Нахождение характеристического уравнения замкнутой системы

Представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде:

, (1)

где и b_m…b₀ - коэффициенты, выраженные через параметры (коэффициенты передач и постоянные времени) динамических звеньев исходной системы n > m.

В результате преобразований передаточной функции разомкнутой системы получаем:

(2)

Характеристическое уравнение замкнутой системы записывается как сумма числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы.

(3)

 

4. Выделение области устойчивости замкнутой системы в плоскости параметров (постоянная времени тахогенератора II), (коэффициент электромеханического преобразователя) (Д–разбиение по двум параметрам)

Первое качество, по которому оценивают свойства системы автоматического управления (САУ), это ее устойчивость.

Система устойчива, если с течением времени выходная величина системы будет стремиться к вынужденной составляющей (), т.е. будет условно управляемый сигнал.

При изменении какого–либо параметра системы может возникнуть неустойчивость, что влияет на качество регулирования системы, на конкурентоспособность. Поэтому значения коэффициента передачи и постоянной времени должны выбираться с точки зрения обеспечения устойчивости системы регулирования скорости.

Весьма часто возникает необходимость исследовать влияние на устойчивость системы тех или иных ее параметров. Обычно рассматривают влияние таких параметров, которые могут быть изменены, например коэффициентов передачи и постоянных времени усилительно-преобразовательных элементов.

Устойчивость – необходимое, но не достаточное условие работоспособности системы.

Произведем исследование устойчивости системы в пространстве параметров D - разбиения. Интересующие нас параметры, , входят в характеристическое уравнение линейно. Поэтому уравнение (3) может быть представлено в виде:

tQ(s) + mP(s) – R(s) = 0, (4)

где

t – постоянная времени тахогенератора II;

m – неизвестный коэффициент электромеханического преобразователя.

Обозначим заданные неизвестные: ; .

Тогда уравнение (3) будет представлено в виде:

Приведем последнее выражение к виду (4):

Далее, воспользуемся критерием устойчивости Михайлова. Этот критерий основан на построении годографа Михайлова – кривой, которую описывает конец вектора D (j w)на комплексной плоскости при изменении w от 0 до ¥. Вектор D (j w)получается из характеристического уравнения замкнутой системы при подстановке s=jw, где , w - круговая частота гармонического выходного сигнала.

Формулировка критерия устойчивости Михайлова: Для устойчивости системы n -го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении w от 0 до ¥ результирующий угол поворота вектора Михайлова , где n -порядок дифференциального уравнения, которым описывается система управления.

Свойства годографа Михайлова говорят о том, что:

ü если годограф Михайлова имеет плавную спиралевидную форму, последовательно обходит в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль и уходит в ¥ в n-м квадранте параллельно соответствующей оси, то система устойчива (рис. 3, а)

ü если система находится на границе колебательной устойчивости, то годограф Михайлова проходит через начало координат (рис.3, б).

ü

Рис. 3. Годографы Михайлова систем шестого порядка

а) устойчивая система;

б) система на границе колебательной устойчивости

Ориентируясь на нахождение границы колебательной устойчивости с использованием частотного критерия устойчивости Михайлова, в предыдущем уравнении вместо оператора S подставляем S=jw и представляем вещественную и мнимую части характеристического уравнения в виде

где ;

w – круговая частота гармонического входного сигнала.

Эти два уравнения соответственно вещественная и мнимая части преобразованного характеристического уравнения. Решаем их относительно t и m с использованием определителей:

; (5)

, (6)

Где

Подставляя численные значения известных параметров имеем:

Равенства (5) и (6) определяют τ и μ как функции от ω. Следовательно, при каждом значении ω=ω_i можно вычислить значения τ_i и μ_i и нанести соответствующую точку на плоскость параметров τ и μ. Геометрическое место этих точек при изменении ω от - до + является кривой D – разбиения плоскости (τ, μ), где τ откладывается по оси абсцисс и μ по оси ординат. Расчет τ(ω) и μ(ω) при изменении круговой частоты выходного гармонического сигнала ω от 10^-4 до 10⁴ производим на ЭВМ.

Студент Obodnikova, 5/5

Порядок системы 5

Коэффициенты полиномов

p1 p2 q1 q2 r1 r2

0 9.21E+0001 0.00E+0000 0.00E+0000 0.00E+0000 0.00E+0000 0.00E+0000

1 0.00E+0000 2.55E+0001 0.00E+0000 0.00E+0000 0.00E+0000 -1.00E+0000

2 -3.00E+0002 0.00E+0000 -1.00E+0000 0.00E+0000 1.15E+0000 0.00E+0000

3 0.00E+0000 -3.44E+0002 0.00E+0000 -1.15E+0000 0.00E+0000 4.95E-0002

4 1.49E+0001 0.00E+0000 4.95E-0002 0.00E+0000 -4.58E-0006 0.00E+0000

5 0.00E+0000 0.00E+0000 0.00E+0000 0.00E+0000 0.00E+0000 -1.98E-0007

Коэффициенты полиномов определителей

степень D D1 D2

0 0.000000E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000

1 0.000000E+0000 9.213750E+0001 0.000000E+0000

2 0.000000E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000

3 7.998244E+0001 -2.753465E+0002 1.000000E+0000

4 0.000000E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000

5 1.262992E+0000 -3.636064E+0002 1.212021E+0000

6 0.000000E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000

7 5.179857E-0012 -7.336206E-0001 2.445402E-0003

8 0.000000E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000

9 0.000000E+0000 2.940300E-0006 -9.801000E-0009

10 0.000000E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000

Положительных корней в заданном диапазоне частот нет.

W T M D

--------------------------------------------------------

1.0E-0004 1.151972E+0008 1.250274E-0002 7.998244E-0011

5.0E-0001 2.580717E-0002 1.623047E-0002 1.004331E+0001

1.0E+0000 -6.740548E+0000 2.725942E-0002 8.127006E+0001

1.5E+0000 -1.275395E+0001 4.515321E-0002 2.795888E+0002

2.0E+0000 -2.021082E+0001 6.923865E-0002 6.803813E+0002

2.5E+0000 -2.915433E+0001 9.867538E-0002 1.373239E+0003

3.0E+0000 -3.937832E+0001 1.325342E-0001 2.466700E+0003

3.5E+0000 -5.062444E+0001 1.698716E-0001 4.092983E+0003

4.0E+0000 -6.263411E+0001 2.097921E-0001 6.412726E+0003

4.5E+0000 -7.517098E+0001 2.514920E-0001 9.619721E+0003

5.0E+0000 -8.803172E+0001 2.942858E-0001 1.394565E+0004

5.5E+0000 -1.010503E+0002 3.376155E-0001 1.966483E+0004

6.0E+0000 -1.140977E+0002 3.810487E-0001 2.709892E+0004

6.5E+0000 -1.270791E+0002 4.242677E-0001 3.662170E+0004

7.0E+0000 -1.399292E+0002 4.670538E-0001 4.866378E+0004

7.5E+0000 -1.526074E+0002 5.092714E-0001 6.371734E+0004

8.0E+0000 -1.650930E+0002 5.508506E-0001 8.234087E+0004

8.5E+0000 -1.773804E+0002 5.917725E-0001 1.051639E+0005

9.0E+0000 -1.894754E+0002 6.320561E-0001 1.328917E+0005

9.5E+0000 -2.013919E+0002 6.717474E-0001 1.663102E+0005

1.0E+0001 -2.131494E+0002 7.109110E-0001 2.062904E+0005

2.6E+0002 -2.888831E+0004 9.629438E+0001 1.502018E+0012

5.1E+0002 6.125988E+0003 -2.041996E+0001 4.358713E+0013

7.6E+0002 4.408445E+0005 -1.469482E+0003 3.202710E+0014

1.0E+0003 1.829628E+0006 -6.098759E+0003 1.327506E+0015

1.3E+0003 4.945082E+0006 -1.648361E+0004 4.011195E+0015

1.5E+0003 1.077806E+0007 -3.592685E+0004 9.915207E+0015

1.8E+0003 2.053763E+0007 -6.845875E+0004 2.132940E+0016

2.0E+0003 3.565110E+0007 -1.188370E+0005 4.143765E+0016

2.3E+0003 5.776399E+0007 -1.925466E+0005 7.446592E+0016

2.5E+0003 8.874001E+0007 -2.958000E+0005 1.258302E+0017

2.8E+0003 1.306611E+0008 -4.355369E+0005 2.022849E+0017

3.0E+0003 1.858272E+0008 -6.194240E+0005 3.120703E+0017

3.3E+0003 2.567567E+0008 -8.558556E+0005 4.650615E+0017

3.5E+0003 3.461858E+0008 -1.153953E+0006 6.729156E+0017

3.8E+0003 4.570691E+0008 -1.523564E+0006 9.492207E+0017

4.0E+0003 5.925791E+0008 -1.975264E+0006 1.309643E+0018

4.3E+0003 7.561064E+0008 -2.520355E+0006 1.772077E+0018

4.5E+0003 9.512597E+0008 -3.170866E+0006 2.356791E+0018

4.8E+0003 1.181866E+0009 -3.939552E+0006 3.086577E+0018

5.0E+0003 1.451969E+0009 -4.839896E+0006 3.986899E+0018

5.3E+0003 1.765832E+0009 -5.886106E+0006 5.086040E+0018

5.5E+0003 2.127935E+0009 -7.093117E+0006 6.415253E+0018

5.8E+0003 2.542977E+0009 -8.476591E+0006 8.008905E+0018

6.0E+0003 3.015875E+0009 -1.005292E+0007 9.904630E+0018

6.3E+0003 3.551761E+0009 -1.183920E+0007 1.214347E+0019

6.5E+0003 4.155988E+0009 -1.385329E+0007 1.477005E+0019

6.8E+0003 4.834126E+0009 -1.611375E+0007 1.783267E+0019

7.0E+0003 5.591961E+0009 -1.863987E+0007 2.138351E+0019

7.3E+0003 6.435499E+0009 -2.145166E+0007 2.547876E+0019

7.5E+0003 7.370962E+0009 -2.456987E+0007 3.017876E+0019

7.8E+0003 8.404790E+0009 -2.801597E+0007 3.554816E+0019

8.0E+0003 9.543641E+0009 -3.181214E+0007 4.165605E+0019

8.3E+0003 1.079439E+0010 -3.598130E+0007 4.857613E+0019

8.5E+0003 1.216413E+0010 -4.054709E+0007 5.638686E+0019

8.8E+0003 1.366016E+0010 -4.553388E+0007 6.517159E+0019

9.0E+0003 1.529003E+0010 -5.096676E+0007 7.501872E+0019

9.3E+0003 1.706146E+0010 -5.687154E+0007 8.602184E+0019

9.5E+0003 1.898243E+0010 -6.327477E+0007 9.827991E+0019

9.8E+0003 2.106111E+0010 -7.020369E+0007 1.118974E+0020

 

По полученным значениям строим кривую D – разбиения в плоскости параметров τ и μ (рис. 4).

Подставляя в характеристическое уравнение S = jw, мы подразумевали, что это соответствует границе колебательной устойчивости, т.е. при выборе параметров, значения которых лежат на это кривой, будут наблюдаться незатухающие колебания выходных величин. Чтобы выделить область устойчивости в плоскости t – m, штрихуют кривую Д–разбиения. Для этого на кривой указывают направление возрастания частоты w. При движении в этом направлении при D(w) > 0 кривая штрихуется двойной штриховкой слева, а при D(w) < 0 кривая штрихуется двойной штриховкой справа (см. рис.4).

Нахождение особых прямых

При некоторой частоте w получаем или . Тогда система уравнений вырождается в одно уравнение особой прямой. Также эти особые прямые можно найти, приравняв коэффициент a_n к нулю (a_n = 0) и свободный член характеристического уравнения a₀ (a₀ = 0).

Приравнивая a_n к нулю, получаем:

. Это выражение не содержит параметры τ и μ, а значит и не дает выражение для особой прямой.

Приравнивая свободный член характеристического уравнения a₀ к нулю, получаем:

Отсюда следует, что .

Таким образом, имеем только одну особую прямую , которая не штрихуется т.к. кривая D-разбиения пересекает ее дважды и определитель не меняет знак.

Рис. 4. Кривая D – разбиения в плоскости параметров τ и μ

Из области подозрительной на устойчивость для дальнейшего рассмотрения выбираем точку с координатами: