ТОП 10:

П.4. Гармонический осциллятор. Математический маятник.



Звук

Вопрос: Какие еще полезные задачи можно также легко решить, используя наши знания?

Пример 1: Движение при наличии квазиупругой силы.

Определение. Если на тело действует сила, формула для которой похожа на закон Гука, тогда такая сила называется квазиупругой.

Закон Гука: .

Квазиупругая сила FX = - const×x = - kx .

Тело совершает гармонические колебания с циклической частотой .

Движение в параболической «потенциальной» яме.

Потенциальная энергия сжатой пружины .

Если на тело действует квазиупругая сила, .

 

 

Тело массы m, находящееся в такой яме, может совершать гармонические колебания с частотой . Гармонический осциллятор – тело совершающее гармонические колебания в «параболической потенциальной яме».

 

Пример 2.Математический маятник.

Это модель, состоящая из МТ, подвешенной на идеальной нити (невесомая, нерастяжимая), находящейся в однородном гравитационном поле, и совершающей малые отклонения от положения равновесия.

Используем второй закон Ньютона для МТ, движущейся по окружности. Запишем его для угловых характеристик движения:

 
 

 


L

j X

t

В соответствии со вторым законом Ньютона

или .

Выбираем ось Х вдоль вектора ускорения, направленного перпендикулярно нити и являющегося тангенциальным. После проектирования на ОХ имеем

max = - mg Sin(j).

 

Звук

 

 

Далее используем условие малости угла отклонения (Sin(j) = j) и уравнение связи углового и линейного ускорений at = eR. Кроме того, ах = аt :

,

отсюда получим (учитывая, что R = L)

, или

, где .

 

Закон движения, для угла отклонения нити от вертикали, выглядит так:

j(t) = jm cos(wt + j0) .

 

Вывод: математический маятник может совершать гармонические колебания!

 

Замечание: Циклическая частота колебаний математического маятника определяется полученной нами формулой

.

 

Эта формула, хорошо нам знакома из курса элементарной школьной физики, где она была приведена без вывода. Теперь мы видим, что она не относится к фундаментальным законам физики, а может быть выведена из действительно фундаментального второго закона Ньютона с учетом свойств кинематических характеристик движения МТ.

 

Тема 2. Свободные затухающие колебания. Вынужденные колебания. Сложение колебаний

 

П.1. Свободные затухающие колебания.

Звук

Проблема: Могут ли свободные колебания в реальной механической системе продолжаться бесконечно долго?

Решение: Надо исследовать реальную систему, в которой действуют силы, уменьшающие амплитуду колебаний.

Затухающими называются колебания, амплитуда которых асимптотически стремится к нулю.

 

Зависимость амплитуды от времени:

Ao(t)

Ao(0)

Ao(0) ·e - d·t

Ao(t)

 

Касательная при t = 0
0 t t

 

A0(t) = - амплитуда, зависящая от времени,

- коэффициент затухания,

- амплитуда в момент t = t.

A(t) =

максимальная амплитуда (при t = 0).

t - постоянная времени затухания колебаний. Это время, в течение которого амплитуда убывает в «e» раз и становится равной 0,37

За время, равное 3t, амплитуда колебаний становится пренебрежимо малой и колебания «исчезают», «прекращаются», «затухают».

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний характеристики А:

.

Решение этого уравнения:

, где .

Вопрос: в какой механической системе возможны свободные затухающие колебания?

Пусть физическая характеристика А есть координата х МТ, тогда для механических затухающих колебаний

.

 

Звук

Перепишем, используя определения ускорения и скорости:

умножим и перегруппируем:

.

Вспомним второй закон Ньютона: (*), слева у нас все так же. А что справа?

По закону Гука FУПР.Х = - k x, и .

 

 

Подставляем в (*) и получаем:

.

FТР.Х = - rv это сила вязкого трения, пропорциональная скорости и направленная против движения.

 

Вывод: Если у нас есть механическая система - модель которой упругий маятник и если в нем возникает сила вязкого трения, то в такой системе возможны свободные затухающие колебания.

 

 

Сила вязкого трения в векторном виде:

Рассмотрим эту силу более детально.

 

1) r = const. (коэффициент вязкого трения)

2)

3)

4) и .

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.175.113.29 (0.006 с.)