Свойства собственных частот и форм колебаний

Исходя из данного выше определения собственных частот и форм колебаний системы с КЧСС, можно выделить следующие их основные свойства [1,3,4]:

1. Число собственных частот и форм колебаний. Система с n степенями свободы имеет n вещественных положительных собственных частот p_i . Предполагается, что они различны и пронумерованы в порядке возрастания

p₁ < p₂ ¼ < p_n. (3.3.1)

Каждой собственной частоте p_i соответствует вещественная собственная форма колебаний , которая представляет отношение амплитуд главных колебаний:

. (3.3.2)

Число собственных форм равно числу степеней свободы n. Собственные частоты и формы колебаний системы не зависят от начальных условий, а зависят только от распределения масс и жесткостных свойств системы.

2. Ортогональность собственных форм. По определению два вектора и ортогональны относительно симметричной матрицы A, если имеет место соотношение

. (3.3.3)

Рассмотрим две собственные формы колебаний , соответствующие s -й и r -й собственным частотам, причем . Форма колебаний определяется из уравнения форм колебаний (3.2.6), которое можно представить в виде

. (3.3.4)

В случае симметрии матриц C и M имеют место следующие соотношения:

; (3.3.5)

. (3.3.6)

Подставляя соотношение (3.3.4) в левую и правую части равенства (3.3.5), получим

. (3.3.7)

В полученном выражении постоянные множители p_s² и p_r² можно вынести из матричных произведений

. (3.3.8)

Из соотношения (3.3.6) следует, что в формуле (3.3.8) выражения, стоящие в скобках, равны и поэтому

. (3.3.9)

Так как по условию , то из выражения (3.3.9) следует условие ортогональности собственных векторов относительно матрицы масс M:

. (3.3.10)

Для доказательства условия ортогональности собственных форм относительно матрицы жесткости C воспользуемся соотношением (3.3.4), которое можно представить так:

. (3.3.11)

Подставляя (3.3.11) в (3.3.10), получим

. (3.3.12)

Поскольку , следует условие ортогональности собственных форм относительно матрицы жесткости

. (3.3.13)

Условие ортогональности (3.3.10) и (3.3.13) можно представить соответственно в скалярном виде:

; (3.3.14)

. (3.3.15)

В полученных формулах предполагается, что .

3. Узлы собственных форм. Из условий ортогональности собственных форм (3.3.14), (3.3.15) и положительности коэффициентов матриц масс и жесткости следует, что амплитуды l_ir и l_ks форм главных колебаний, соответствующие различным собственным частотам p_r и p_s, не могут быть все одного и того же знака. Существует закономерность в распределении числа перемен знака амплитуд собственных форм [1]. Точка, которая остается неподвижной при колебаниях по какой-либо собственной форме, называется узлом этой формы. Закономерность распределения узлов собственных форм устанавливается соответствующей теоремой об узлах собственных форм: число перемен знака (число узлов) на r -й собственной форме равно r -1 для всех . Так например, все амплитуды l_i1 для p₁ отличны от нуля и имеют одинаковые знаки.

 

3.4 Решение задачи о свободных колебаниях

Для решения задачи о свободных колебаниях механических систем с конечным числом степеней свободы необходимо решить линейное дифференциальное уравнение (2.3.1) или (2.3.2). Рассмотрим случай, когда все корни p_i частотного уравнения (3.2.6) различны. Как было показано в разделе 3.2, каждой собственной частоте p_i соответствует частное решение уравнения свободных колебаний (2.3.2), которое имеет вид:

. (3.4.1)

Вектор амплитуды в данном выражении представляет i -ю форму колебаний, которая определяется из уравнения форм колебаний (3.2.2).

Поскольку исходная система дифференциальных уравнений (2.3.2) является линейной, то ее общее решение можно представить в виде линейной комбинации частных решений (3.4.1):

(3.4.2)

В данном выражении С_i и j_i произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий

, (3.4.3)

или в матричной форме

, . (3.4.4)

Подставляя (3.4.2) в начальные условия (3.4.4), находим

(3.4.5)

Можно показать, что вектора , являются линейно независимыми, поэтому из системы (3.4.5) однозначно определяют произвольные постоянные

С_i и j_i .

При решении конкретных задач свободных колебаний механических систем общее решение (3.4.2) удобнее представить в виде

, (3.4.6)

где ; .

Новые произвольные постоянные A_i и B_i также определяют из начальных условий (3.4.4)

(3.4.7)

В скалярной форме систему линейных алгебраических уравнений (3.4.7) можно представить

(3.4.8)

 

Контрольные вопросы:

1. В чем отличие нормальных (главных) координат от обычных обобщенных координат?

2. В чем физический смысл приведения кинетической и потенциальной энергий к каноническому виду?

3. Дать определение собственным формам колебаний?

4. Сформулировать основные свойства собственных частот и форм колебаний?

5. Чем определяется количество собственных частот и форм колебаний механической системы?

4. Расчетно-графическое задание

Колебания систем с конечным числом степеней свободы можно отнести к важнейшей и наиболее практически востребованной области теории колебаний. Наиболее наглядной частью данного направления являются продольные, крутильные и изгибные колебания стержней либо валопроводов. Построение разрешающей системы уравнений колебаний для подобных систем не представляет в настоящий момент серьезной научной проблемой. Однако далеко не очевидна задача дискретизации реальной, континуальной системы (например, валопровода [7]). Поэтому предлагаемое расчетно-графическое задание (РГЗ) предназначено для приобретения навыков дискретизации и расчета основных характеристик колебательных процессов стержневых систем.

 

4.1. Цели и задачи расчетно-графического задания

Целью данного задания являются:

· построение дискретной модели для трех видов колебаний ротора продольных, крутильных и изгибных;

· запись уравнений колебаний дискретных систем в прямой и обратной форме;

· построение уравнений форм колебаний и частотного уравнения;

· получение решения в виде собственных частот и форм;

· нормирование собственных форм по матрице масс;

· графическое построение собственных форм;

· получение уравнений колебаний в виде разложения по собственным формам;

· графическое построение колебательного процесса.

Основною задачей данного расчетно-графического задания является приобретение практических навыков дискретизации роторных и стержневых систем кусочно-непрерывной конструкции. Под кусочно-непрерывной конструкцией следует понимать роторы круглого поперечного сечения со скачкообразным изменением диаметра вала. Подобные валопроводы широко применяются в турбиностроении, двигателестроении и станкостроении. Поэтому данное РГЗ носит не только теоретический, но и практический характер.

В состав РГЗ входят три задания, примеры выполнения которых, изложены ниже в пп. 4.2, 4.3 и 4.4. Варианты заданий приведены в п. 4.5. В состав РГЗ входят также две лабораторные работы на ПЭВМ по расчету методом начальных параметров продольных колебаний – «СТЕРЖЕНЬ» и изгибных колебаний «РОТОР» [10] валопроводов для тех же вариантов. Порядок действий при расчете на ПЭВМ приведен в п. 4.6.

 

Пример моделирования продольных колебаний ротора.

Задание:

· построить и определить параметры (массы, жесткости) для модели вала при продольных колебаниях согласно варианту задания;

· получить уравнение продольных колебаний прямым способом (см. п. 2.3);

· определить собственные частоты и формы колебаний (см. п. 3.2);

· построить графическое изображение форм.

 

На рис. 4.1,а приведен исходный эскиз осевого сечения ротора, состоящего из четырех участков имеющих следующие размеры: L₁ = 0,5 м; L₂ = 0,9 м; L₃ = 1,5 м; L₄ = 2,0 м; d₁ = 0,2 м; d₂ = 0,15 м; d₃ = 0,12 м; d₄ = 0,15 м. Физические характеристики материала таковы: модуль упругости E = 2,1×10¹¹ H/м², плотность r = 8×10³ кг/м³.

Построение дискретной модели. Необходимо построить двухмассовую дискретную модель для моделирования колебательного процесса. Для этого ротор разбиваем на два участка равной длины:

L _у1 = L _у2 = L ₄/2.

 

Рисунок 4.1 – Построение модели продольных колебаний ротора:

а - эскиз поперечного сечения ротора; б - дискретная модель ротора

1.Определение масс. Как видно из рис. 4.1,а, в первый участок L _у1 вошло три участка ротора постоянного поперечного сечения, массы которых вычисляются по следующим формулам:

= 125,664 кг;

= 56,549 кг;

= 9,048 кг.

Масса первого участка определяется как сумма масс участков его составляющих:

m_{у 1}= m_{у 11} + m_{у 12} + m_{у 13} = 191, 261 кг.

Во второй участок L _у2 вошло два участка ротора постоянного поперечного сечения, массы которых вычисляются по следующим формулам:

= 45,239 кг;

= 70,686 кг.

Масса второго участка определяется как сумма масс участков его составляющих:

m_{у 2}= m_{у 21} + m_{у 22} = 115, 925 кг.

 

2.Вычисление центров масс. Центр каждой массы должен быть расположен в центре ее статического момента инерции. Так как исходные участки ротора имеют постоянный диаметр, их центр статического момента инерции находится в геометрическом центре участка.

Найдем координаты центров масс участков постоянного поперечного сечения, составляющих первый участок:

= 0,25 м;

= 0,7 м;

= 0,95 м.

Условия равенства массовых моментов инерции для первого участка имеют вид

,

откуда координата первой массы x _{ц 1} равна:

= 0,416 м.

Аналогичным путем получим координату x_{ц 2} второй массы:

= 1,25 м;

= 1,75 м;

= 1,555 м.

Результаты вычислений центров масс изображены на рисунке 4.1,б.

 

3.Определение жесткостей. На рис. 4.1,б обозначены две полученные массы и их координаты. Эти две массы разбивают длину ротора на три участка, каждый из которых имеет жесткость, обозначенную С ₁, С ₂,_, С ₃ соответственно, и изображены как условные пружины на рис. 4.1,б.

Так как первый и третий жесткостные участки соответствуют конструкционным участкам ротора постоянного диаметра, величины жесткости их равны:

= 1,585×10¹⁰ Н/м.

= 8,339×10⁹ Н/м.

Второй жесткостной участок соответствует четырем конструкционным участкам ротора, которые обозначены на рис. 4.1,б как с_2i (i =1,2,3,4). Определим величины этих жесткостей:

= 7,869×10¹⁰ Н/м;

= 9,278×10⁹ Н/м;

= 3,958×10⁹ Н/м;

= 6,762×10¹⁰ Н/м.

Условные пружины с _{2 i} соединены последовательно, а в этом случае складываются податливости пружин, т.е. податливость пружины С ₂ определяется как

= 0,388×10^-9 м/Н,

откуда жесткость второй пружины равна

 

С ₂= 2,578 10⁹×Н/м.

 

Получение уравнений для свободных продольных колебаний. На рис. 4.2 изображена полученная дискретная модель ротора со степенями свободы q _i (i =0, 1, 2, 3). Всего данная модель имеет четыре степени свободы, две из которых q₁, q₂ соответствуют массам m₁, m₂, а остальные безмассовым концам пружин.

Рисунок 4.2 – Дискретная модель ротора при продольных колебаниях

 

Применяя прямой способ, основанный на принципе Даламбера [6] (см. п. 2.3), выделим массы из системы и, заменив действие пружин упругими силами, получим уравнения равновесия в соответствии с формулой (2.3.11). Уравнение движения для двух масс и обобщенных координат, показанных на рис. 4.2, имеют вид:

;

.

Два уравнения движения содержат четыре неизвестных, поэтому для получения разрешающей системы уравнений необходимо учесть граничные условия, которые для упруго-массовой системы представленной на рис. 4.2, имеют вид:

; .

Окончательно получаем следующую систему линейных дифференциальных уравнений относительно д вух неизвестных q₁, q₂:

(4.2.1)

Определение собственных частот и форм. Решение системы (4.2.1) ищем в виде (3.2.1)

(4.2.2)

где l_i – амплитуда колебаний; p – собственная частота колебаний; j – фазовый угол.

После подстановки (4.2.2) в (4.2.1) получим уравнения форм колебаний

(4.2.3)

Из уравнений (4.2.3) получим матрицы масс и жесткости:

Частотное уравнение имеет следующий вид:

. (4.2.4)

Из выражения (4.2.4) получаем биквадратное уравнение относительно собственной частоты р, которое в нормальном виде приводится ниже:

(4.2.5)

Подставив в (4.2.5) значения жесткостей и масс, получим

. (4.2.6)

Решая биквадратное уравнение (4.2.6) и отбрасывая отрицательные значения, получим величины собственных частот:

p₁ =4289 р/с = 682,6 Гц;

p₂ =10010 р/с = 1594,0 Гц

Как следует из уравнения форм (4.2.3), собственные формы колебаний определяются с точностью до константы. Тогда пусть для первой собственной частоты p₁ выполняются равенства:

(4.2.7)

Теперь для определения первой собственной формы достаточно воспользоваться одним уравнением системы (4.2.3), подставив равенства (4.2.7):

.

Аналогично для второй собственной частоты p₂ принимаем:

(4.2.8)

Тогда из уравнения (4.2.3) с учетом равенства (4.2.8) получаем:

.

В результате матрица собственных форм для ротора имеет вид

.