Функция Лагранжа в обобщенных координатах

Для того чтобы записать функцию Лагранжа в обобщенных координатах, необходимо пересчитать к ним потенциальную и ки­нетическую энергию механической системы. Если потенциаль­ная энергия задана как функция декартовых координат, то, за­меняя их на обобщенные с помощью преобразования [от декартовых координат к обобщенным координатам в векторной форме: (2.2) ]

(2.2), полу­чим потенциальную энергию как функцию обобщенных координат . Выражение для кинетической энергии мы найдем только для случая, когда связи стационарны и формулы преобразования (2.2) не содержат времени. Подставляя формулу для скорости [ (2.4)] из (2.4) в выражение для кинетической энергии (), имеем

(3.23)

Введем матрицу коэффициентов, зависящих только от обобщен­ных координат:

(3.24)

Матрица — это симметричная матрица. Учитывая обозначения (3.24), запишем кинетическую энергию механической системы в виде

(3.25)

Если формулы преобразования к обобщенным координатам не со­держат времени, то кинетическая энергия является однородной функцией второго порядка от обобщенных скоростей. Функция Лагранжа (разность кинетической и потенциальной энергии называется функцией Лагранжа и обозначается буквой ) принимает форму

(3.26)

Если формулы преобразования к обобщенным координатам со­держат время, то выражение для кинетической энергии в обобщен­ных координатах будет содержать члены, линейные по обобщен­ным скоростям, и члены, не зависящие от обобщенных скоростей.

 

Обобщенный импульс, обобщенная энергия

Циклические координаты.

Для одной материальной точки производные от функции Лагранжа по равны проекциям импульса на декартовы оси

; ; (3.27)

В обобщенных координатах вводится понятие обобщенного импуль са. Обобщенный импульс, сопряженный координате определяется по формуле, аналогичной формулам (3.27): (3.28)

Если координаты не декартовы, то обобщенные импульсы больше не равны проекциям импульса. Их можно выразить через импуль­сы отдельных материальных точек, составляющих систему материальных точек. Рассмотрим функцию Лагранжа как сложную функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей:

Вычислим производные по обобщенным координатам как производные от сложной функции:

(3.29)

Для частных производных от векторов скорости из формулы (2.4) находим, что

(3.30)

В рез-те имеем следующую связь обобщенного импульса с импульсами отдельных материальных точек механической системы: (3.31)

Обобщенный импульс, сопряженный де­картовой координате, равен проекции импульса на декартову oсь. Обобщенный импульс, сопряженный угловой координате, равен проекции момента импульса на ось вращения. Чтобы убедиться в этом, выразим радиус-вектор материальной точки через сфери­ческие координаты:

(3.32)

Используя представление (3.32), легко проверить,

(3.33)

Подставляя выражение (3.33) в формулу (3.31), найдем для одной материальной точки , (3.34)

то есть обобщенный импульс , сопряженный угловой координате , равен проекции момента импульса на ось OZ, которая в дан­ном случае представляет ось вращения при изменении угла . По­скольку моменты импульса складываются, то это будет справед­ливо и для системы материальных точек.

Используя определение обобщенного импульса, уравнения Лагранжа можно записать в форме (3.35)

Возможны случаи, когда некоторые координаты не входят в функ­цию Лагранжа, но в ней присутствуют их производные по времени — обобщенные скорости. Такие координаты называются цикличе­скими координатами. Например, если в функции Лагранжа ма­териальной точки (массой , находящейся в потен­циальном поле : (3.14) потенциальная энергия не будет зависеть от координат х и у, то координаты х и у будут циклическими. Для циклической координаты правая часть уравнения (3.35) равна ну­лю и, следовательно, интеграл этого уравнения имеет вид

. (3.36)

Так как обобщенный импульс, сопряженный циклической коорди­нате, остается постоянным при движении механической системы, то говорят, что он сохраняется. Каждой циклической координате отвечает свой закон сохранения.

Наличие законов сохранения упрощает решение задач механи­ки. Уравнения Лагранжа — это дифференциальные уравнения второго порядка относительно неизвестных координат . Соот­ношения вида (3.36) являются дифференциальными уравнениями первого порядка относительно . Понижение порядка диффе­ренциальных уравнений облегчает их интегрирование. Поэтому выбор обобщенных координат, когда некоторые из них являются циклическими, является предпочтительным.

Обобщенная энергия

Найдем полную производную от функции Лагранжа по време­ни. Так как функция Лагранжа зависит от обобщенных координат и обобщенных скоростей, которые сами являются функциями вре­мени, то получим выражение

(3.37)

Воспользуемся формулой Лейбница для дифференцирования про­изведения двух функций и получим из нее следующее равенство:

С помощью этого равенств преобразуем выражение (3.37) и запи­шем его в форме

(3.38)

Сумма в правой части выражения (3.38) равна нулю вследствие выполнения уравнений Лагранжа (3.8). Выражение в скобках в левой части формулы (3.38), взятое с обратным знаком, называет­ся обобщенной энергией. Обозначим его буквой :

(3.39).

Равенство (3.38) дает полную производную от обобщенной энергии по времени

(3.40)

Если функция Лагранжа не зависит явно oт времени, то правая часть в формуле (3.40) равна нулю и обобщенная энергия сохра­няется при движении механической системы.

Для обычных механических систем при условии, что формулы преобразования к обобщенным координатам не содержат времени, функция Лагранжа дается формулой (3.26). Найдем в этом случае обобщенную энергию. Для обобщенных импульсов получим

(3.41)

Подставляя этот результат в формулу (3.39), найдем

(3.42)

то есть определение обобщенной энергии в этом случае совпадает с обычным определением механической энергии.

Если на механическую систему действую силы, не имеющие потенциала, то в правой части уравнений Лагранжа стоит уже не нуль. Поэтому сумма в правой части формулы (3.38) не равна нулю, и механическая энергия не будет сохраняться даже при от­сутствии явной зависимости от времени в функции Лагранжа. В частности, если непотенциальные силы являются силами трения, описываемыми диссипативной функцией Рэлея, то уменьшение ме­ханической энергии дается формулой (3.43)

Формула (3.43) получается из соотношения (3.38) при подстановке в него уравнения (3.12). Для механических систем, в которых силы трения могут быть описаны диссипативной функ­цией Рэлея, уравнения Лагранжа имеют вид (3.12)