Построение графического изображения собственных форм

Рисунок 4.6 – Собственные формы для крутильных колебаний ротора

 

Пример моделирования изгибных колебаний ротора

Задание:

· построить и определить параметры (массы, податливости) для модели вала при изгибных колебаниях согласно варианту задания;

· получить уравнение изгибных колебаний;

· определить собственные частоты и формы колебаний;

· построить графическое изображение форм;

· определить движение по заданным начальным условиям.

На рис. 4.7,а приводится исходный эскиз осевого сечения ротора, состоящего из четырех участков, имеющих следующие размеры: L₁ = 0,5 м; L₂ = 0,9 м; L₃ = 1,5 м; L₄ = 2,0 м; d₁ = 0,2 м; d₂ = 0,15 м; d₃ = 0,12 м; d₄ = 0,15 м. Физические характеристики материала таковы: модуль упругости E = 2,1×10¹¹ H/м², плотность r =8×10³ кг/м³.

Построение дискретной модели. Необходимо построить двухмассовую дискретную модель для моделирования изгибных колебаний ротора.

Определение масс и центров масс

Задача определения масс и центров масс для двухмассовой модели идентична задаче, решенной для продольных колебаний в п. 4.2. Поэтому приведем значения этих величин:

m ₁ =191, 261 кг, m ₂ = 115, 925 кг;

x _ц1 = 0,416 м, x _ц2 = 1,555 м.

Построенная расчетная схема с учетом того, что граничные условия в данной модели ротора соответствуют схеме шарнирного опирания, приведена на рис. 4.7,б.

Определение податливости.

Для задачи изгиба ротора, более эффективно не определение жесткостей участков между массами (рис. 4.7,б), а вычисление податливости в местах расположения сосредоточенных масс. Воспользуемся интегралом Мора и правилом Верещагина [2] для определения податливости стержня кусочно-непрерывного поперечного сечения. Для этого построим две эпюры моментов от действия единичной перерезывающей силы P ₁ в точке массы m ₁ (рис. 4.7,в) и единичной перерезывающей силы P ₂ в точке массы m ₂ (рис. 4.7,д).

 

Рисунок 4.7 – Построение модели изгибных колебаний ротора

а – эскиз поперечного сечения ротора; б – дискретная модель ротора;

в – эпюра момента от силы Р₁ = 1; г – эпюра момента от силы Р₂ = 1

 

В этом случае, если разбить эпюры моментов на части, соответствующие участкам постоянного поперечного сечения и при этом эпюры моментов на участке будут иметь вид трапеции (прямоугольника или треугольника), то величины податливости в точках приложения перерезывающих сил определяются формулой

, (4.4.1)

где: d_ij – податливость в точке i массы от действия единичной нагрузки в

точке j массы;

l_k – длина k -го участка;

M_i,k-1 – величина момента от единичной нагрузки, приложенной в точке i

массы на правом конце k -го участка;

M_i,k – величина момента от единичной нагрузки, приложенной в точке i

массы на левом конце k -го участка;

J_k – величина экваториального момента поперечного сечения k -го

участка.

Для определения величин моментов на эпюре от действия силы P ₁ в точке массы m ₁ (рис. 4.7,в), найдем реакции в опорах А и В из условий статического равновесия:

(4.4.2)

Решив систему уравнений (4.4.2), получим:

Момент в точке перегиба эпюры моментов от действия силы P ₁ (максимальный момент) определяем по формуле

Теперь величины остальных моментов, показанных на рис. 4.7,в несложно получить из условия пропорциональности сторон подобных треугольников:

Моменты на опорах равны нулю, т.е.

Для получения величин моментов на эпюре от действия силы P ₂ в точке массы m ₂ (рис. 4.7,г), аналогичным способом определим реакции в опорах А и В из условий статического равновесия:

. (4.4.3)

Из решения системы уравнений (4.4.3) получим:

Момент в точке перегиба эпюры моментов от действия силы P ₂ (максимальный момент) определим по формуле:

Величины остальных моментов показанных на рисунке 4.7,г получаем из условия пропорциональности сторон подобных треугольников:

Моменты на опорах равны нулю, т.е.

В нашем случае эпюры моментов разбивают на шесть участков (рис. 4.7,б), так как мы имеем четыре участка равного диаметра (см. рис.4.7,а) и две сосредоточенные массы, которым соответствуют точки перегиба на эпюрах моментов (рис. 4.7,в; 4.7,г). Длины и экваториальные моменты поперечного сечения этих участков равны:

Используя выражение (4.4.1) и полученные величины моментов, длин и экваториальных моментов поперечного сечения, получаем выражения для необходимой податливости:

(4.4.4)

В силу теоремы Кастильяно о равенстве взаимных податливости имеем

(4.4.5)

Из выражения (4.4.4), с учетом (4.4.5) получим величины податливости:

Получение уравнений свободных изгибных колебаний ротора. На рис.4.8 изображена полученная дискретная модель изгибных колебаний ротора со степенями свободы y ₁, y ₂. Всего данная модель имеет две степени свободы, которые соответствуют сосредоточенным массам m ₁, m ₂.

Рисунок 4.8 –Дискретная модель ротора при изгибных колебаниях

 

Для получения уравнений свободных колебаний воспользуемся обратным способом составления уравнений движений (см. п. 2.3), при этом выражение (2.3.19) в обозначениях, принятых на рис. 4.8, имеет вид

. (4.4.6)

Для случая модели изгибных колебаний ротора предложенной на рис. 4.8, получаем систему двух дифференциальных уравнений:

(4.4.7)

Определение собственных частот и форм. Решение системы (4.4.7) представляем в следующем виде:

, (4.4.8)

где l _i – амплитуда колебаний;

p – собственная частота колебаний;

j – фазовый угол.

Подставив решение (4.4.8) в систему (4.4.7), получим систему уравнений для определения форм колебаний

(4.4.9)

Частотное уравнение в данном случае имеет вид

, (4.4.10)

где матрицы податливости D и масс M получают из уравнений (4.4.9):

(4.4.11)

Из выражения (4.4.10) с учетом (4.4.11) получаем биквадратное уравнение относительно собственной частоты р:

. (4.4.12)

Подставив в (4.4.12) значение величин податливости и масс, получим:

. (4.4.13)

Решая уравнение (4.4.13) и отбросив отрицательные значения, получим величины собственных частот:

p ₁ = 422,65 р/с = 67,30 Гц;

p ₂ = 1367,41 р/с = 217,74 Гц.

Так как собственные формы колебаний определяются с точностью до константы, пусть для первой собственной частоты выполняются равенства:

(4.4.14)

Теперь для определения первой собственной формы достаточно воспользоваться одним уравнением системы (4.4.9). Учитывая равенства (4.4.14), получаем

.

Аналогично для второй собственной частоты p ₂ принимаем:

(4.4.15)

Тогда из уравнения (4.4.9) с учетом равенства (4.4.15) получим

.

В результате матрица собственных форм для изгибных колебаний ротора имеет вид

.

Нормировка собственных форм. Используя полученные ранее матрицу масс и вектора собственных форм, по формуле (4.3.13) получим для двух форм два нормировочных множителя:

k₁ =19,947, k₂ =19,193.

Векторы нормированных собственные форм связаны с исходными векторами собственных форм через выражение (4.3.14). В результате матрица нормированных собственных форм для изгибных колебаний ротора имеет вид

Построение графического изображения собственных форм. На рис. 4.9 приведено графическое изображение собственных форм для первых двух собственных частот изгибных колебаний ротора. Величины амплитуд для форм даны в нормированном виде. Как мы видим первая форма не имеет узла, а вторая имеет один узел, что соответствует теоретическим представлениям.

Рисунок 4.9 – Собственные формы изгибных колебаний ротора

 

Определение движения по начальным условиям. Для ротора заданы следующие начальные условия:

(4.4.16)

Решение системы (4.4.7), описывающей свободные колебания, имеет вид (4.4.8). С учетом того, что искомые амплитуды l _i связаны с собственными формами соотношениями (4.4.14) и (4.4.15), а также равенства общего решения сумме частных, получаем решение в следующем виде:

(4.4.17)

Данное решение (4.4.17) можно записать в другом виде без угла сдвига по фазе a_j:

(4.4.18)

Используя начальные условия (4.4.16) в решении (4.4.18) получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными константами B_j и C_j (j =1,2). Так как начальные перемещения равны нулю, то константы C_j = 0 и остается система из двух уравнений:

(4.4.19)

из которой находим константы B_j:

;

.

Уравнения движения для нашей системы окончательно принимают следующий вид:

или

 

 

Варианты заданий для моделирования колебаний ротора

На рис. 4.10 представлены четыре варианта конструкции ротора с разными типами подшипников – короткими и длинными, открытыми и закрытыми, которые определяют разные граничные условия. Там же указан тип дискретной модели, которую необходимо построить для моделирования продольных, крутильных или изгибных колебаниях. Порядок действий при расчете колебаний этих систем приведен в пп. 4.2, 4.3, 4.4. Варианты материалов ротора приведены в табл. 1, а в табл. 2 – варианты геометрических размеров роторов изображенных на рис. 4.10.

Выбор задания производится на основе кода варианта задания, который выдает преподаватель. Например, код варианта задания "В8.Сталь–1" означает:

· эскиз поперечного сечения модели ротора и типы дискретных моделей взять на рис. 4.10, вариант В;

· геометрические характеристики модели приведены в табл. 2, в части "Для вариантов А,В,С", в строке № 8;

· характеристики материала должны быть взяты из табл. 1 для названия "Сталь-1".

 

Таблица 1 – Характеристики материалов для моделей роторов

Название	Модуль упругости Е, Н/м^2	Плотность r,кг/м^3	Модуль сдвига G, Н/м^2
Сталь – 1	2,1×10^11	8,0×10^3	8,0×10^10
Чугун	1,2×10^11	7,2×10^3	5,0×10^10
Алюминий	7,2×10^10	2,7×10^3	2,7×10^10
Сталь – 2	2,0×10^11	7,8×10^3	7,6×10^10

Вариант А
	Граничные условия: 1-й подшипник – ; 2-й подшипник –   Типы дискретных моделей: 1) продольные колебания –3-массовая; 2) крутильные колебания –3-массовая; 3) изгибные колебания –2-массовая.

 

Вариант B
	Граничные условия: 1-й подшипник – ; 2-й подшипник –   Типы дискретных моделей: 1) продольные колебания –2-массовая; 2) крутильные колебания –3-массовая; 3) изгибные колебания –2-массовая.

 

Вариант C
	Граничные условия: 1-й подшипник – ; 2-й подшипник –   Типы дискретных моделей: 1) продольные колебания –2-массовая; 2) крутильные колебания –3-массовая; 3) изгибные колебания –2-массовая.

 

Вариант D
	Граничные условия: 1-й подшипник – ; свободный край – Типы дискретных моделей: 1) продольные колебания –3-массовая (1 от диска); 2) крутильные колебания –3-массовая; 3) изгибные колебания –2-массовая. .

 

Рисунок 4.10 – Варианты моделей ротора

Таблица 2 – Геометрические параметры для моделей роторов

№	L 1	L 2	L 3	L 4	h	d 1	d 2	d 3	d 4
Для вариантов моделей А, B, C
	0,4	0,6	0,8	1,0	–	0,1	0,12	0,14	0,12
	0,2	0,6	0,8	1,0	–	0,12	0,1	0,14	0,12
	0,3	0,6	0,8	1,0	–	0,1	0,12	0,16	0,12
	0,1	0,3	0,8	1,0	–	0,12	0,1	0,16	0,12
	0,25	0,45	0,95	1,2	–	0,12	0,1	0,14	0,16
	0,25	0,4	0,7	1,2	–	0,1	0,12	0,14	0,15
	0,5	0,65	0,9	1,2	–	0,12	0,16	0,14	0,13
	0,25	0,35	0,75	1,2	–	0,14	0,16	0,14	0,12
	0,2	0,6	0,8	1,5	–	0,2	0,35	0,3	0,25
	0,2	0,3	0,9	1,5	–	0,2	0,15	0,3	0,25
	0,2	0,6	0,9	1,5	–	0,1	0,35	0,2	0,15
	0,5	0,7	0,95	1,5	–	0,2	0,24	0,2	0,25
	0,8	1,2	1,6	2,0	–	0,2	0,25	0,3	0,25
	0,4	0,8	1,2	2,0	–	0,2	0,25	0,35	0,2
	0,2	0,6	1,6	2,0	–	0,25	0,35	0,3	0,2
	0,5	0,9	1,7	2,0	–	0,25	0,35	0,3	0,25
Для варианта модели D
	0,1	0,2	0,3	–	0,002	0,1	0,09	0,08	0,25
	0,05	0,1	0,3	–	0,0025	0,1	0,09	0,08	0,3
	0,15	0,2	0,3	–	0,002	0,1	0,08	0,06	0,25
	0,1	0,15	0,3	–	0,0025	0,1	0,08	0,07	0,3
	0,3	0,5	0,6	–	0,0025	0,12	0,1	0,08	0,35
	0,4	0,55	0,6	–	0,002	0,12	0,09	0,07	0,4
	0,15	0,35	0,6	–	0,0015	0,15	0,11	0,06	0,35
	0,35	0,5	0,6	–	0,0025	0,15	0,12	0,09	0,4
	0,3	0,6	0,8	–	0,0025	0,16	0,12	0,08	0,35
	0,4	0,55	0,8	–	0,002	0,12	0,09	0,08	0,4
	0,25	0,45	0,8	–	0,002	0,18	0,12	0,09	0,35
	0,35	0,7	0,8	–	0,0025	0,15	0,1	0,07	0,4