Свободные многомерные колебания

Обобщенные координаты положения равновесия механической системы с несколькими степенями свободы обозначим через . Для смещений из положения равновесия и обобщенных скоростей имеем

; (5.39)

Как и в одномерном случае, потенциальную энергию механической системы разложим в ряд до членов второго порядка малости:

(5.40)

Здесь — число степеней свободы. При записи формулы (5.40) учтено, что вследствие минимума потенциальной энергии в поло­жении равновесия первые производные от нее =0, и вве­дено обозначение (5.41)

Коэффициенты постоянны и, как следует из их определения (5 41), симметричны по индексам i,j. To есть они задают симме­тричную постоянную матрицу. Так как по определению есть минимальное значение потенциальной энергии, то двойная сумма в разложении (5.40) должна быть положительной при любых зна­чениях . Матрицы, для которых такая сумма всегда положи­тельна, называются положительно определенными. Таким обра­зом, матрица — это симметричная положительно определенная матрица постоянных коэффициентов. В выражении кинети­ческой энергии зависящие в общем случае от координат коэффи­циенты также разлагаем в ряд вблизи положения равнове­сия. Поскольку обобщенные скорости , считаются малыми, то в разложении можно ограничиться нулевым приближением:

; (5.42)

Матрица — это также симметричная матрица постоянных ко­эффициентов. Поскольку кинетическая энергия всегда положи­тельна, то матрица как и матрица , является положительно определенной.

Запишем функцию Лагранжа многомерной механической систе­мы в приближении малых колебаний. Постоянную в потен­циальной энергии можно опустить. Используя формулы (5.40) и (5.42), для функции Лагранжа в данном приближении получим (5.43)

Зависимость функции Лагранжа (5.43) oт обобщенных координат , и обобщенных скоростей , задана явно. Форма этой зависимости одинакова для всех механических систем, удовлетворяющих поставленным выше условиям. Свой­ства конкретной механической системы проявляются в функции Лагранжа только через значения постоянных коэффициентов и

Чтобы записать уравнения Лагранжа для функции Лагранжа (5.43), вычислим производные от нее по и . Эти производные равны

; (5-44) Ограничимся только уравнениями Лагранжа в отсутствие тре­ния. Подстановка в уравнения Лагранжа частных производных из (5.44) дает (5.45)

Уравнения Лагранжа (5.45) представляют собой однородную си­стему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение их ищется в форме (5.46)

где и — постоянные, которые необходимо найти. При под­становке из (5.46) в уравнения Лагранжа (5.45) получим ха­рактеристическую систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно постоянных :

(5.47)

Так как система уравнений (5.47) — однородная система, то она имеет отличные от нуля решения для только тогда, когда ее определитель равен нулю. Условие равенства нулю определителя (5.48)

дает уравнение для нахождения постоянной . Если система име­ет степеней свободы, то матрицы и имеют размерность .

Поэтому уравнение (5.48) будет алгебраическим уравнением сте­пени относительно . Такое уравнение имеет корней, кото­рые обозначим как . Греческий индекс для обозначения номера решения введен специально для того, чтобы отличать номер ре­шения от номера координаты. Корни могут быть кратными, но вследствие положительной определенности матриц и они обязательно будут положительными. Поэтому являются дей­ствительными числами. Они определяют частоты колебаний, ко­торые могут происходить в механической системе, и называются собственными частотами.

Для каждой частоты система уравнений (5.47) становится линейно зависимой. Поэтому одно из уравнений системы, которое линейно выражается через другие, можно отбросить. В случае кратных корней таких отбрасываемых уравнений будет несколь­ко. В оставшейся системе уравнений одно или для кратных корней несколько неизвестных из переносим в правую часть и полу­чившуюся систему уравнений решаем. Решение системы — набор постоянных — можно рассматривать как вектор в -мерном линейном пространстве. Кратному корню отвечает линейное подпространство, каждый вектор которого будет решением систе­мы (5.47). Размерность подпространства равна кратности корня. Таким путем находятся векторов

Подставим два вектора с различными номерами и в систему уравнений (5.47) и запишем вытекающие оттуда соотношения:

; (5.49)

Домножая первое из них на , а второе на , суммируя еще по индексу i и вычитая одно из другого, получим результат:

(5.50)

Если , то двойная сумма в (5.50) равна нулю. Для крат­ных корней, когда и ,, в линейном подпространстве решений можно всегда подобрать векторы, для которых двойная сумма также обратится в нуль. Наконец, для одинаковых векторов двойная сумма не определена. Вследствие положительной определенности матрицы она положительна. Можно потребо­вать, чтобы эта сумма равнялась единице. В результате получим

следующие алгебраические условия, которым удовлетворяют век­торы :

; (5.51)

Двойную сумму в (5.51) можно рассматривать как определение скалярного произведения в линейном пространстве векторов . Тогда соотношения (5.51) будут условиями ортонормированности векторов , . При выполнении условий (5.51) из уравнений (5.47) получим (5.52)

Из (5.52) видно, что при положительно определенной матрице квадраты частот будут положительными. Подставляя полученные решения для в (5.46), получим частных решений системы (5.45): (5.53)

Так как система дифференциальных уравнений (5.45) — однород­ная система, то ее общее решение дается суммой частных решений, домноженных на произвольные постоянные: (5.54)

Решение (5.54) записано в комплексной форме. Представим в виде и перейдем к действит. записи (5.55)

Зависимость каждой координаты от времени за­дается в виде конечной суммы гармонических колебаний. В эту сумму входят только колебания с собственными частотами. Ам­плитуды и начальные фазы определяются начальными усло­виями. Коэффициенты не зависят от начальных условий.

Обозначим отдельные колебания, входящие в сумму (5.55). Тогда решение (5.55) запишется в форме (5.56)

Выражения (5.56) можно рассматривать как формулы преобразо­вания от координат к координатам , где матрица координатного преобразования дается постоянными . Если примените это координатное преобразование непосредственно к функции Ла­гранжа, то можно получить

(5.57)

(5.58)

(5.59)

Функция Лагранжа (5.59) имеет наиболее простой вид. Коорди­наты , в которых функция Лагранжа принимает вид (5.59), на­зываются нормальными координатами. Собственные частоты также называются нормальными частотами. Уравнения Лагран­жа для каждой из нормальных координат имеют вид уравнений одномерных свободных колебаний: (5.60)

Очевидно, что решение уравнений (5.60) для каждой нормальной координаты - это одномерное гармоническое колебание (5.61)

Преобразование (5.56) к нормальным координатам было прове­дено нами после решения системы дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания. Как правило, нормальные координаты не являются координа­тами каких-либо частей механической системы, а представляют собой расчетные величины. Однако можно задать такие началь­ные данные, когда все координаты механической системы будут изменяться по гармоническому закону с одной из нормальных частот. Для этого начальные данные нужно выбрать так, чтобы ам­плитуды всех нормальных колебаний, кроме одной, были равны нулю. Тогда в суммах (5.55) останется только по одному слагае­мому, которое и будет определять частоту малых колебаний для всех координат.