Построение математических моделей систем с конечным числом степеней свободы

Для определения динамических характеристик (амплитуд, скоростей, ускорений, динамических напряжений) машин и конструкций необходимо представлять их в приведенном виде, т.е. в виде расчетных схем. Это требует замены реально континуальной системы дискретной, представляющей собой систему взаимосвязанных масс и жесткостей.

В состав различных машин и механизмов входят звенья, обладающие различными физическими свойствами. Так, об отдельных звеньях может быть заранее известно, что их деформации в процессе работы незначительны, т.е. их упругими свойствами можно пренебречь и считать твердым недеформируемым телом, характеризуемым приведенной массой в центре инерции. Звенья, масса которых по сравнению с другими звеньями пренебрежимо мала, можно считать дискретными участками жесткости, лишенными массы. Обычно в практике расчетов такими звеньями выбирают элементы машин, масса либо жесткость которых в 100-1000 раз меньше, чем у остальных элементов.

Однако наибольший интерес при дискретизации с целью расчета собственных частот и форм представляют деформируемые элементы большой протяженности: валы, пластины, оболочки, звенья ферм и т.п. Такие конструктивные элементы нельзя представить одним параметром – массой либо жесткостью. В математической модели они описываются уравнениями движения системы дискретных масс и жесткостей, приближенно моделирующих дискретную систему [8,9]. Точность приближенного описания растет с увеличением числа моделирующих масс и жесткостей.

В современных машинах получили наибольшее распространение валы переменного поперечного сечения. При расчете колебаний необходимо заменить исходную конструкцию кусочно-непрерывного ротора механической моделью, состоящей из дискретных масс, связанных упругими звеньями. Это означает, что реальная система будет представлена как система участков безмассовой жесткости и сосредоточенных масс с бесконечно большой жесткостью. Такое представление о механизме колебаний естественно является приближенным, но при стремлении числа участков разбиения к бесконечности можно показать, что это решение будет стремится к точному [1]. Приведенные массы можно определять как из равенства кинетической энергии приводимой и приведенной масс, так и из равенства статических моментов. Приведенные жесткости определяют из равенства потенциальных энергий исходной упругой системы и приведенной.

Приведение масс

Пусть элемент исходной системы состоит из n масс, которые обозначим через m ₁, m ₂, …, m_n, а их скорости движения – через v ₁, v ₂, …, v_n. Условием динамического приведения масс является равенство кинетических энергий приведенной массы и всех масс элемента:

, (1.3.1)

откуда

, (1.3.2)

где m₀ – значение приведенной массы; v₀ – скорость в точке приведенной массы.

Таким образом, приведенная масса равна сумме произведений приводимых масс на квадраты передаточных отношений i_k, где под передаточным отношением понимается

. (1.3.3)

При приведении элемента конструкции с распределенной массой тоже применим принцип равенства кинетической энергии. Кинетическая энергия i -го элементарного участка длинной dx c равномерно распределенной массой равна

(1.3.4)

где F_i – площадь поперечного сечения i -го участка, g – удельная плотность материала.

Проведя суммирование по участкам и интегрирование по их длинам выражения (1.3.4), получим:

(1.3.5)

где n – число участков, L_i – длина i -го участка.

Условная кинетическая энергия приведенной массы m₀ равна:

(1.3.6)

Окончательно получаем коэффициент приведенной массы по формуле

. (1.3.7)

Данный коэффициент соответствует передаточному отношению для системы дискретных масс и позволяет получить приведенную массу для систем, где значение скорости заранее известно либо вычисляется несложно.

Однако для колебательных континуальных систем, в которых преобладают изгибные, продольные или крутильные деформации, вычисление скорости в произвольной точке проблематично. В случае построения эквивалентной дискретной модели с n степенями свободы (рис. 1.3,б) для континуальной системы типа вала (рис. 1.3,а) проблемой является не только определение скоростей в точках сосредоточения масс, но и положение мест их сосредоточения. Поэтому в этих случаях используют систему статического приведения масс на основе равенства статических моментов. Это особенно эффективно, когда механическое тело – вал кусочно-постоянного поперечного сечения разбивается на участки равной длины, которые заменяются сосредоточенной в центре статической инерции массой (рис. 1.3). Преимущество статического подхода в том, что он дает ответ на два вопроса – какова величина массы и где она будет расположена.

Рисунок 1.3 – Схема приведения массы для консольной балки кусочно-

постоянного поперечного сечения

 

Алгоритм статического подхода следующий:

· континуальный вал длинной L условно разбивают на участки равной длины в соответствии с количеством дискретных масс – n, которыми он будет моделироваться (рис.1.3,а):

L ₁ = L ₂ = ¼ = L_{n -1}= L_n = L / n; (1.3.8)

· вычисляют массы m_ij для k частей вала (j = 1¸k) постоянного поперечного сечения для i -го участка длиной L_i и координаты центров данной массы x_цij, которые помещаются в геометрический центр части;

· вычисляют массы m_i для i -го участка на основе предшествующего шага (рис.1.3,б):

; (1.3.9)

· записывают выражение равенства статического массового момента для i -го участка относительно неизвестной координаты центра i -й массы x_цi:

; (1.3.10)

· на основе выражений (1.3.9) и (1.3.10) получаем величину координаты центра i -й массы (рис.1.3,б):

. (1.3.11)

При данном подходе в отличие от динамического у нас нет потери массы, что позволяет при стремлении числа масс к бесконечности получать точную модель. Однако при небольшом числе масс данный подход, очевидно, будет давать завышенные значения частот, перемещений, скоростей и других динамических характеристик.

Приведение жесткостей

Под жесткостью элемента механической системы понимают отношение нагрузки к вызываемой ею деформации. Для простейших деформаций вида растяжения – сжатия и кручения вала ее определяют следующим образом:

· жесткость стержня, работающего на растяжение - сжатие:

(1.3.12)

· жесткость закручиваемого стержня:

, (1.3.13)

где E – модуль упругости, а G – модуль сдвига;

· жесткость элемента, работающего на изгиб, т.е. отношение силы к прогибу в точке приложения силы, зависит от характера заделки концов элемента, его размеров и положения силы.

Поэтому в расчетной практике в этом случае удобней пользоваться величиной обратной жесткости, называемой податливостью:

. (1.3.14)

Податливость устанавливает связь между деформацией q и силой Q следующего вида:

. (1.3.15)

В состав упругого механизма могут быть включены элементы сложной структуры, в которой реализованы параллельные (рис. 1.4,а) или последовательные (рис. 1.4,б) соединения упругих участков.

Рисунок 1.4 – Схемы соединения жесткостей:

а – параллельное соединение; б – последовательное соединение

 

Приведенная жесткость определяется из условия равенства потенциальной энергии приведенного упругого элемента и суммы потенциальных энергий упругих участков элемента сложной структуры. При последовательном соединении упругих участков с жесткостями С ₁ и С ₂ (рис. 1.4,б) равенство указанных потенциальных энергий дает

Þ . (1.3.16)

Из равенства (1.3.16) с учетом (1.3.15) и (1.3.14) получим, что при последовательном соединении складываются податливости:

Þ . (1.3.17)

Для упругого элемента, состоящего из последовательно соединенных n частей, выражение (1.3.17) имеет вид

. (1.3.18)

При параллельном соединении упругих частей с жесткостями С ₁ и С ₂ (рис. 1.4,а), перемещения этих частей q ₁, q ₂ одинаковы:

q ₁= q ₂= q (1.3.19)

Поэтому из равенства потенциальных энергий с учетом (1.3.19) имеем:

Þ С = С ₁+ С ₂ (1.3.20)

А для упругого элемента состоящего из параллельно соединенных n частей выражение (1.3.20) имеет вид:

С = С ₁+ С ₂+¼+ С_n (1.3.21)

 

Контрольные вопросы

1. Какие существуют основные принципы классификации колебательных процессов и колебательных систем?

2. Что общее у вынужденных колебаний и автоколебаний, свободных и параметрических колебаний, и в чем их отличие?

3. Каковы основные принципы построения дискретных моделей?

4. Привести алгоритм определения сосредоточенных масс дискретной модели.

5. Привести алгоритм определения приведенных жесткостей дискретной модели.

2.Уравнения малых колебаний систем с КЧСС относительно

положения устойчивого равновесия

2.1.Основные гипотезы и определения

Системы и их связи

Совокупность связанных между собой материальных точек (или тел) называется механической системой. Число материальных точек, входящих в любое тело конечных размеров, необходимо считать бесконечно большим. Однако предположим, что в состав механической системы входит конечное число материальных точек, которое может быть сколь угодно большим. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N точечных масс m_i , положение которых в декартовой системе координат задается (x_i y_i z_i) или вектором (Рис.2.1).

Рисунок 2.1 – Система N материальных точек

Пусть на положения и скорости точек системы наложены ограничения геометрического или кинематического характера, называемые связями. Эти ограничения осуществляются какими-либо другими материальными телами. Предполагается, что вне зависимости от способа реализации связей их действия на систему задаются силами, приложенными к материальным точкам и называемыми реакциями связей. Главный вектор всех реакций связей, действующих на i -ую массу обозначим (Рис.2.1). Обычно к связям можно отнести различного рода закрепления системы:

· Гладкая поверхность. Препятствует поступательному перемещению тела внутрь поверхности по нормали к ней. Реакция представляет собой силу, которая направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в сторону от связи.

· Идеальная нить. Препятствует поступательному перемещению тела вдоль нити от точки подвеса. Реакция идеальной нити представляет собой силу, которая направлена по линии нити в сторону связи.

· Цилиндрический неподвижный шарнир. Препятствует поступательному перемещению тела в плоскости, перпендикулярной его оси. Реакция представляется двумя составляющими силы по осям координат в плоскости, перпендикулярной оси шарнира.

· Цилиндрический подвижный шарнир. Препятствует поступательному перемещению тела перпендикулярно плоскости установки шарнира. Реакция представляется одной составляющей силы, перпендикулярной плоскости установки шарнира.

· Заделка, защемление. Препятствует поступательному перемещению в любом направлении и повороту вокруг любой оси. Реакция в плоском случае представляется двумя составляющими силы и парой сил.

Предполагается, что связи могут быть заданы аналитическими уравнениями, которым должны удовлетворять координаты и скорости точек системы:

. (2.1.1)

В задачах механики реакции связей являются неизвестными. Задаются или описываются лишь способы реализации связей. Полное определение реакций связей, т.е. определение их точек приложения, направления и величины, производится из уравнения движения системы.