![]()
Заглавная страница
Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь ![]() Мы поможем в написании ваших работ! КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Принцип виртуальных перемещений и принцип Даламбера
В динамике связи можно учесть с помощью введения сил реакции связей. Силы реакции связей Силы реакции связей заранее неизвестны и определяются во время интегрирования уравнений движения. Поэтому при наличии связей решение задач механики с помощью уравнений второго закона Ньютона усложняется тем, что необходимо интегрировать больше уравнений, чем число степеней свободы, и тем, что приходится определять силы реакции связей. Вначале рассмотрим случай, когда материальные точки покоятся. Это возможно, если сумма сил, действующих на каждую материальную точку, равна нулю:
Введем понятие виртуального перемещения. Виртуальное перемещение — это мысленное бесконечно малое перемещение, которое в данный момент времени материальная точка может совершить, не нарушая связей. Чтобы отличать виртуальные перемещения от реальных перемещений материальных точек, будем обозначать их греческой буквой Домножая равенства (2.6) на Первое слагаемое в (2.7) представляет работу активных сил на виртуальных перемещениях. Это — работа, которую совершили бы активные силы, если бы эти перемещения произошли. Ее называют виртуальной работой активных сил. Соответственно второе слагаемое в (2.7) дает виртуальную работу сил реакции связей. Существует большое количество связей, для которых виртуальная работа сил реакции связей равна нулю. Такие связи называются идеальными связями. Идеальными являются связи, осуществляемые нерастяжимыми нитями и в пренебрежении сил трения связи, обеспечиваемые твердыми телами. Для идеальных связей второе слагаемое в равенстве (2.7) равно нулю. В результате получаем уравнение В отличие от равенства (2.7), которое вследствие выполнения условий равновесия (2.6) представляет собой тождество, выражение (2.8) является уравнением. Так как при наличии связей не все Принцип виртуальных перемещений является основным принципом, применяемым в решении задач статики в механике. Проведенные для статики рассуждения обобщаются и на случай динамики. Для этого необходимо в уравнении (2.5) перенести Если формально ввести силы инерции Уравнение (2.10) формулируется как принцип Даламбера: Работа активных сил вместе с силами инерции на виртуальных перемещениях равна нулю. Принцип Даламбера является основным принципом динамики систем материальных точек со связями. В отсутствие связей все Виртуальные перемещения
Подставляя выражения для Поскольку вариации обобщенных координат В системе уравнений (2.13) нет сил реакции связей, и число уравнений равно числу степеней свободы. В дальнейшем во все уравнения будут входить только активные силы, и мы специально не будем отмечать это.
Принцип Гамильтона Использование принципа Даламбера позволяет не учитывать силы реакции связей и дает возможность применять произвольные обобщенные координаты. Однако, получение уравнений в обобщенных координатах может представлять трудности из-за наличия в принципе Даламбера Рассмотрим случай, когда силы имеют потенциал. Тогда виртуальная работа сил запишется в форме В общем случае потенциальная энергия может зависеть от времени. Поскольку вариация вычисляется при фиксированном
По аналогии с выражениями (1.12) частные производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам называют обобщенными силами: Для того чтобы преобразовать слагаемые с ускорениями к вариации от скалярной функции, предварительно проинтегрируем уравнение В сумме, содержащей ускорения, рассмотрим одно слагаемое, например
Будем считать, что начальное в момент времени
Такие же преобразования можно произвести для всех координат всех материальных точек. Учтем еще выражение (2.14) виртуальной работы через потенциальную функцию. В результате для интеграла (2.17) получим
Время может и не входить в функцию Лагранжа. Интеграл из (2.20) обозначается буквой После введения этих обозначений условие (2.20) принимает вид Вариация действия равна нулю. Это означает, что действие имеет экстремум, принимает наибольшее или наименьшее значение, если в интеграл (2.22) в качестве зависимости Теперь можно сформулировать интегральный принцип, называемый принципом Гамильтона: Движение механической системы за конечный промежуток времени от Для консервативных систем принцип Гамильтона эквивалентен законам Ньютона. Поэтому он может считаться основным принципом механики, из которого выводятся все уравнения механики.. Это — вариационный принцип, так как зависимость обобщенных координат от времени
8. Получение уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Из принципа Гамильтона обычным методом вариационного исчисления можно получить дифференциальные уравнения. Наряду с зависимостью
Это уже было отмечено ранее, что дифференцирование по времени и варьирование можно переставлять. Вариации координат рассматриваются такими, что в моменты времени Действие для пробных функций Интеграл от одного из слагаемых первой суммы в (3.5) вычислим по частям: Согласно условию (3.4), на пределах интегрирования
Поскольку вариации координат Несмотря на то, что функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциальной энергии, в выборе функции Лагранжа имеется некоторый произвол. Две функции Лагранжа, отличающиеся на полную производную по времени от произвольной функции координат и времени, дают одни и те же уравнения движения. Покажем это. Пусть Тогда для разности действий, отвечающих этим функциям Лагранжа, получим: Вследствие того, что вариация координат на пределах интегрирования Ур-ия Лагранжа обобщаются на механические системы, в которых действуют непотенциальные силы. Выражение для; обо6щенной непотенциалыюй силы нужно добавить в правую часть уравнений Лагранжа. Они тогда принимают вид В частном случае, когда непотенциальные силы являются силами трения, пропорциональными первой степени скорости, они могyт быть получены из диссипативной функции Рэлея:
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.230.76.48 (0.012 с.) |