Построение логарифмических частотных характеристик.

 

Частотные методы исследования линейных систем автоматического регулирования существенно упростились, после того, как для построения графиков частотных характеристик были введены логарифмические шкалы. Частотные характеристики, построенные в логарифмических шкалах, называется логарифмическими частотными характеристиками.

Чаще всего строятся характеристики - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) и - логарифмическая фазовая характеристика. (ЛФХ)

Для построения ЛАЧХ используется модуль АЧХ выраженный в децибелах

Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз, 3 бела – в 1000 раз и т.д.

Децибел равен одной десятой части бела. Если модуль был бы отношением мощностей, то в правой части (1) находился бы множитель 10. Т.к. модуль представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, токов и т.п.), то увеличение этого отношения в 10 раз соответствует увеличению мощности в 100 раз, что соответствует 2 белам или 20 децибелам. Поэтому в правой части (1) находится множитель 20. Один децибел соответствует изменению амплитуды в раз.

Усилению соответствуют положительные децибелы, а ослаблению – отрицательные.

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т.е. откладывается десятичный логарифм частоты, а около отметки указывается само значение частоты.

При построении ЛАЧХ на оси ординат наносится шкала модулей в децибелах.

При построении ЛФХ на оси абсцисс используется логарифмическая шкала частот, а на оси ординат откладывается фазовый сдвиг, т.е. в град.

Для удобства одновременного построения ЛАЧХ и ЛФХ шкалы частот совмещаются, а шкала фазовых сдвигов наносится так, чтобы совместить фазовый сдвиг – 180⁰ с нулем шкалы модулей. При этом отрицательные фазовые сдвиги откладываются вверх.

 

Типовые динамические звенья

И их характеристики

Типовыми динамическими звеньями называются звенья, описываемые дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. Такие звенья классифицируются в зависимости от вида левой и правой частей их дифференциальных уравнений. Их можно разделить на три группы:

- позиционные;

- интегрирующие;

- дифференцирующие.

Каждая из этих групп, в свою очередь содержит несколько типовых звеньев.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике типовые динамические звенья и определим для каждого из них основные характеристики:

- дифференциальное уравнение;

- передаточную функцию;

- переходную функцию:

- импульсную переходную функцию (функцию веса);

- амплитудно-фазовую частотную характеристику;

- амплитудную частотную характеристику;

- фазовую частотную характеристику;

- логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ, ЛФЧХ).

1. Позиционные звенья – такие звенья, для которых в установившемся режиме характерна линейная зависимость между входной и выходной величинами.

Эти звенья описываются линейным диф. уравнением вида:

D(p)x(t)=b₀g(t) (1)

где D(p) – многочлен не выше второго порядка.

При постоянном входном сигнале выходная величина устойчивых позиционных звеньев с течением времени стремится к постоянному значению.

а) Безинерционное (идеальное) усилительное звено.

Звено, как в установившемся, так и в переходном режиме описывается уравнением вида:

или ,

где k – коэффициент передачи (усиления).

Передаточная функция звена .

Переходная функция ;

Весовая функция

Частотные характеристики:

АФХ

 

 

 

 

АЧХ

 

 

ФЧХ

ЛАЧХ и ЛФЧХ

 

 

 

б) Апериодическое звено

Любое устройство, описываемое дифференциальным уравнением вида

(a₀p+ a₁)x(t)=b₀g(t)

Деля на a₁, получим

(Tp+1)x(t)=kg(t),

где - постоянная времени звена,

- коэффициент передачи звена.

Передаточная функция звена

.

 

Определим переходную характеристику с помощью преобразования Лапласа. Т.к.

 

,

,

или

.

 

Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго. Практически для этого звена под временем переходного процесса понимается наименьший промежуток времени, по истечении которого выполняется неравенство:

,

где - наперед заданное положительное число

[обычно (0,01 – 0,05) k. ], или t_п= (3 – 5)T.

Учитывая, что

, найдем, что

- функция веса.

 

АФХ .

Построим АФХ в координатах Re и Im функции . Для этого представим в виде:

.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженный множитель

.

Обозначим

; .

Исключим из них :

, подставив в , получим:

, или возводя в квадрат

.

Добавляя и вычитая из правой части , получим

, или

- окружность с центром, смещенным на по действительной оси и радиусом .

 

 

АЧХ

 

 

 

ФЧХ

 

 

Логарифмическая частотная характеристика ЛАЧХ апериодического звена

.

При ,

При , .

Характеристики и называют низкочастотной и высокочастотной асимптотами.

Заметим, что при

.

Частота, на которой сопрягаются эти характеристики, называется сопрягающей частотой.

Ломаная линия с уравнением

при и

при называется асимптотической ЛАЧХ апериодического звена.

 

Если построить реальную ЛАЧХ по точкам, можно убедится, что максимальное отличие от асимптотической имеет место на сопрягающей частоте. Оно не велико (меньше 3 дб). Практически можно считать, что реальная и асимптотическая ЛАЧХ совпадают и ограничиваться построением асимптотических характеристик.

Фазовая логарифмическая характеристика ЛФЧХ

строится по точкам.

 

в) Колебательное звено

Звено любой физической природы (маятник, колебательный контур и т.д.), описываемое диф. уравнением вида:

(a₀p²+ a₁p+a₂)x(t)=b₀g(t)

при определенных соотношениях параметров a₁ называется колебательным звеном. Разделив на a_2, получим:

(Т²p²+2 Тp+1)x(t)=kg(t),

где постоянная времени,

;

;

.

Передаточная функция колебательного звена

.

Характеристическое уравнение

=0

имеет комплексные корни:

,

где .

Выражение для переходной функции найдем используя обратное преобразование Лапласа:

.

Разложив на простые дроби, в соответствии с таблицей оригиналов и изображений, получим

,

где ;

.

Продифференцировав полученное выражение, определим функцию веса:

.

Переходной процесс рассматриваемого звена носит характер затухающих по экспоненте колебаний.

 

 

Практически важно определить время затухания переходного процесса t_п – начальный промежуток времени, по истечении которого выполняется неравенство

,

где - наперед заданное положительное число. Более грубо можно считать, что процесс закончится тогда, когда затухли «сжимающие» его экспоненты.

Иногда полезно знать максимальное отклонение или величину перерегулирования . Их можно вычислить по формуле

:

.

Как видно величина перерегулирования зависит только от относительного коэффициента затухания (коэффициента демпфирования) .

Амплитудно - фазовая характеристика, соответствующая передаточной функции будет

.

 

 

 

Имея такую характеристику, легко определить значения амплитуды и начальной фазы вынужденных колебаний х(t) на выходе системы при наличии на ее входе гармонического управляющего воздействия .

Амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

,

а фазовая частотная характеристика

.

Найдем , для чего определим минимум подкоренного выражения в знаменателе и, приравняв его к нулю, получим

.

Следовательно, экстремум будет существовать на частоте

- резонансная частота.

При частота совпадает с собственной частотой колебаний системы.

.

Подставив выражение для АЧХ, найдем ее максимальное значение

.

Чем меньше значение , тем больше _max. При , .

Выражение для логарифмической АЧХ имеет вид:

.

Асимптотическая ЛАЧХ будет состоять из двух участков:

при ;

при ;

 

 

 

При получаем консервативное звено с передаточной функцией

.

Все его характеристики могут быть получены из характеристик колебательного звена при .

Интегрирующие звенья

Интегрирующими называются звенья, работа которых описывается диф. уравнением вида

.

В них имеет место в установившемся режиме линейная зависимость между входной величиной и производной выходной величины или другими словами выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной величины.

а) Идеальное интегрирующее звено.

Диф. уравнение

Передаточная функция

Временные характеристики определяются:

- переходная функция

- весовая функция

Амплитудно-фазовая характеристика

ЛАЧХ

- прямая линия.

Если , то ;

если , то

 

б) Интерпретирующее звено с замедлением (реальное инт. звено) описывается уравнением

Передаточная функция может рассматриваться как последовательное соединение идеального интегрирующего и апериодического звеньев.

в) Изодромное звено.

Описывается диф. уравнением .

Передаточная функция , где может рассматриваться как параллельное соединение интегрирующего и пропорционального звеньев .

3. Дифференцирующие звенья – называются такие, у которых в установившемся режиме выходная величина пропорциональна производной по времени от входной.

а) Идеальное дифференцирующее звено.

Диф. уравнение

Передаточная функция

Переходная функция

Весовая функция .

Амплитудно-фазовая характеристика

АЧХ

АФХ

ЛАЧХ - прямая линия.

 

 

Если ; если .

б) Дифференцирующее звено с замедлением описывается диф. уравнением

Передаточная функция может рассматриваться как последовательное соединение идеального дифференцирующего и апериодического звеньев .

 

Структурные схемы

Правила преобразования структурных схем

 

1. Последовательное соединение звеньев

 

Для n звеньев

 

 

2. Параллельное соединение звеньев

 

 

Для n звеньев

.

4. Соединение звеньев с обратной связью.

;

- передаточная функция прямой цепи;

- передаточная функция обратной связи.

;

;

;

;

;

.

Если , то говорят, что в системе существует единичная обратная связь.

4. Перемещение элементов суммирования

а) на вход звена (против хода сигнала)

 

 

б) на выход звена (по ходу сигнала)

 

5. Перемещение точек съема

а) на выход звена (по ходу сигнала)

 

б) на вход звена (против хода сигнала)

6. Перестановка

а) элементов суммирования

 

б) точек съема