Классификация колебательных процессов и систем

Для успешного решения задач теории колебаний важно провести классификацию колебательных процессов и механических колебательных систем. Такая классификация не может быть точно проведена для реальных физических систем, поэтому она может быть выполнена только для идеализированных систем или математических моделей. Необходимо также отметить, что данную классификацию можно проводить по различным признакам [4,5]. Рассмотрим вначале классификацию колебательных процессов.

По кинематическому принципу колебательные процессы можно классифицировать:

· периодические или непериодические колебания;

· детерминированные или случайные колебания;

· стационарные или нестационарные колебания.

Периодические колебания – это такие колебания, при которых любые значения колеблющейся величины повторяются через равные промежутки времени, называемые периодом колебаний Т. В противном случае – колебания будут непериодическими. Простейшим случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса (1.1.1).

Детерминированные колебания представляют такие колебания, которые описываются детерминированными функциями. Если колебательный процесс описывается случайными функциями, то такие колебания называются случайными.

Стационарными колебаниями называются такие колебания, общие характеристики которых (например, амплитуда, частота, фаза) не меняются во времени. В противном случае колебания называются нестационарными.

По деформационному принципу колебательные процессы разделяются по виду деформации системы, состояние которой описывается данными процессами. В соответствии с этим принципом рассматриваются:

· продольные колебания;

· крутильные колебания;

· поперечные колебания;

· сложные колебания.

При продольных колебаниях в колебательной системе имеют место деформации растяжения-сжатия, при крутильных колебаниях – деформации кручения, при поперечных колебаниях – деформации изгиба, при сложных колебаниях – совместные деформации растяжения-сжатия, кручения, изгиба. Так, например, можно рассматривать изгибно-крутильные колебания.

По типу внешних воздействий, которые вызывают колебания механических систем, колебательные процессы можно классифицировать:

· свободные колебания;

· вынужденные колебания;

· параметрические колебания;

· автоколебания.

Свободные колебания происходят в механической системе при отсутствии переменного внешнего воздействия и поступления энергии извне. Эти колебания обусловлены начальными возмущениями, которые определяются заданными перемещениями и скоростями системы в начальный момент времени. Свободные колебания затухают с течением времени. Вынужденные колебания происходят в механических системах в результате силового или кинематического воздействия, носящего колебательный характер, во время действия внешних факторов. Параметрические колебания происходят в механической системе в результате некоторого начального возбуждения и поддерживаются изменением во времени параметров самой системы. Автоколебания возникают и поддерживаются источником энергии неколебательной природы, причем поступление энергии регулируется самой механической системой.

В колебательных системах возможны процессы, носящие смешанный характер, которые представляют наложение вышеуказанных колебательных процессов, например наложение свободных и вынужденных колебаний.

Классификация колебательных систем также может быть проведена по различным признакам [4,5].

По числу степеней свободы колебательные системы можно классифицировать:

· системы с конечным числом степеней свободы;

· системы с бесконечным числом степеней свободы (континуальные системы).

Число степеней свободы равно количеству независимых координат, однозначно определяющих положение системы в любой момент времени. Число степеней свободы зависит от степени идеализации реальной физической модели. Любая реальная механическая система содержит бесконечное множество степеней свободы. При замене системы с распределенными параметрами (с распределенной массой) на системы с конечным числом степеней свободы распределенная масса заменяется конечным числом сосредоточенных масс, которые соединяются безинерционными деформируемыми связями. На рис.1.2,а представлена стержневая система с распределенными параметрами, совершающая изгибные колебания, а на рис.1.2,б – ее модель с одной степенью свободы. С математической точки зрения колебания систем с конечным числом степеней свободы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, а колебания систем с распределенными параметрами – дифференциальными уравнениями в частных производных.

 

а б

Рисунок 1.2 – Стержневая система:

а- система с распределенными параметрами;

б - модель с одной степенью свободы

 

В зависимости от подвода и отбора энергии в колебательных системах данные системы можно классифицировать:

· консервативные системы;

· неконсервативные системы.

Система называется консервативной, если ее полная механическая энергия при свободных колебаниях остается постоянной. В противном случае система называется неконсервативной. В свою очередь неконсервативные системы делятся на диссипативные, если полная механическая энергия убывает при свободных колебаниях, и автоколебательные, если энергия в систему поступает от источника неколебательной природы, причем поступление энергии регулируется движением самой системы.

По виду дифференциального оператора, описывающего поведение колебательной системы, колебательные системы можно классифицировать:

· линейные системы;

· нелинейные системы;

· стационарные системы;

· нестационарные системы.

Система называется линейной, если она описывается линейным дифференциальным оператором. В противном случае система называется нелинейной. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции. Если дифференциальные уравнения, описывающие поведение колебательной системы, содержат постоянные коэффициенты, то система называется стационарной. В случае, когда данные коэффициенты являются переменными, система называется нестационарной.

По типу влияния внешней среды колебательные системы классифицируются:

· автономные системы;

· неавтономные системы.

Если колебательные процессы в системе развиваются за счет внутренних источников энергии или энергии, сообщенной системе в виде начального вращения, то такая система называется автономной. Остальные системы называются неавтономными. Автономные системы совершают свободные колебания или автоколебания. Частота этих колебаний определяется только системой. Неавтономные системы совершают параметрические или вынужденные колебания с частотой, определяемой частотой внешнего воздействия.