­дей. Рассмотрим два положения материальной точки на траекто­рии в два бесконечно близких момента времени, как показано на рис. 4.1. Из рисунка видно, что площадь бесконечно малого секто­ра, ограниченного двумя положениями радиуса-вектора и участ­ком траектории, равна

. (4.10)

Из формул (4.9) и (4.10) находим скорость изменения площади с течением времени. Эта величина называется секторной скоростью и в центральном поле

(4.11)

За равные промежутки времени радиус-вектор материальной точ­ки заметает одинаковые площади. Это утверждение, известное как закон площадей, является другой формулировкой закона сохране­ния момента импульса. Закон площадей выполняется для любого центрального поля.

Так как функция Лагранжа материальной точки в центральном поле не зависит явно от времени, то сохраняется энергия матери­альной точки. В полярных координатах выражение для энергии записывается в форме

(4.12)

Из выражения (4.9) найдем производную и подставим ее в фор­мулу (4.12). В результате получим

(4.13)

где введено понятие эффективной потенциальной энергии , равной

(4.14)

Формула (4.13) для энергии совпадает с формулой для энергии материальной точки, движущейся по радиусу и находящейся в по­тенциальном поле с эффективной потенциальной энергией . Из соотношения (4.13) находим, что

(4.15)

Разделяя в выражении (4.15) переменные и интегрируя его, полу­чим неявную зависимость :

(4.16)

Выражение (4.15) и интеграл (4.16) имеют смысл только тогда, когда подкоренное выражение не отрицательно, то есть когда выполняется неравенство ). Исследование этого неравен­ства позволяет, не вычисляя интеграла, определить области про­странства, в которых возможно движение материальной точки при заданных энергии и моменте импульса . Качественно такое исследование можно провести графическим путем, если построить график зависимости и на том же графике провести прямую . Пример такого построения приведен на рис.. На этом графике условия неравенства выполняются для значений радиуса в пределах . Следовательно, при обра­щении вокруг центра поля материальная точка будет то прибли­жаться к центру на расстояние , то удаляться от него на рассто­яние .

Найдем теперь уравнение траектории. Так как производные и известны, то исключим время путем деления одной производной на другую. В результате получим

(4.17)

Интегрируя выражение (4.17), находим уравнение траектории в полярных координатах:

(4.18)

Интеграл можно вычислить только после задания потенциаль­ной энергии . Если положить , то изменение знака происходит одновременно с измене­нием знака . Знак меняется в точке, где и где, следова­тельно, материальная точка находится на минимальном или максимальном удалении от центра поля. Точки минимального или максимального удаления материальной точки от центра поля на­зываются точками поворота. Таким образом при начало отсчета угла выбрано от прямой, проведенной от центра поля в точку поворота. Поскольку в этом случае одинаковым значени­ям , лежащим по разные стороны от точки поворота, отвечают одинаковые абсолютные значения угла , то траектория матери­альной точки симметрична относительно направления на точку поворота. Если при движении материальная точка уходит на бес­конечность, то траектория состоит из двух симметричных ветвей. При движении без ухода на бесконечность траектория получается многократным отражением участка кривой, расположенного ме­жду положениями и .

 

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Примеры возможных траекторий приведены на рис. 4.3 и рис. 4.4. Угол между положениями и на рис. 4.4 дается формулой

(4.19)

Если при сложении нескольких получится угол, кратный , то материальная точка возвратится на уже пройденный участок траектории и сама траектория будет замкнутой кривой. Условие замкнутости траектории записывается в форме

(4.20)

где — целые числа. Если это условие не выполняется, то траектория будет незамкнутой кривой, расположенной в кольце между окружностями с радиусами и .

Задача Кеплера

Рассмотрим важный случай центрального поля, когда потен­циальная энергия равна (4.21) Силу, действующую на материальную точку, найдем по формуле (4,22), где — единичный вектор, направленный по радиусу. Знак плюс относится к полю отталкивания, когда сила направлена от центра. Знак минус - полю при­тяжения. Для рассматриваемого потенциального поля сила обрат­но пропорциональна квадрату радиуса. Такую зависимость силы от расстояния имеют поле тяготения сферически симметричной массы и электрическое поле точечн. или сферически симметрич­н. заряда.

Ур-ие траектории получим, вычисляя интеграл (4.18). За­пишем его для поля притяжения, выбирая знак минус в (4.21). Положим также постоянную =0 и выберем знак плюс перед интегралом. Такой выбор постоянной и знака перед инте­гралом соответствует выбору оси ОХ в направлении на положение минимального удаления материальной точки от центра. Тогда ин­теграл имеет вид

(4.23) Интеграл (4.23) приводится к табличному интегралу путем заме­ны и выделением полного квадрата под знаком корня. Результат интегрирования можно записать в форме (4.24)

где введены две новые постоянные: параметр и эксцентриситет . Они равны:

; (4.25) Уравнение (4.24) задает в полярных координатах одно из кони­ческих сечений: гиперболу, параболу или эллипс. Начало поляр­ной системы координат совпадает с одним из фокусов гиперболы или эллипса или с фокусом параболы. Вид конического сечения зависит от величины эксцентриситета . При уравнение зада­ет гиперболу. В этом случае положительна энергия материальной точки: (4.26)

Материальная точка, движущаяся по гиперболе, может уйти на бесконечность и будет иметь там ненулевую скорость. При второе слагаемое в (4.26) обращается в 0 и энергия материаль­ной точки равна ее кинетической энергии . Если , то эксцентриситет и уравнение (4.24) задает пара­болу. Материальная точка по-прежнему может уйти на бесконеч­ность, но скорость ее на бесконечности =0. И наконец, при отрицательной энергии материальной точки ее эксцентри­ситет . Тогда уравнение (4.24) описывает эллипс. Движение материальной точки ограничено областью вблизи центра поля.

Если пренебречь взаимодействием планет между собой, то по­лученные для поля притяжения с результаты можно применить к описанию движения планет Солнечной системы. Так как масса Солнца >> массы планет Солнечной системы, то центр поля можно считать совпадающим с центром Солнца, а приведенную массу считать = массе планеты. Из з-на всемирного тяготения имеем . Выразим измеряе­мые астрономами величины ^— большую полуось орбиты и период обращения планеты — через энергию и момент импульса планеты. Из рис. 4.5 траектории планеты видно, что

; (4.27)

Размер большой полуоси эллипса не зависит от момента импульса материальной точки и определяется только ее энергией. Период обращения материальной точки вокруг центра найдем путем инте­грирования соотношения (4.11) закона площадей. За период обра­щения вокруг центра площадь, заметаемая радиусом-вектором ма­териальной точки, равна площади эллипса. Используя значения для и из (4.27), формулу для площади эллипса и закон площадей (4.11), получим

(4.28) Подставляя в (4.28) значения и из формул (4.27), найдем период обращения: (4.29)

Для планет Солнечной системы отношение . Lля них период обращения зависит только от величины большой полуоси орбиты. Эти рез-ты для движения материальной точки по эллипсу в центральном поле в приложении к движению планет Солнечной системы открыты Кеплером. За­коны Кеплера

Закон 1. Планета движется по эллипсу, в одном из фокусов ко­торого находится Солнце.

Закон 2. Площади, заметаемые радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки времени, равны.

Закон 3. Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их больших полуосей. Уравнение траектории для поля оттал­кивания, когда .: (4.30) и даются формулой (4.25). Единственно возможной траекторией в этом случае является гипербола, для которой и .