Лабораторная работа 1-07 “Определение момента инерции тела с помощью наклонной плоскости”.

 

Цель работы: усвоение понятия момента инерции тела и определение момента инерции тел из закона сохранения энергии.

Теоретическое введение

Характеристики движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, могут быть определены из основного уравнения динамики вращательного движения

(7.1)

где – момент инерции тела, – угловая скорость, – угловое ускорение, – полный момент внешних сил.

Уравнение (7.1) – это второй закон Ньютона для вращательного движения. То есть, отличительной особенностью задачи о вращении тела вокруг оси по сравнению с задачей о движении материальной точки является то, что теперь в основное уравнение входит не масса тела , а момент инерции , и не сила , а момент силы относительно оси .

При выводе этого уравнения пользуются приемом, который применяется в механике для изучения движения абсолютно твердых тел конечных размеров. Все тело мысленно разбивается на совокупность маленьких частичек с массами ( - номер частиц), которые можно рассматривать как материальные точки с неизменными расстояниями между ними. При этом - масса всего тела. В результате задача сводится к задаче о вращении системы материальных точек вокруг оси. Из решения ее следует, что момент инерции тела определяется таким образом

(7.2)

Величина равна сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения . Вектор лежит в плоскости вращения массы и направлен от оси вращения к этой материальной точке. Из определения (7.2) видно, что задание полной массы тела еще ничего не говорит о величине его момента инерции , который зависит от того, как расположены различные части тела относительно той или иной оси.

В случае непрерывного распределения масс с плотностью сумма в (7.2) заменится на интеграл по всему объему тела. Каждый из элементарных объемов тела массой при переходе к бесконечно малым заменяем на и соответственно

(7.3)

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно оси представляет собой сложную задачу – необходимо знать, как плотность тела меняется от точки к точке . Если эта зависимость известна, тогда нужно вычислить тройной интеграл . Это несложно делать для однородных () симметричных твердых тел, вращающихся вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс (центр тяжести). Далее будут еще приведены выражения для моментов инерции шара, цилиндра, пустотелого цилиндра.

Величины моментов инерции чаще определяют из опыта. Рассмотрим, как это можно сделать, решая задачу о скатывании круглого однородного тела радиусом и массой без скольжения по наклонной плоскости под углом к горизонту с высоты (рис. 7.1), с использованием закона сохранения энергии.

Задача о скатывании – пример плоского движения твердого тела, т.е. движения, при котором точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. Если ось вращения проведем через центр масс тела (т. О) перпендикулярно плоскостям, в которых лежат траектории точек тела, то она (эта ось) будет двигаться поступательно, оставаясь параллельной самой себе.

В этом случае кинетическую энергию твердого тела при плоском движении можно представить как энергию вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела и энергию поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс

(7.4)

здесь – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, – угловая скорость тела, – его масса.

Если тело скатывается с высоты , то в соответствии с законом сохранения энергии

(7.5)

Рис. 7.1.

Центр масс тела движется равноускоренно под действием силы трения покоя и составляющей силы тяжести. Поэтому, если обозначим через длину наклонной плоскости () и считаем, что тело движется с нулевой начальной скоростью, то можно записать

; ; ; ,

где – время движения тела по наклонной плоскости.

Предполагается, что тело скатывается без скольжения, и поэтому линейная скорость точек соприкосновения тела с наклонной плоскостью равна нулю, и так что скорость поступательного движения связана с угловой скоростью обычным соотношением .

Если теперь подставить выражения для и в (7.5), и решить это уравнение относительно , то получим

(7.6)

Это соотношение позволяет, измерив на опыте время скатывания тела , длину наклонной плоскости , массу тела и его радиус , определить момент инерции.

В то же время из (7.3) можно теоретически рассчитать момент инерции

шара – ;

цилиндра – ; (7.7)

пустотелого цилиндра , где и - внешний и внутренний радиусы цилиндра;

и сравнить их с измеренными значениями.

При решении задачи о качении тела предполагали, что силами трения качения можно пренебречь. Поэтому в законе сохранения энергии не учитывали работу этих сил трения. Сила же трения покоя (рис.7.1) как раз и создает вращающий момент относительно оси, проходящей через центр масс тела. В этом несложно убедиться, если получить выражение (7.6), используя не закон сохранения энергии (7.5), а решив уравнение движения для центра масс тела

(7.8)

(7.9)

Положительные направления оси и указаны на рис 7.1.

В заключение найдем условие, при котором будет отсутствовать проскальзывание при качении тела. Пусть наше тело – цилиндр. Для него момент инерции . Если проскальзывания нет, то ускорение поступательного движения цилиндра при скатывании известным образом связано с угловым ускорением : . Подставив эти определения в уравнения (7.8) и (7.9), получим из этих уравнений выражение для сил трения

(7.10)

Известно, что в отсутствии скольжения сила трения не должна превышать своего максимального значения (см. также работу 1-06).

(7.11)

где -коэффициент трения покоя.

Так что условие непроскальзывания скатывающегося цилиндра:

(7.12)

именно под таким углом следует устанавливать наклонную плоскость при скатывании цилиндра для определения момента инерции.

 

Экспериментальная часть

Приборыи оборудование: наклонная плоскость, электрический секундомер, 1-3 цилиндра разного диаметра.

Эксперимент проводят на установке, изображённой на рисунке. Начальное положение тела на наклонной плоскости в точке А фиксируется. Время движения тела на участке АВ измеряется секундомером, который подключается к розетке. При опускании тела одновременно требуется включить секундомер. Тело начинает скатываться. В конечной точке В требуется выключить секундомер.

В работе определяется момент инерции тела вращения относительно оси, проходящей через его центр масс, по времени скатывания тела без скольжения по наклонной плоскости.

 

Порядок выполнения работы

 

1. Исследуемое тело установите в исходное положение и линейкой измерьте длину пути тела S по наклонной плоскости.

2. Произведите пуск тела нажатием кнопки и запишите время движения тела по автоматическому секундомеру. Установите стрелки секундомера на нуль. Повторите этот пункт 8-10 раз.

3. Взвесьте исследуемое тело.

4. Измерьте штангенциркулем диаметр тела 10 раз.

5. Проделайте действия указанные в пунктах 1-5, с другими телами.

6. Занести результаты измерения в таблицу по форме 7.1.

Форма 7.1

J эксп	S, cм	t, c	tср , c	m,г	d, мм	Jтеор

7. Подсчитать t_ср для каждой серии эксперимента.

8. По формуле (7.6) вычислите экспериментальное значение момента инерции тела. Величина угла a написана на макете.

9. Вычислите по формуле (7.7) теоретический момент инерции тела и результаты запишите в таблицу. Сравните его с экспериментальным значением и укажите причину возможного несоответствия.

10. Вычислите относительную и абсолютную погрешности моментов инерции J_экс и J _теор.

11. Результаты вычисления J _экс и J _теор. представьте в виде

Контрольные вопросы

1. Сравните формулировки 2-го закона Ньютона – для поступательного и вращательного движения тела.

2. Что такое момент инерции твердого тела и от чего он зависит?

3. Что такое плоское движение твердого тела и что характерно для такого движения?

4. Объясните, почему кинетическую энергию тела можно представить в виде уравнения (7.4).

5. Представьте вывод формулы для момента инерции на основе закона сохранения энергии (7.6)

6. Выполните то же, что и в п. 5, используя уравнение движения (7.8), (7.9).

7. Объясните, какую роль играет сила трения покоя и получите условие скатывания цилиндра без скольжения (7.12).

8. Если учесть действие сил трения качения, к каким изменениям при определении момента инерции тела это приведет?

 

Используемая литература

 

[3] c. 53-56; [5] c. 125-128; [7] c. 17-19.

 

 

Лабораторная работа 1-08 “Исследование динамики вращательного движения на маятнике Обербека”

 

Цель работы: проверка основного уравнения динамики вращательного движения, определение момента инерции маятника Обербека.

 

Теоретическое введение

 

Кинематические характеристики вращательного движения.

Движение твердого тела, при котором все точки прямой, жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси. Прямая называется осью вращения.

При вращении тела вокруг закрепленной оси все его точки описывают окружности различного радиуса и, следовательно, имеют различные перемещения, скорости и ускорения. Тем не менее можно описать вращательное движение всех точек тела одинаковым образом. Для этого используют следующие кинематические характеристики движения: угол поворота , угловую скорость и угловое ускорение . Роль перемещения при вращательном движении играет вектор малого поворота (угловое перемещение) вокруг оси вращения. Он будет одинаков для любой точки абсолютно твердого тела, то есть тела, деформациями которого можно пренебречь. Модуль вектора поворота равен величине угла поворота Δφ, вектор поворота направлен по оси вращения по правилу буравчика (правого винта).

Характеристикой быстроты вращения служит угловая скорость тела, равная отношению вектора элементарного угла поворота тела к продолжительности этого поворота:

. (8.1)

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения так же, как и угловое перемещение.

Быстроту изменения угловой скорости во времени характеризует угловое ускорение

. (8.2)

При возрастании угловой скорости ω угловое ускорение совпадает с ней по направлению, при убывании – направлено в противоположную сторону.

Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Величина линейного перемещения точки, вращающейся по окружности радиуса :

. (8.3)

Разделив обе части уравнения (8.3) на , получим: . Так как производная пути по времени – это величина скорости: , а (8.1), то:

. (8.4)

Теперь продифференцируем (8.4) по времени: , или:

, (8.5)

где – касательное (тангенциальное) ускорение, определяющее быстроту изменения модуля скорости :

. (8.6)

 

Динамика твердого тела.

Пусть на тело действует сила . Моментом силы относительно точки О называется физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы :

. (8.7)

Направление момента силы определяется правилом буравчика (рис.8.1), величина момента силы

, (8.8)

где – угол между радиус-вектором точки приложения силы и вектором силы .

Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси. Составляющая силы, параллельная оси, вращения тела вызвать не может, а напряжения, возникающие в оси, нас не интересуют. Тогда достаточно рассмотреть силы, направления которых перпендикулярны оси вращения ОО’ (рис.8.1). Определим плечо силы относительно оси ОО’ как расстояние от оси вращения до линии действия силы, тогда

,

. (8.9)

Более того, поворот тела с закрепленной осью вращения может быть вызван только касательной составляющей силы , причем эта составляющая тем успешнее осуществит поворот, чем больше ее плечо r:

, (8.10)

так как .

Пусть твердое тело разбито на отдельные элементарные массы Δm. Выразим касательную составляющую равнодействующей сил, приложенных к этой точке, по второму закону Ньютона:

. (8.11)

Учитывая (8.5) для касательного ускорения, получим из (8.10) и (8.11):

. (8.12)

Скалярная величина

, (8.13)

равная произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси.

Векторы и совпадают по направлению с осью вращения, связаны с направлением вращения по правилу буравчика, поэтому равенство (8.12) можно переписать в векторной форме:

. (8.14)

Уравнение (8.14) является основным законом динамики вращательного движения для материальной точки. Соотношение, аналогичное (8.12), можно записать для каждой точки тела, и затем просуммировать по всем точкам, тогда (с учетом того, что угловое ускорение одинаково для всех точек и его можно вынести за знак суммы):

. (8.15)

В левой части равенства стоит сумма моментов всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по третьему закону Ньютона, силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с другом (внутренние силы), равны по величине и противоположны по направлению и лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг друга. Таким образом, в левой части (8.15) остается суммарный момент только внешних сил.

Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси:

. (8.16)

Момент инерции твердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором законе Ньютона. Он существенно зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном оси).

В случае непрерывного распределения массы сумма в (8.16) сводится к интегралу по всему объему тела:

. (8.17)

Таким образом, доказан основной закон динамики твердого тела: угловое ускорение твердого тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения

. (8.18)

Этот закон аналогичен второму закону Ньютона при поступательном движении:

(8.19)

и позволяет определить угловое ускорение твердого тела.

Приведем моменты инерции для некоторых однородных тел.

1. Момент инерции тонкостенного кольца (обруча) радиуса R относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости:

. (8.20)

2. Момент инерции круглого диска (цилиндра) относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска:

. (8.21)

3. Момент инерции однородного полого диска (толстостенного кольца) внутренним радиусом и внешним радиусом относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска:

. (8.22)

4. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр:

. (8.23)

5. Момент инерции тонкого длинного стержня длиной l относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню:

. (8.24)

Подсчет момента инерции тела относительно произвольной оси облегчается применением теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями

. (8.20)

 

Экспериментальная часть.

 

Оборудование: лабораторная установка, секундомер, штангенциркуль

Описание установки.

Маятник Обербека представляет собой свободно вращающуюся на горизонтальной оси крестовину со шкивом радиуса . Схема установки представлена на рис.8.2.

Крестовина состоит из четырех стержней 2, закрепленных под прямым углом к оси и друг к другу. На каждый стержень надето по одинаковому грузу 3, которые можно передвигать вдоль стержня и закреплять в любой точке между его основанием и концом. Масса каждого грузика г. На шкив 4 навита привязанная к нему одним концом нить 5, на другом конце которой подвешивается гиря 7 массы . Нить перекинута через блок 6. В верхнем положении гиря удерживается вручную. Груз 7 освобождают, предоставляя ему возможность свободного падения.

Измерения времени падения груза производятся при помощи секундомера, который включают и выключают в соответствующее время.

 

Методика измерения

 

Выведем рабочую формулу для определения момента инерции тела.

Если предоставить возможность грузу падать, то это падение будет происходить с ускорением , а уравнением поступательного движения груза на нити будет (по второму закону Ньютона (8.19) в проекции на вертикальную ось):

, (8.21)

где – сила натяжения нити. Отсюда

. (8.22)

Сила натяжения нити сообщает угловое ускорение вращающемуся маятнику. Момент этой силы относительно оси вращения находим из (8.9); так как нить является касательной к шкиву, плечо силы l совпадает с радиусом шкива r, и тогда:

. (8.23)

Тогда уравнение вращательного движения маятника (8.18) запишется в виде , или:

. (8.24)

Так как нить нерастяжима и проскальзывания нет, линейное ускорение a груза связано с угловым ускорением шкива соотношением (см. (8.5)):

. (8.25)

Так как поступательное движение груза m поступательное без начальной скорости, то расстояние (высота ), проходимое грузом за время , равно , откуда находим ускорение:

. (8.26)

Решая совместно (8.24), (8.25) и (8.26), находим момент инерции маятника:

, (8.27)

а также выражение для углового ускорения:

(8.28)

и момента силы:

. (8.29)

 

Упражнение 1

а) Определение углового ускорения маятника Обербека и момента силы натяжения;

б) проверка основного закона динамики вращательного движения:

(при ). (8.30)

1. Измерить штангенциркулем диаметр шкива 3 и найти его радиус .

2. Закрепить грузы на концах крестовины в крайних положениях. Добиться равновесия крестовины при любом ее повороте.

3. Положить на тарелочку гирьку массой (около 100 г).

4. Вращая крестовину рукой, намотать нить на шкив.

5. Зафиксировать тарелочку с грузом на высоте h=0.7÷0.8 от наинизшего положения. Записать величину h в таблицу по форме 8.1.

6. Освободить груз и записать в таблицу по форме 8.1 время его опускания.

7. Повторить измерение времени для одной и той же высоты пять раз, рассчитать среднее время и его среднюю погрешность и все результаты записать в таблицу по форме 8.1.

8. Повторить измерения (пункты 4÷6) с массой (150÷200 г), заменив гирьки на тарелочке.

9. Рассчитать угловые ускорения и по формуле (8.28), найти их отношение

. (8.31)

10. Рассчитать моменты сил и по формуле (8.29), найти их отношение

. (8.32)

11. Оценить погрешности определения , и их отношений и .

12. Все результаты занести в таблицы по форме 8.2.

13. Сравнивая и , проверить соотношение

, и сделать вывод.

Форма 8.1.

№	m 1 = кг	m 2 = кг	h, м	Δ h	r, м	Δ r
t1, с	Δt1i	Δt1	t2, с	Δt2i	Δt2
-	t1ср.=…	Σ(Δ t 1i)^2=…	t2ср.=…	Σ(Δ t 2i)^2=…

 

Форма 8.2.

ε1, с^-2	М 1, Н^.м	ε2, с^-2	М 2, Н^.м
Δε1	Δ М 1	Δε2	Δ М 2

 

Замечание 1: погрешность времени рассчитывается по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины:

, (8.38)

где коэффициент Стьюдента для числа опытов n=5 и доверительной вероятности α=0.95 равен: tn α=2.57; Δti=|tср.- ti|.

Замечание 2: погрешности ε и М рассчитываются, исходя из формул (33) и (34) соответственно, по стандартной методике расчета погрешностей при косвенных измерениях:

,

где , , .

 

,

где производные равны:

, , , .

Замечание 3: абсолютные погрешности отношений (31) и (32) удобнее считать, предварительно рассчитав относительные погрешности:

; . (8.34)

 

Упражнение 2.

а) Определение момента инерции маятника Обербека;

б) проверка теоремы Штейнера.

1. Оставив грузы на концах стержней, измерить расстояние R ₁ от центра тяжести грузов на стержнях до оси вращения.

2. Оставив на тарелочке массу m, повторить 5 раз измерения времени движения груза с другой высотой h (пункты 4÷5 задания 1), рассчитать среднее время, по формуле (8.27) рассчитать момент инерции I ₁ крестовины с грузами, результаты занести в таблицы по форме 8.3 и 8.4.

3. Передвинуть грузы на середину стержней, измерить расстояние от центра тяжести грузов на стержнях до оси вращения.

4. Повторить измерение времени движения груза m 5 раз, рассчитать среднее время и момент инерции крестовины для нового положения грузиков на стержнях.

5. Повторить измерения и вычисления по пункту 4, передвинув грузики на стержнях вплотную к шкиву, все результаты занести в таблицы по форме 8.3 и 8.4.

 

 

Форма 8.3.

№	h, м	m, кг	Грузы на концах стержней	Грузы посередине стержней	Грузы у шкива
t 1, с	Δ t 1i	Δ t 1	t 2, с	Δ t 2i	Δ t 2	t 3, с	Δ t 3i	Δ t 3
-	Δ h=…	Δ m= …	t1ср.= …	Σ(Δ t 1i)^2= …	t2ср.= …	Σ(Δ t 2i)^2= …	t3ср.= …	Σ(Δ t 3i)^2= …

 

Форма 8.4.

I 1, кг^.м^2	I 2, кг^.м^2	I 3, кг^.м^2	R 1, м	R 2, м	R 3, м
Δ I 1	Δ I 2	Δ I 3	Δ R 1	Δ R 2	Δ R 3

 

6. Оценить погрешность момента инерции .

7. Рассчитать изменение момента инерции маятника Обербека при передвижении грузов с конца стержней на середину по формулам:

, (8.35)

, (8.36)

где m ₀ = 0.12 кг.

8. Сравнить изменение момента инерции маятника Обербека, рассчитанного с использованием теоремы Штейнера по формулам (8.35) и (8.36) и полученного экспериментально по данным табл. 8.3:

9. Сделать выводы.

Замечание 1: погрешность времени рассчитывается по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины по формуле (8.33).

Замечание 2: погрешность I рассчитывается, исходя из формулы (8.27) по стандартной методике расчета погрешностей при косвенных измерениях:

,

где производные равны:

; ; ; .

 

Контрольные вопросы

 

1. Дайте определение углового перемещения, угловой скорости и ускорения. Как направлены эти вектора?

2. Запишите формулы, связывающие линейные и угловые величины перемещения, скорости, ускорения.

3. Что такое момент силы относительно точки? Относительно оси? От чего он зависит? Как направлен вектор момента силы?

4. Что такое момент инерции материальной точки, твердого тела, от чего он зависит?

5. Сформулируйте и докажите основной закон динамики вращательного движения (8.18).

6. Сформулируйте теорему Штейнера и