При вынужденных колебаниях пружинного маятника

Резонансом называют относительно большой селективный (избира­тельный) отклик осциллятора на периодическое воздействие с частотой близкой к собственной частоте осциллятора.

Рассмотрим особенности этого явления. При гармоническом воздействии с циклической частотой w и амплитудой h на осциллятор с затуханием, его поведение описывается уравнением:

. (11)

Решением этого уравнения (убедитесь непосредственной подстановкой) являются функции вида:

(12)

где начальная амплитуда x _з и начальная фаза j_з затухающих колебаний определяются начальными условиями, - частота затухающих колебаний. Величина

(13)

Рис. 5. График функции t > 0, , , .

называется амплитудой вынужденных колебаний. Сдвиг по фазе вынужденных колебаний относительно внешнего возмущения j, определяется выражением:

(14)

Для наглядности функция, описываемая уравнением типа (12), показана на рисунке 5. Очевидно, что после "включения" периодического возмущения имеет место некоторый переходной процесс, в течение которого поведение осциллятора довольно сложное. По прошествии времени порядка 1/b первое слагаемое в (12) становится пренебрежимо малым, и в системе устанавливаются вынужденные гармонические колебания с циклической частотой w внешнего периодического возмущения:

(15)

где x ₀ и j определяются соотношениями (13) и (14). Зависимости этих величин от w показаны на рисунке 6. Они отражают суть явления резонанса.

Рис.6 Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего возмущения для w0/b = 1 (пунктирная линия), w0/b = 4 (сплошная линия), w0/b = 20 (штриховая линия).

Из приведенных зависимостей очевидно, что явление резонанса можно использовать для определения параметров осциллятора - коэффициента затухания b и собственной частоты w_0. Удобнее всего это делать используя график зависимости величины I / I _max от частоты. Величину , пропорциональную энергии колебаний, назовем интенсивностью колебаний, (I _max - значение I в максимуме). Действительно, в большинстве практически важных случаев w₀>>b. Тогда для w близких к w₀,

. (16)

Рис. 7

График этой зависимости изображен на рис. 7. Очевидно, что положение максимума резонансной кривой определяет величину w₀. Проведем на графике прямую параллельную оси абцисс при ординате 1/2. Эта прямая пересечет резонансную кривую в точках w₁ и w₂. Величину Dw = w₂ - w₁ называют шириной резонансной линии. Из (16) очевидно, что Dw = 2 b. Таким образом, коэффициент затухания определяет полуширину резонансной линии.

Цель данной работы - наблюдение резонанса при вынужденных колебаниях пружинного маятника, измерение частоты собственных колебаний, коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания и добротности маятника по резонансной кривой.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА

Рис. 8.

Приборы и принадлежности: пружинный маятник в трубке, система возбуждения маятника, секундомер, набор грузиков, весы.

Используемая в работе установка изображена на рисунке 8. Пружинный маятник 1 образован пружиной и одним из грузиков. Маятник колеблется в трубе 2. От зазора между стенками трубы и грузиком зависит сила трения, действующая на маятник. Периодическая сила создается системой, состоящей из электродвигателя 3, редуктора 4, эксцентрика 5 и нити 6. Эксцентрик приводится во вращение через редуктор и в свою очередь, дергая нить, вызывает периодические колебания точки подвеса маятника. Этим обеспечивается периодическое воздействие на последний. Частота вращения электродвигателя зависит от электрического напряжения на нем, последнее регулируется с помощью трансформатора 7. Амплитуда колебаний маятника определяется по шкале, нанесенной на трубу.

ХОД РАБОТЫ

1. Запишите уравнение колебаний грузика на пружине с учетом силы вязкого трения в отсутствие внешнего периодического воздействия и получите выражения для собственной частоты и коэффициента затухания:

, (17)

где k - жесткость пружины, m - масса грузика, r - параметр, определяющий силу вязкого трения F _тр= r × v (v - скорость).

2. До включения электродвигателя проверьте правильность установки груза в трубе: он должен колебаться на равном удалении от стенок трубы.

3. Установите на трансформаторе минимальное напряжение, включите электродвигатель.

4. Меняя электрическое напряжение на двигателе с помощью трансформатора, измерьте частоту вращения эксцентрика и амплитуду колебаний (по шкале на трубе). Частоту определите, засекая время 20 - 30 оборотов эксцентрика. Измерения проведите для нескольких грузов, предложенных преподавателем.

5. Постройте графики зависимостей амплитуд и интенсивностей колебаний от частоты для разных грузов. Обратите внимание на связь между размерами и массой грузов и формой резонансных кривых.

6. Определите по графикам собственные частоты, коэффициенты затухания. Рассчитайте по формулам (7) и (8) декременты затухания и добротности исследованных маятников.

7. Взвесьте грузики и определите коэффициент жесткости пружины и коэффициент силы трения из формул (17).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ

1. Опишите явление резонанса.

2. *Решите задачу и сопоставьте ее результат с изложенным во введении к работе. Шарик массы m, подвешенный к невесомой пружинке, может совершать вертикальные колебания с коэффициентом затухания b и собственной частотой w₀. Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по закону F = F ₀sinw t, шарик совершает установившиеся гармонические колебания. Найти: a) среднюю за период колебаний мощность силы F; б) частоту вынуждающей силы, при которой эта мощность максимальна; в) чему равна эта максимальная мощность. Обратите внимание на корреляцию зависимостей средней мощности и сдвига фаз между приложенной силой и колебанием маятника от частоты.

3. Опишите способ измерения собственной частоты и коэффициента затухания резонансным методом.

4. *Как видно из рисунка 7, от коэффициента затухания b зависит и положения максимума резонансной кривой и величина максимума. В принципе, используя формулу (13) можно выразить b через эти параметры резонансных кривых. Сопоставьте этот метод оценки b с тем, который был описан во введении к работе (по ширине резонансной линии).

5. Опишите экспериментальную установку, используемую в работе.

6. Влияет ли порядок измерения частоты и амплитуды в п.4 работы.

7. Объясните полученные экспериментальные результаты.

РАЗДЕЛ N 6.

УПРУГИЕ ВОЛНЫ.

Волнами называют возмущения среды, распространяющиеся в этой среде. Это понятие объединяет совершенно непохожие на первый взгляд явления: волны на поверхности воды, ударные волны, свет, звук и т.д.

Способность волн распространяться на значительные расстояния делает их удобным инструментом для исследования. Например, наблюдая за тем, как поглощаются в веществе световые волны можно делать вывод о химическом составе вещества, не разрушая образец. Другой пример - использование звукового эха (отраженной от препятствия звуковой волны) для измерения расстояний и скоростей движущихся тел.

Скорость волн в среде в значительной мере определяется свойствами самой среды и измерение скорости волн позволяет получать информацию об устройстве среды.

Предметом исследования механики являются волны в упругих средах. Здесь распространение возмущений обусловлено силами упругости, а конечность скорости волн - распределением массы по объему среды.

Цель описанных ниже работ состоит в исследовании характерных для упругих волн закономерностей и явлений, а так же в их использовании для получения информации о свойствах сред, в которых распространяются волны. Рассмотрение ограничивается случаем малых (удовлетворяющих принципу суперпозиции) возмущений. В этом случае согласно теореме Фурье задача сводится к исследованию гармонических волн, описываемых уравнением

, (1)

где A ₀(r) - амплитуда волны, (w t - kr +j) - фаза, j - начальная фаза, w - циклическая частота, k - волновой вектор, радиус-вектор r определяет координаты точки наблюдения относительно источника. Если сравнить аргументы функции синуса в выражениях (1) из предыдущего и данного разделов, можно сказать, что приведенная здесь формула описывает колебания, происходящие и в пространстве, и во времени. При этом модуль волнового вектора определяет максимальную быстроту изменения фазы в пространстве, а ориентация вектора k соответствует наиболее быстрому изменению фазы волны в пространстве. Направление вектора A ₀(r) определяется направлением смещения частиц в волне.

Волны, в которых k и A ₀(r) параллельны называют продольными, если k перпендикулярен A ₀(r), говорят о поперечных волнах. В газах и в толще жидкостей упругих поперечные волны не наблюдаются.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. "Самая первая" волновая поверхность, отделяющая пространство, в котором существует волновой процесс от того, в котором он еще не начался, называется волновым фронтом. Вектор k перпендикулярен волновым поверхностям. Расстояние l между точками, колеблющимися с разностью фаз 2p, отсчитываемое вдоль волнового вектора, называется длинной волны. Очевидно соотношение

(2)

Вид волновых поверхностей определяется симметрией источника, т.е. некоторого тела, вызывающего вынужденные колебания в среде. По виду волновых поверхностей различают сферические (точечный источник), цилиндрические (линейный источник), плоские (источник в виде плоскости) и т.д. волны.

Ограничимся рассмотрением самых простых - плоских волн. Простота в данном случае состоит в том, что волновой вектор k одинаков во всех точках пространства, и в абсолютно упругой (значит, не поглощающей волны) среде амплитуда плоской волны не зависит от координаты. Если направить ось X системы координат в направлении волнового вектора, то уравнение плоской поперечной волны будет выглядеть так

. (3)

Очевидно в этой волне смещения частиц среды происходят в направлении оси Y выбранной системы координат. Здесь легко понять смысл знака ²-² перед k -он соответствует перемещению фазы волны в положительном направлении оси X.

Выражение (3) является решением одномерного волнового уравнения

(4)

Единственный параметр этого уравнения с имеет размерность скорости и связан с частотой волны и волновым вектором соотношением

(5)

где Т - период колебаний. Отсюда очевидно, что c можно трактовать как фазовую скорость волны, т.е. отношение расстояния l, проходимого фазой за один период колебания, к величине периода колебания Т.

Важно отметить, что несмотря на математическую связь между w, k и c, они определяются совершенно различными физическими причинами. Циклическая частота волны w задается исключительно источником колебаний, в то время как скорость c определяется природой волн (упругие, электромагнитные и т.д.) и соответствующими свойствами среды (упругими, электромагнитными и т.д.). Таким образом, независимые друг от друга величины w и c определяют пространственную периодичность волны - величину вектора k.

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН

Явления интерференции и дифракции присущи исключительно волнам. С явлением дифракции обычно знакомятся на примере световых волн, здесь же описаны работы по изучению интерференции упругих волн.

Для простоты ограничимся случаем, когда две плоских волны с одинаковым направлением колебаний распространяются вдоль одной прямой. Если направить вдоль нее ось X системы координат, уравнения этих волн примут вид:

и (6)

,

где x ₀₁ и x ₀₂ - координаты источников волн. В моменты времени t ₀₁ и t ₀₂ в этих источниках достигаются максимальные значения смещений.

Как отмечалось ранее мы рассматриваем ситуации, когда выполняется принцип суперпозиции. Тогда результирующее смещение частиц среды y в точке наблюдения будет равно:

. (7)

Если бы фазы волн были одинаковы во всех точках пространства в любой момент времени, мы получили бы гармоническую волну с амплитудой y ₀₁+ y ₀₂, независящей от времени и пространственных координат.

Если же разница фаз

(8)

зависит от времени (в случае различных частот волн) или/и от координат (в случае различных волновых векторов), в разных точках пространства в разные моменты времени становятся возможными следующие ситуации:

1. y ₁ и y ₂ в выражении (7) имеют одинаковые знаки. В этом случае будет наблюдаться взаимное усиление волн, выражающееся в увеличении амплитуды колебаний по сравнению с y ₀₁ и y ₀₂.

2. y ₁ и y ₂ в выражении (7) имеют разные знаки. Здесь будет иметь место взаимное ослабление волн - амплитуда суммарного колебания станет меньше и y ₀₁ и y ₀₂.

В подобном перераспределении амплитуды в пространстве и во времени, в случае наложения нескольких различных волн - суть явления интерференции. Очевидно, что изменения амплитуды суммарной волны наиболее заметны при y ₀₁ = y ₀₂.

Выделяют два принципиально разных типа интерференции:

1. интерференцию волн с близкими частотами, идущих в одном направлении или биения.

2. интерференцию волн с одинаковыми частотами.

При рассмотрении особенностей этих типов интерференции будем полагать, что волны имеют одинаковые амплитуды y ₀₁ = y ₀₂ = a и равные нулю начальные фазы колебаний t ₀₁ = t ₀₂ = 0. В этом случае уравнения волн примут вид

(9)

Уравнение суммарной волны просто получить пользуясь тригонометрическими формулами:

(10)

Роль амплитуды волны здесь играет функция

(11)

Биения

Наиболее простой вид для точки с координатой x =0 соотношения (10) и (11) принимают при k ₁ x ₀₁ - k ₂ x ₀₂ кратных 2p (чего не ограничивая общности можно добиться соответствующим выбором системы отсчета)

. (12)

Функция (12) описывает колебание с частотой равной полусумме частот w₁ и w₂ и амплитудой меняющейся со временем:

(13)

Рис. 1 Графики функций (12) (сплошная линия) и (13) (штриховая линия). w1/w2 = 10.

Вид функции (12) показан на рис. 1.

При любом положении источников во всех точках пространства будут происходить колебания, подобные показанным на рисунке, только сдвинутые относительно их по фазе.

Подобные изменения амплитуды колебания со временем и называются биениями. Величину |w₁ - w₂|, определяющую частоту изменения амплитуды называют циклической частотой биений.

Явление биений используется для измерения разницы близких частот волн (см. работу N 52).