Определение запасов устойчивости системы по амплитуде и фазе с помощью простого критерия устойчивости Найквиста.

Качество работы любой системы регулирования, определяется быстродействием, запасами по амплитуде и фазе и величиной установившейся ошибки, равной разности между требуемым значением регулируемой величины, определяемым входным управляющим сигналом и ее действительным значением.

Знание мгновенного значения ошибки в течение всего времени работы регулируемого объекта позволяет наиболее полно судить о свойствах системы регулирования. Однако в действительности, вследствие случайности задающего и возмущающего воздействия, такой подход сложно реализовать. Поэтому приходится оценивать качество системы регулирования по некоторым ее свойствам, проявляющимся при различных типовых воздействиях. Для определения качественных показателей системы регулирования в этом случае используются так называемые критерии качества.

В данной главе осуществлена оценка качества проектируемой системы управления, а именно: по простому и логарифмическому критериям устойчивости Найквиста произведена оценка запасов устойчивости системы по амплитуде и фазе; в результате анализа переходной характеристики системы (ее реакция на единичный ступенчатый сигнал), найдены показатели быстродействия системы управления: время переходного процесса, величина перерегулирования, показатель колебательности; по коэффициентам ошибок произведена оценка точности проектируемой САУ.

Устойчивость выходных параметров необходимое, но не достаточное условие. Мы выбираем точку из области, подозрительной на устойчивость (см. п.4) исходя из обеспечения устойчивости, но, чтобы система была конкурентоспособной, необходимо обеспечить запасы по устойчивости, время переходного процесса (быстродействие), величину перерегулирования, показатели колебательности.

По определенным ранее данным рассчитываются амплитудно-фазовая и логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкнутой системы, а также вещественная частотная характеристика замкнутой системы.

Для расчета на ЭВМ представим частотную передаточную функцию разомкнутой системы W(jw) в виде

, (7)

,где A(w), B(w), C(w), D(w) – соответствующие полиномы с числовыми коэффициентами при w.

Приведя к требуемому виду, найдем необходимые для расчета коэффициенты:

Подставляя в выражения для A,B,C,D значения параметров из задания, получаем:

Необходимо определить запасы устойчивости по амплитуде и фазе, по критерию Найквиста, найти переходную характеристику по вещественной – частотной характеристике замкнутой системы. Для этого необходимо по исходным данным, вводимым в ЭВМ выразить вещественную частотную характеристику разомкнутой системы, МЧХ разомкнутой системы, амплитудную логарифмическую характеристику разомкнутой системы, ФЧХ разомкнутой системы через исходные данные А(w), В(w), С(w), D(w).

Использование ЭВМ облегчает задачу представления передаточной функции в виде и вычисления вещественной частотной характеристики замкнутой системы .

В результате расчета на ЭВМ выдаются: таблица значений вещественной U(w) и мнимой V(w) частотных характеристик разомкнутой системы; – амплитудная логарифмическая характеристика разомкнутой системы; j (w) – фазовая характеристика разомкнутой системы; lg w; Р (w) – вещественная частотная характеристика замкнутой системы.

Выразим , , , j(w) и Р(w) через введенные коэффициенты A(w), B(w), C(w), D(w). Для этого избавляемся от мнимого слагаемого в числителе, домножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число :

Далее выделяем мнимую и вещественную части в полученном выражении:

Из этого выражения получаем, что

,

,

причем , а .

Численные значения Re(W(iw)) и Im(W(iw)) при изменении ω от 10^-4 до 10⁴ определяем с помощью ЭВМ.

 

 

 

Студент Obodnikova, 5/5

Порядок системы 5

Коэффициент астатизма системы 0

Коэффициенты полиномов

n A B C D

---------------------------------------------------------------------

0 1.151719E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000

1 0.000000E+0000 1.949063E-0001 0.000000E+0000 1.124031E+0000

2 0.000000E+0000 0.000000E+0000 -4.895500E+0000 0.000000E+0000

3 0.000000E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000 -4.343827E+0000

4 0.000000E+0000 0.000000E+0000 1.856543E-0001 0.000000E+0000

5 0.000000E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000 1.980000E-0007

***** Re(w)=R/Z Im(w)=I/Z *****

n R Z I

-----------------------------------------------------

0 0.000000E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000

1 0.000000E+0000 0.000000E+0000 -1.294568E+0000

2 -5.419158E+0000 1.263446E+0000 0.000000E+0000

3 0.000000E+0000 0.000000E+0000 4.048703E+0000

4 -6.328174E-0001 1.420073E+0001 0.000000E+0000

5 0.000000E+0000 0.000000E+0000 3.618496E-0002

6 3.859144E-0008 1.705109E+0001 0.000000E+0000

7 0.000000E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000

8 0.000000E+0000 3.446581E-0002 0.000000E+0000

9 0.000000E+0000 0.000000E+0000 0.000000E+0000

10 0.000000E+0000 3.920400E-0014 0.000000E+0000

W Lg(w) Re(w) Im(w)

L(w) F(w)*57.3 P(w)

----------------------------------------------------------------------------

1.0E-0004 -3.99999999999E+0000 -4.28918746472E+0000 -1.02463217507E+0004

8.02113605467E+0001 8.99826433151E+0001 1.00000003133E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.3E-0004 -3.87500000000E+0000 -4.28918709342E+0000 -7.68365648866E+0003

7.77113601678E+0001 8.99746434006E+0001 1.00000005571E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.8E-0004 -3.75000000000E+0000 -4.28918643314E+0000 -5.76192836164E+0003

7.52113594939E+0001 8.99639753440E+0001 1.00000009907E+0000

----------------------------------------------------------------------------

2.4E-0004 -3.62499999999E+0000 -4.28918525897E+0000 -4.32083518516E+0003

7.27113582956E+0001 8.99497492640E+0001 1.00000017618E+0000

----------------------------------------------------------------------------

3.2E-0004 -3.50000000000E+0000 -4.28918317099E+0000 -3.24016724745E+0003

7.02113561647E+0001 8.99307784864E+0001 1.00000031329E+0000

----------------------------------------------------------------------------

4.2E-0004 -3.37500000000E+0000 -4.28917945796E+0000 -2.42977993924E+0003

6.77113523753E+0001 8.99054805597E+0001 1.00000055713E+0000

----------------------------------------------------------------------------

5.6E-0004 -3.25000000000E+0000 -4.28917285519E+0000 -1.82207428336E+0003

6.52113456369E+0001 8.98717452603E+0001 1.00000099073E+0000

----------------------------------------------------------------------------

7.5E-0004 -3.12500000000E+0000 -4.28916111365E+0000 -1.36635812270E+0003

6.27113336539E+0001 8.98267585820E+0001 1.00000176179E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.0E-0003 -3.00000000000E+0000 -4.28914023406E+0000 -1.02461760141E+0003

6.02113123449E+0001 8.97667680399E+0001 1.00000313296E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.3E-0003 -2.87500000000E+0000 -4.28910310478E+0000 -7.68346214728E+0002

5.77112744517E+0001 8.96867697402E+0001 1.00000557129E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.8E-0003 -2.75000000000E+0000 -4.28903707996E+0000 -5.76166920697E+0002

5.52112070678E+0001 8.95800911796E+0001 1.00000990736E+0000

----------------------------------------------------------------------------

2.4E-0003 -2.62499999999E+0000 -4.28891967391E+0000 -4.32048960571E+0002

5.27110872425E+0001 8.94378351348E+0001 1.00001761823E+0000

----------------------------------------------------------------------------

3.2E-0003 -2.50000000000E+0000 -4.28871090746E+0000 -3.23970643082E+0002

5.02108741660E+0001 8.92481386350E+0001 1.00003133067E+0000

----------------------------------------------------------------------------

4.2E-0003 -2.37500000000E+0000 -4.28833970763E+0000 -2.42916548013E+0002

4.77104952768E+0001 8.89951861066E+0001 1.00005571638E+0000

----------------------------------------------------------------------------

5.6E-0003 -2.25000000000E+0000 -4.28767975368E+0000 -1.82125500689E+0002

4.52098215705E+0001 8.86578965133E+0001 1.00009908468E+0000

----------------------------------------------------------------------------

7.5E-0003 -2.12500000000E+0000 -4.28650662337E+0000 -1.36526587949E+0002

4.27086237365E+0001 8.82081800494E+0001 1.00017621726E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.0E-0002 -2.00000000000E+0000 -4.28442189870E+0000 -1.02316173409E+0002

4.02064942977E+0001 8.76086309739E+0001 1.00031341738E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.3E-0002 -1.87500000000E+0000 -4.28071918754E+0000 -7.66406353386E+0001

3.77027095975E+0001 8.68094925075E+0001 1.00055751402E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.8E-0002 -1.75000000000E+0000 -4.27414896345E+0000 -5.73583786565E+0001

3.51959857735E+0001 8.57447075080E+0001 1.00099195484E+0000

----------------------------------------------------------------------------

2.4E-0002 -1.62500000000E+0000 -4.26251006669E+0000 -4.28613066238E+0001

3.26840492103E+0001 8.43268824589E+0001 1.00176568017E+0000

----------------------------------------------------------------------------

3.2E-0002 -1.50000000000E+0000 -4.24195337712E+0000 -3.19409462389E+0001

3.01628864411E+0001 8.24411100029E+0001 1.00314528521E+0000

----------------------------------------------------------------------------

4.2E-0002 -1.37500000000E+0000 -4.20583588818E+0000 -2.36882522383E+0001

2.76254529185E+0001 7.99379724712E+0001 1.00561038849E+0000

----------------------------------------------------------------------------

5.6E-0002 -1.25000000000E+0000 -4.14295957744E+0000 -1.74191397836E+0001

2.50595070961E+0001 7.66270134538E+0001 1.01003164116E+0000

----------------------------------------------------------------------------

7.5E-0002 -1.12500000000E+0000 -4.03523402127E+0000 -1.26203189187E+0001

2.24441459646E+0001 7.22741113938E+0001 1.01801485181E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.0E-0001 -9.99999999998E-0001 -3.85563244898E+0000 -8.91212379034E+0000

1.97447416603E+0001 6.66102558875E+0001 1.03260576964E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.3E-0001 -8.74999999999E-0001 -3.56942895843E+0000 -6.02609364622E+0000

1.69067998418E+0001 5.93648909723E+0001 1.05987144050E+0000

----------------------------------------------------------------------------

1.8E-0001 -7.50000000000E-0001 -3.14481986643E+0000 -3.79269626992E+0000

1.38514916584E+0001 5.03389361057E+0001 1.11297565297E+0000

----------------------------------------------------------------------------

2.4E-0001 -6.25000000000E-0001 -2.57793178753E+0000 -2.12603852305E+0000

1.04788875950E+0001 3.95155532008E+0001 1.22510019657E+0000

----------------------------------------------------------------------------

3.2E-0001 -4.99999999999E-0001 -1.92092386134E+0000 -9.85376025079E-0001

6.68471126212E+0000 2.71584564077E+0001 1.50626174232E+0000

----------------------------------------------------------------------------

4.2E-0001 -3.74999999999E-0001 -1.27807911485E+0000 -3.14192789138E-0001

2.38598869800E+0000 1.38122819757E+0001 2.57959017507E+0000

----------------------------------------------------------------------------

5.6E-0001 -2.49999999999E-0001 -7.53222530885E-0001 -2.53551714610E-0003

-2.46148473949E+0000 1.92884012032E-0001 -3.05180606321E+0000

----------------------------------------------------------------------------

7.5E-0001 -1.24999999999E-0001 -3.94272957626E-0001 9.04622499307E-0002

-7.86124903862E+0000 -1.29232753238E+0001 -6.14890273159E-0001

----------------------------------------------------------------------------

1.0E+0000 0.00000000000E+0000 -1.85930157153E-0001 8.57248365040E-0002

-1.37759145944E+0001 -2.47543291260E+0001 -2.14923615688E-0001

----------------------------------------------------------------------------

1.3E+0000 1.25000000000E-0001 -8.11664680479E-0002 5.59844854719E-0002

-2.01223285156E+0001 -3.45984778179E+0001 -8.43109631425E-0002

----------------------------------------------------------------------------

1.8E+0000 2.50000000000E-0001 -3.40738976018E-0002 3.06524882058E-0002

-2.67765549533E+0001 -4.19772772704E+0001 -3.42343764238E-0002

----------------------------------------------------------------------------

2.4E+0000 3.75000000000E-0001 -1.43311135965E-0002 1.52248078236E-0002

-3.35934409500E+0001 -4.67353900493E+0001 -1.42974852657E-0002

----------------------------------------------------------------------------

3.2E+0000 5.00000000000E-0001 -6.23913621393E-0003 7.19018893956E-0003

-4.04274892451E+0001 -4.90544855737E+0001 -6.22563150032E-0003

----------------------------------------------------------------------------

4.2E+0000 6.25000000000E-0001 -2.85504272610E-0003 3.33578002520E-0003

-4.71492231458E+0001 -4.94439326980E+0001 -2.85199417648E-0003

----------------------------------------------------------------------------

5.6E+0000 7.50000000000E-0001 -1.36787270008E-0003 1.55836234711E-0003

-5.36657508426E+0001 -4.87281275839E+0001 -1.36730785850E-0003

----------------------------------------------------------------------------

7.5E+0000 8.74999999999E-0001 -6.73879826285E-0004 7.46887577425E-0004

-5.99483876785E+0001 -4.79451529994E+0001 -6.73775276513E-0004

----------------------------------------------------------------------------

1.0E+0001 1.00000000000E+0000 -3.32854491459E-0004 3.70849160980E-0004

-6.60498617951E+0001 -4.80940798967E+0001 -3.32827653957E-0004

----------------------------------------------------------------------------

1.3E+0001 1.12500000000E+0000 -1.60358077853E-0004 1.89929032135E-0004

-7.20909761664E+0001 -4.98290922907E+0001 -1.60347706295E-0004

----------------------------------------------------------------------------

1.8E+0001 1.25000000000E+0000 -7.34164424770E-0005 9.83771816729E-0005

-7.82194312317E+0001 -5.32708594163E+0001 -7.34121526451E-0005

----------------------------------------------------------------------------

2.4E+0001 1.37500000000E+0000 -3.13354463962E-0005 5.01769088948E-0005

-8.45597757296E+0001 -5.80195229158E+0001 -3.13339103783E-0005

----------------------------------------------------------------------------

3.2E+0001 1.50000000000E+0000 -1.23847139258E-0005 2.46891535702E-0005

-9.11751220898E+0001 -6.33651479425E+0001 -1.23842577319E-0005

----------------------------------------------------------------------------

4.2E+0001 1.62500000000E+0000 -4.56336190480E-0006 1.16410198913E-0005

-9.80593651492E+0001 -6.85995230394E+0001 -4.56324721396E-0006

----------------------------------------------------------------------------

5.6E+0001 1.75000000000E+0000 -1.59162274888E-0006 5.28564754553E-0006

-1.05161085474E+0002 -7.32472112207E+0001 -1.59159734394E-0006

----------------------------------------------------------------------------

7.5E+0001 1.87500000000E+0000 -5.34290618181E-0007 2.33383951249E-0006

-1.12416731091E+0002 -7.71110445410E+0001 -5.34285456832E-0007

----------------------------------------------------------------------------

1.0E+0002 2.00000000000E+0000 -1.74994412795E-0007 1.01157713638E-0006

-1.19771959194E+0002 -8.01913488701E+0001 -1.74993420129E-0007

----------------------------------------------------------------------------

1.3E+0002 2.12500000000E+0000 -5.64560102822E-0008 4.33456767457E-0007

-1.27188028360E+0002 -8.25853106704E+0001 -5.64558255847E-0008

----------------------------------------------------------------------------

1.8E+0002 2.25000000000E+0000 -1.80479317575E-0008 1.84472482025E-0007

-1.34639996248E+0002 -8.44184476677E+0001 -1.80478980531E-0008

----------------------------------------------------------------------------

2.4E+0002 2.37500000000E+0000 -5.73667470832E-0009 7.81985598408E-0008

-1.42112714958E+0002 -8.58105972955E+0001 -5.73666862622E-0009

----------------------------------------------------------------------------

3.2E+0002 2.50000000000E+0000 -1.81604828153E-0009 3.30736361253E-0008

-1.49597286733E+0002 -8.68634863223E+0001 -1.81604719097E-0009

----------------------------------------------------------------------------

4.2E+0002 2.62500000000E+0000 -5.72755058099E-0010 1.39703134657E-0008

-1.57088583328E+0002 -8.76587583976E+0001 -5.72754863257E-0010

----------------------------------------------------------------------------

5.6E+0002 2.75000000000E+0000 -1.79790103130E-0010 5.89677009349E-0009

-1.64583680696E+0002 -8.82601170727E+0001 -1.79790068390E-0010

----------------------------------------------------------------------------

7.5E+0002 2.87500000000E+0000 -5.60221389021E-0011 2.48796255201E-0009

-1.72080921780E+0002 -8.87166076196E+0001 -5.60221327153E-0011

----------------------------------------------------------------------------

1.0E+0003 3.00000000000E+0000 -1.72326380807E-0011 1.04947697263E-0009

-1.79579370921E+0002 -8.90658357230E+0001 -1.72326369796E-0011

----------------------------------------------------------------------------

1.3E+0003 3.12500000000E+0000 -5.17509500148E-0012 4.42634500794E-0010

-1.87078501157E+0002 -8.93367327305E+0001 -5.17509480559E-0012

----------------------------------------------------------------------------

1.8E+0003 3.25000000000E+0000 -1.48175974570E-0012 1.86674710623E-0010

-1.94578016640E+0002 -8.95518113551E+0001 -1.48175971085E-0012

----------------------------------------------------------------------------

2.4E+0003 3.37500000000E+0000 -3.81467774315E-0013 7.87240227846E-0011

-2.02077752460E+0002 -8.97289768900E+0001 -3.81467768118E-0013

----------------------------------------------------------------------------

3.2E+0003 3.50000000000E+0000 -7.16328746231E-0014 3.31984689403E-0011

-2.09577618676E+0002 -8.98829925783E+0001 -7.16328735210E-0014

----------------------------------------------------------------------------

4.2E+0003 3.62500000000E+0000 4.90348907623E-0015 1.39997888937E-0011

-2.17077569729E+0002 8.99865599432E+0001 4.90348927222E-0015

----------------------------------------------------------------------------

5.6E+0003 3.75000000000E+0000 1.70464744127E-0014 5.90362471216E-0012

-2.24577588951E+0002 8.98411785834E+0001 1.70464744476E-0014

----------------------------------------------------------------------------

7.5E+0003 3.87500000000E+0000 1.41042315307E-0014 2.48948139913E-0012

-2.32077682888E+0002 8.96819981302E+0001 1.41042315369E-0014

----------------------------------------------------------------------------

1.0E+0004 4.00000000000E+0000 9.35983638185E-0015 1.04975647302E-0012

-2.39577883530E+0002 8.94957449279E+0001 9.35983638295E-0015

----------------------------------------------------------------------------

 

 

По полученным результатам строим годограф Найквиста (амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы) при изменении ω от 0 до + (рис. 5), откладывая по оси абсцисс вещественную, а по оси ординат мнимую части передаточной функции разомкнутой системы. Как зеркальное отображение относительно оси абсцисс достраиваем годограф Найквиста при изменении ω от 0 до - .Затем, по часовой стрелке, дугой бесконечно большого радиуса соединяем первую и вторую ветви годографа. При этом она не охватывает точку (-1, i), что является необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой системы. Таким образом, при выбранных значениях и проектируемая система устойчива.

Величину запасов устойчивости по амплитуде и фазе определяем следующим образом. Запас по амплитуде DА определяется как длина отрезка от точки (-1, i 0) до ближайшей точки пересечения годографом Найквиста вещественной оси (см. рис. 5). Запас по фазе определяется путем дополнительного построения окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Через точку пересечения окружности и годографа проводим прямую с началом в центре координат и угол образованный этой прямой и вещественной осью является запасом устойчивости по фазе (см. рис. 5).

 

 

 

Рис. 5. Годограф Найквиста.

Получили, что:

§ Запас устойчивости по амплитуде DA = 0,29

§ Запас устойчивости по фазе Dj =7°50'.