Тема 1. Колебания без затухания.

Тема 1. Колебания без затухания.

П.1. Периодический процесс. Гармонические колебания.

Звук

Процессы, происходящие в природе, очень часто имеют регулярно повторяющиеся части (с той или иной степенью точности). Повторяются дни и ночи, времена года, движение Луны, Солнца и звезд, и т.д. Большое значение имеют повторяющиеся процессы в технике.

Проблема: Каковы основные характеристики повторяющихся процессов и какими уравнениями они связаны?

Решение: В первую очередь обратимся к механическим процессам, части которых регулярно повторяются.

Периодическим (колебательным) называется процесс, часть которого регулярно повторяется во времени.

колебательной называют систему тел, в которой происходит периодический процесс.

полным колебанием называется минимальная часть периодического процесса, которая полностью повторяется.

периодом T называется длительность одного полного колебания.

Замечание: через время, равное Т, процесс полностью повторяется.A(t) = A(t±nT), где n = 1, 2, 3, … есть любое целое число.

Оно может начинаться с любой точки графика A(t) зависимости физической характеристика А от времени t.

Замечание: Периодический процесс есть абстракция (модель), т.к. он бесконечен во времени.

Частный случай периодического процесса – гармоническое колебание (ГК).

Гармоническим называется колебание, при котором физическая характеристика A(t) меняется по закону синуса или косинуса.

- общий вид закона изменения характеристики A при гармонических колебаниях.

 

 

Если «А» есть характеристика движения, тогда колебание называется механическим.

Первая характеристика движения – положение.

Закон движения, если тело движется по оси Х по гармоническому закону, выглядит так:

.

Идеальное гармоническое колебание есть абстрактная модель процесса, т.к. оно бесконечно во времени. Но оно является хорошим приближением для исследования реальных процессов, длительность которых много больше периода.

Звук

Характеристики гармонических колебаний:

А_m - амплитуда есть максимальное отклонение характеристики А от нулевого значения;

φ(t) = – фаза, есть значение аргумента косинуса (или синуса) в произвольный момент времени «t»;

φ₀ - начальная фаза - значение аргумента косинуса (или синуса) в начальный момент времени t₀ = 0;

- циклическая частота.

В этих обозначениях закон движения будет выглядеть так:

x(t) = x_m cos(wt + j₀).

Графически:

 

Еще одна очень важная характеристика:

υ = w/2p = 1/Т - частота, есть количество полных колебаний за 1с. Иначе: ω = 2πυ.

Замечание. Гармоническое колебание это абстракция (модель), поскольку оно имеет вид точной математической функции (синусоиды), которая бесконечна во времени.

Вопрос: Если гармоническое колебание есть абстракция, зачем же мы его исследуем?

Ответ: Математика позволяет заменить задачу о произвольном периодическом процессе на задачу о гармонических процессах. Любая периодическая функция раскладывается в ряд Фурье (есть сумма гармонических функций).

Дополнение.

Напомню вид графической зависимости для некоторых широко используемых реальных воздействий:

F

 

t

Импульс.

F

 

 

t

 

Отрезок синусоиды.

 

Воздействие таких сил можно рассматривать, как сумму (интеграл) воздействий отдельных гармонических составляющих (теорема Фурье). Поэтому мы должны их изучить в первую очередь.

 

 

Звук

 

Алгоритм применения разложения Фурье.

1. Реальное воздействие представляют, как совокупность гармонических воздействий (раскладывают в ряд или интеграл Фурье и находят амплитуды каждой гармонической силы).

2. Рассматривают воздействие каждой гармонической силы на исследуемую систему и вычисляют результат.

3. Суммируют (интегрируют) результаты и получают искомый результат от исходного воздействия.

П.3. Пружинный маятник

Звук

Проблема: Как применять полученные результаты для решения вопроса о возможности колебаний и их характеристиках?

Решение: 1) использовать известные физические законы, которым подчиняется данная система, 2) трансформировать их, стремясь получить дифференциальное уравнение колебаний для какой-нибудь характеристики этой системы. Если это удалось – колебания возможны.

Пример. Проанализируем движение шарика на пружинке. В качестве модели шарика используем МТ, а пружинку будем считать идеальной, т.е. невесомой и абсолютно упругой. Пусть шарик лежит на идеально гладкой горизонтальной поверхности, пружина соединяет его с массивной стенкой.

Жесткость пружины – k; m – масса шарика. Растянем пружину, тогда возникнет сила упругости.

Y

 

 

Основные законы:

- второй закон Ньютона.

Далее запишем закон Гука:

.

Конкретизируем второй закон Ньютона:

. Подставим силу упругости

= 0.

Учтем, что .

 

Сравнивая с дифференциальным уравнением (*), делаем вывод, что они похожи и, следовательно,

1. В такой системе возможны гармонические колебания

такую систему будем называть пружинный маятник.

2. Частота этих колебаний определяется жесткостью пружины k и массой шарика m: .

Замечание: Амплитуда и начальная фаза определяются дополнительными условиями.

 

П.3. Вынужденные колебания

Звук

Проблема: Как возникают колебания и чем они поддерживаются?

Известно: Движение возникает и изменяется при наличии внешнего воздействия. Значит, надо исследовать колебательную систему, на которую что-то действует.

Вынужденными называются колебания, возникающие при наличии внешнего воздействия. Оно может быть описано с помощью внешней силы. Второй закон Ньютона будет выглядеть так:

.

Внешняя сила – функция времени. В системе должна быть квазиупругая сила и действовать сила трения.

 

Для физической характеристики “A”.

 

Такое дифференциальное уравнение имеет решение, равное сумме двух функций (см. математику). При t ® ¥ решение оказывается близким к гармоническому, если F(t) - гармоническая функция

.

ПРИМЕР: Упругий маятник с вязким трением.

 

 

τ- постоянная времени установления колебаний.

Огибающая имеет вид 1 – exp(-t/t). Касательная к ней, проведенная в начальный момент времени пересекает ось времени в точке t = t. Через 3τ колебания становятся практически установившимися и закон движения будет

.

Установившийся режим – в нем происходят колебания с частотой вынуждающей силы и постоянной амплитудой. Амплитуда установившихся колебаний

,

.

ВЫВОД: Амплитуда установившихся колебаний зависит от:

- амплитуды внешней силы,

- от частоты внешней силы, частоты собственных колебаний и коэффициента затухания.

 

Звук

 

ЗАДАЧА: проанализировать зависимость амплитуды установившихся колебаний от частоты вынуждающей силы.

Рассмотрим график соответствующей зависимости:

Если на систему действует постоянная сила (т.е. W = 0), появляется постоянное смещение .

Затем, при увеличении частоты внешней силы амплитуда сначала растет, достигает максимума, а затем асимптотически стремится к 0.

 

Максимум амплитуды колебаний наблюдается при определенной частоте Ω₀ внешней силы, где

 

Ω₀ = .

 

Резонанс – резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, при приближении частоты вынуждающей силы к некоторому (резонансному) значению.

Добротность показывает, как резко увеличивается амплитуда при резонансе:

.

При d = 0 Q → ∞.

 

 

Тема 1. Колебания без затухания.