Определение времени переходного процесса, величины перерегулирования и показателя колебательности.

Основой метода является зависимость между переходной характеристикой h(t) устойчивой системы и ее вещественной характеристикой P(ω) относительно одного из внешних воздействий.

(8)

Найдем вещественную частотную характеристику замкнутой системы , исходя из того, что ее частотная передаточная функция :

домнажаем числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число :

Отсюда получаем, что вещественная частотная характеристика замкнутой системы .

Наиболее часто используется метод трапецеидальных характеристик:

ВЧХ замкнутой системы разбиваем на трапеции таким образом, что бы суммарная площадь трапеций (с учетом знаков) максимально приближалась к площади ограниченной кривой ВЧХ (см. рис.7). Если нижнее основание трапеции больше верхнего, то трапецию берем со знаком "+" и наоборот. Трапеции всегда слева ограничены осью координат.

 

 

Рис. 7. Вещественная частотная характеристика замкнутой системы

Рис.8.Трапецеидальная вещественная частотная характеристика

Определяем параметры w_di, w_пi, и каждой трапеции и заносим их в расчетную табл.2.

 

Таблица 2

Характеристики трапеций

 

Вычисляем коэффициенты наклона:

В таблице h- функций для каждой трапеции отыскиваем столбец, соответствующий значению c_I. Затем для ряда значений условного времени t определяем соответствующие им значения h (t). По значениям t и h (t) вычисляем значения действительного времени t и составляющей h_i переходной характеристики:

; (9)

(10)

В случае если c_i не совпадает с указанным в таблице h- функций, то значения h (t) получаем в результате линейной интерполяции по двум соседним столбцам, соответствующим значениям c₁ и c₂, таким что: c₁ < c_i < c₂.

По полученным таким образом результатам (см. табл. 3) строим график составляющих переходной характеристики (рис. 9). После чего, в результате сложения составляющих переходной характеристики, получаем ее график (рис. 10).

Таблица.3.

Построение переходной характеристики методом трапеций

t1	h1	t2	h2	t3	h3	t4	h4		tрез	hрез
0,98	2,72	1,05	-0,54	0,83	-1,29	0,48	-0,3		3,33	0,55
1,95	5,29	2,10	-1,05	1,66	-2,50	0,96	-0,6		6,66	1,10
2,93	7,44	3,15	-1,51	2,48	-3,53	1,43	-0,9		10,00	1,47
3,90	8,99	4,20	-1,89	3,31	-4,33	1,91	-1,2		13,33	1,62
4,88	10,05	5,25	-2,19	4,14	-4,85	2,39	-1,3		16,66	1,69
5,86	10,60	6,30	-2,40	4,97	-5,18	2,87	-1,4		19,99	1,57
6,83	10,60	7,35	-2,52	5,79	-5,22	3,35	-1,5		23,32	1,36
7,81	10,24	8,40	-2,58	6,62	-5,11	3,83	-1,5		26,66	1,03
8,79	9,72	9,45	-2,56	7,45	-4,89	4,30	-1,5		29,99	0,77
9,76	9,10	10,50	-2,52	8,28	-4,61	4,78	-1,5		33,32	0,51
10,74	8,62	11,55	-2,46	9,11	-4,36	5,26	-1,4		36,65	0,40
11,71	8,31	12,60	-2,36	9,93	-4,16	5,74	-1,3		39,98	0,45
12,69	8,15	13,65	-2,29	10,76	-4,05	6,22	-1,3		43,32	0,52
13,67	8,24	14,70	-2,23	11,59	-4,04	6,70	-1,3		46,65	0,71
14,64	8,49	15,75	-2,19	12,42	-4,12	7,17	-1,2		49,98	0,94
15,62	8,84	16,80	-2,17	13,25	-4,25	7,65	-1,2		53,31	1,19
16,60	9,17	17,85	-2,17	14,07	-4,40	8,13	-1,2		56,64	1,36
17,57	9,45	18,90	-2,18	14,90	-4,55	8,61	-1,3		59,98	1,46
18,55	9,60	19,95	-2,20	15,73	-4,66	9,09	-1,3		63,31	1,45
19,52	9,59	21,00	-2,21	16,56	-4,71	9,56	-1,3		66,64	1,36
20,50	9,48	22,04	-2,23	17,38	-4,71	10,04	-1,3		69,97	1,22
21,48	9,26	23,09	-2,24	18,21	-4,65	10,52	-1,3		73,30	1,04
22,45	9,03	24,14	-2,25	19,04	-4,56	11,00	-1,3		76,64	0,89
23,43	8,80	25,19	-2,25	19,87	-4,45	11,48	-1,3		79,97	0,76
24,40	8,65	26,24	-2,21	20,70	-4,36	11,96	-1,3		83,30	0,74
25,38	8,59	27,29	-2,25	21,52	-4,29	12,43	-1,3		86,63	0,72
26,36	8,63	28,34	-2,25	22,35	-4,26	12,91	-1,3		89,96	0,79
27,33	8,77	29,39	-2,26	23,18	-4,28	13,39	-1,3		93,30	0,91
28,31	8,94	30,44	-2,26	24,01	-4,32	13,87	-1,3		96,63	1,04
29,29	9,12	31,49	-2,27	24,83	-4,39	14,35	-1,3		99,96	1,15
30,26	9,27	32,54	-2,27	25,66	-4,46	14,83	-1,3		103,29	1,22
31,24	9,35	33,59	-2,28	26,49	-4,53	15,30	-1,3		106,62	1,23
32,21	9,36	34,64	-2,28	27,32	-4,57	15,78	-1,3		109,96	1,20
33,19	9,29	35,69	-2,28	28,15	-4,58	16,26	-1,3		113,29	1,11
34,17	9,18	36,74	-2,27	28,97	-4,57	16,74	-1,3		116,62	1,03
35,14	9,02	37,79	-2,27	29,80	-4,53	17,22	-1,3		119,95	0,91
36,12	8,66	38,84	-2,26	30,63	-4,48	17,69	-1,3		123,28	0,61
37,09	8,79	39,89	-2,25	31,46	-4,48	18,17	-1,3		126,62	0,75
38,07	8,75	40,94	-2,25	32,28	-4,38	18,65	-1,3		129,95	0,82
39,05	8,78	41,99	-2,24	33,11	-4,36	19,13	-1,3		133,28	0,88
40,02	8,88	43,04	-2,24	33,94	-4,34	19,61	-1,3		136,61	0,99
41,00	8,97	44,09	-2,24	34,77	-4,34	20,09	-1,3		139,94	1,08
41,98	9,08	45,14	-2,24	35,60	-4,40	20,56	-1,3		143,28	1,13
42,95	9,20	46,19	-2,24	36,42	-4,44	21,04	-1,3		146,61	1,20
43,93	9,26	47,24	-2,25	37,25	-4,48	21,52	-1,3		149,94	1,20
44,90	9,26	48,29	-2,25	38,08	-4,52	22,00	-1,3		153,27	1,17
45,88	9,23	49,34	-2,25	38,91	-4,52	22,48	-1,3		156,60	1,13
46,86	9,14	50,39	-2,25	39,74	-4,52	22,96	-1,3		159,94	1,04
47,83	9,02	51,44	-2,25	40,56	-4,51	23,43	-1,3		163,27	0,93
48,81	8,91	52,49	-2,25	41,39	-4,48	23,91	-1,3		166,60	0,85
49,79	8,86	53,54	-2,25	42,22	-4,45	24,39	-1,3		169,93	0,83
50,76	8,84	54,59	-2,25	43,05	-4,39	24,87	-1,3		173,26	0,88

 

 

Рис. 9. Переходная характеристика и ее составляющие

Рис. 10. Переходная характеристика

Определяем:

1. установившееся значение y_уст= 1

2. максимальное значение y_max=1,69

3. время переходного процесса t_п =180 с

4. величина перерегулирования

5. показатель колебательности m= 8.