Оценка запаса устойчивости и быстродействия по афх разомкнутой системы.

 

Запас устойчивости замкнутой системы определяется степенью удаления АФХ разомкнутой системы W(jw) от точки (-1;j0). Прохождение АФХ через эту точку соответствует нахождению САР на колебательной границе устойчивости. Удаление АФХ от (-1;j0) соответствует повышению запаса устойчивости.

Рассмотрим количественные оценки степени удаления АФХ W(jw) от точки (-1;j0). Удалённость можно характеризовать при помощи двух положительных чисел H_m и g_ср, называемых запасами устойчивости системы по амплитуде (по модулю) и по фазе.

jV

H_m1

H_m2

 

-1

w_p1 w_p2 U

w_ср g_ср

 

 

Из рис. следует, что

Запас устойчивости по амплитуде показывает, на какую величину должен измениться модуль АФХ разомкнутой системы на частоте, при которой фазовая характеристика достигает значения (-180°), для того чтобы замкнутая САР оказалась на колебательной границе устойчивости.

Запас устойчивости по фазе g_ср показывает, на какую величину должно увеличиться отставание по фазе в разомкнутой системе на частоте, при которой АЧХ равняется единице (т.е. ½W(jw_ср)½=1) для того, чтобы замкнутая САР оказалась на колебательной границе устойчивости.

Оценки H_m и g_ср просты, наглядны и удобны. Ими легко пользоваться также в тех случаях, когда рассматриваются логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.

 

j(w) L(w)

L(w)

 

j(w)

-180° w_ср w_п

H_m w

-90° g_ср

 

Достаточными запасами устойчивости считаются: H_m ³ 6-12дб, g_ср ³ 30°.

Для оценки степени удалённости АФХ разомкнутой системы от точки

(-1;j0) может применяться показатель колебательности М. Величину М легко определить по АФХ разомкнутой системы:

При H(w)=H=const выражение определяет в неявном виде некоторую функциональную зависимость между U и V. Геометрически на плоскости (U,jV) эта зависимость сводится к кривой, представляющей собой геометрическое место всевозможных значений U и V, при которых АЧХ замкнутой системы имеет постоянное значение H. Для каждого значения H (*) определяет свою кривую на плоскости (U;jV). Найдём уравнение семейства кривых H=const. Для этого возведём обе части (*) в квадрат и преобразуем его.

 

 

 

Это окружность с радиусом R и центром (-С). При H=1 C=R=¥ и окружность вырождается в прямую, параллельную jV и проходящую слева от неё на расстоянии 0,5.

jV

1,2 H=1 H=8

1,6 0,6

1,8

H=0,4

3 -1

w_max U

 

W(jw)

 

 

Окружности соответствующие H>1 слева, а H<1 справа от прямой H=1. При H®¥ окружность вырождается в точку с координатами (-1;j0).

По семейству окружностей H=const и АФХ разомкнутой системы не трудно построить АЧХ H()= .Для каждого значения частоты на АФХ амплитудная характеристика равна индексу той окружности H=const,которая проходит через точку АФХ соответствующую рассматриваемому значению w.

Наибольшее значение H_max АЧХ H(w) равно индексу той окружности H=const, которой касается АФХ разомкнутой системы. На рис. H_max=3. w_max=w_р и равны значению w при котором происходит касание.

По значению H_max легко определить показатель колебетельности М. Так для астатических систем M=H_max, т.е. показатель колебательности равен индексу той линии, которой касается W(jw).

В связи с этим для астатических систем линии H=const части условно называют линиями постоянных значений показателя колебательности М и оцифровку дают прямо в значениях М.

Для астатических систем величина показателя колебательности не превосходит заданного значения М, если АФХ разомкнутой системы не заходит внутрь запретной зоны, представляющей собой круг радиуса:

с центром в точке

на отрицательной вещественной полуоси.

 

M/(M-1) jV

C=M²/(M²-1)

M/(M+1)

 

-1 w=¥ U

D A g

B

 

 

Запретная зона окружает точку (-1;j0) и обеспечивает получение необходимого запаса устойчивости. Показатель колебательности может быть определён и в случае использования логарифмических частотных характеристик. Для этого предварительно рассмотрим условия, которые должны удовлетворять отдельно ЛАЧХ и ЛФХ для
того, чтобы W(jw) не попала в запретную зону. На окружности (см. рис.) возьмём произвольную точку В и проведём в неё вектор. Из треугольника ОВД для этого вектора найдём связь между модулем А и запасом по фазе g.

По теореме косинусов:

 

Так как

то (**)