Определение момента инерции твердого тела

Цель работы: Научиться определять момент инерции твердого тела.

Теоретические вопросы: линейная и угловая скорости, связь между ними; момент силы; момент инерции; момент инерции симметричных тел - шара, диска, цилиндра; основное уравнение динамики вращательного движения; момент импульса; метод определения момента инерции твердого тела, вращающегося вокруг оси; кинетическая энергия вращающегося тела.

Оборудование: установка для определения момента инерции, секундомер, штангенциркуль, линейка.

 

Теоретическое введение

Представим некоторое твердое тело массой m, которое может вращать­ся вокруг неподвижной оси. Разобьем его на отдельные бесконечно малые элементы с массами dm, вращающиеся около выбранной оси с общей для тела скоростью: w. Если расстояние от одного из таких элементов до оси вращения R_i то его кинетическая энергия:

W = dmv²/2 = dm(R_iw²/2 = dmR_i²w²/2.

Просуммировав энергии всех элементов, на которые было разбито те­ло, получим кинетическую энергию всего вращающегося тела

.

 

Величина

(1)

сумма произведений массы каждого элемента на квадрат его расстояния до оси вращения называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции является количественной мерой инертности вращающегося тела.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела определяется по формуле:

W_k = J w²/2. (2)

Расчет момента инерции по формуле (1) для тел правильной геометрической формы приводит к простым выражениям: для сплошного диска (маховика) с массой M_м и радиусом R_м

J _м = M_м ^. R_м² / 2, (3)

для кольца:

J _k = m_k ^. R_k, (4)

момент инерции маховика с кольцом будет равен сумме их моментов инерции:

J = J _k + J _м. (5)

Предположим, что на вращающееся около некоторой оси твердое тело с моментом инерции J действует постоянный момент M, который равен сумме моментов отдельных сил, действующих на тело. Под действием этого вращающегося момента твердое тело приобретает угловое ускорение e равное e = M/ J равенство М = J e (6) называют основным уравнением динамики вращательного движения.

 

Описание установки

Установка для определения момента инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, представляет собой металлический диск 1 радиуса R и массы M_м, который может вращаться вокруг неподвижной оси ОО^/ под действием падающего груза 3 массой m_г. Груз в виде гири подвешивается к нити, второй конец которой закреплен на втулке 2, вращающейся вместе с диском (см рис. 1) Для определения момента инерции несимметричных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии пользуются динамическим методом основанным на применении уравнения динамики

вращательного движения: J = M/e (7)

Cилами трения в подшипниках оси и

сопротивлением воздуха пренебречь.

Если F - сила, вызывающая вращение;

r - плечо (оно равно радиусу втулки,

на которую наматывается нить), то

согласно второму закону Ньютона,

величина силы, вызывающей равноускоренное Рисунок 1

движение груза в данном случае, вращение диска) с ускорением a_t равна:

F = m(g - a_t). (9)

Считая нить нерастяжимой и исключая ее проскальзывание по шкиву, можно принять, что скорость и ускорение периферийных точек шкива равны по величине скорости и ускорению опускающегося груза. Тогда для случая равноускоренного падения груза:

a_t = 2h/t², (10)

где h - высота падающей гири, t - время падения.

Угловое ускорение

e = a_t / R. (11)

Подставляя равенства (9 - 11) в (7) получим

, m_г= 0,75 кг. (12)

По формуле (12) получим экспериментально момент инерции системы J.

Этот момент инерции можно определить и другим путем – складывая моменты инерции маховика и шкива

J = J _м + J_шк = M_мR²_ср /2 + m_шк r²_ср /2, (13)

М_м=15,8 кг, m_шк=0,2 кг.

Порядок выполнения работы

1. C помощью штангенциркуля измерить диаметр d шкива, а с помощью линейки - диаметр D маховика 5 раз в разных местах и рассчитать значения r и R, и занести в таблицу.

2. Намотать нить на втулку (груз поднимется в верхнее положение). С помощью секундомера 5 раз измерить время t, в течении которого груз падает с высоты h. Полученные данные занести в таблицу.

Масса диска маховика M_м = 15,8 кг, масса шкива m_шк = 0,2 кг.

3. По формулам (12) и (13) определить средние значения момента инерции и сравнить их между собой.

4. Рассчитать абсолютную погрешность измерения момента инерции по формуле (14)

, (14)

где:

 

n – количество измерений.

 

5. Рассчитать относительную погрешность определения момента инерции

e _J = (DJ / J _ср)^. 100 % J.

 

6. Записать окончательные результаты: J = J _ср ± D J, r = r_ср ± Dr_max,

R = R_ср ± DR_max.

 

 

Таблица измерений

№ п/п	di (мм)	ri (мм)	Dr = |ri-rср| (мм)	Di (мм)	Ri (мм)	DR=|Ri-Rср| (мм)	ti (с)	Dt=|ti-tср| (с)	J кг м^2
1. 2. 3. 4. 5.
сумма
ср.зн.

Контрольные вопросы

1. Что такое линейная и угловая скорости? Какова связь между ними?

2. Что такое момент силы, момент инерции, момент импульса?

3. Как определяются моменты инерции симметричных тел - шара, диска, цилиндра?

4. Основное уравнение динамики вращательного движения.

5. Закон сохранения и изменения моментов импульса.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА