Лабораторная работа 1-09 “Определение момента инерции маховика”.

 

Цель работы: изучить применение закона сохранения энергии для вращательного движения; экспериментально определить момент инерции твердого тела.

 

Теоретическое введение

В работе изучаются такие движения в механике, при которых существенна конечная протяженность тел – их нельзя рассматривать в данных условиях как материальные точки. Если тело является настолько жестким, что деформациями, возникающими при его движении можно пренебречь, то тело можно рассматривать как недеформируемое, абсолютно твердое (или просто твердое) тело. То есть такое, взаимное расположение частей которого остается неизменным во время движения.

Простейшим движением твердого тела является поступательное. Тело перемещается параллельно самому себе; все точки его имеют одинаковую скорость и описывают траектории одинаковой формы, только смещенные по отношению друг к другу. При этом кинетическая энергия равна:

(9.1)

где – скорость тела, – его полная масса.

Другим простейшим видом движения твердого тела является вращение тела вокруг оси. Определим кинетическую энергию твердого тела, закрепленного на неподвижной оси, вокруг которой оно может свободно вращаться (рис.9.1); точка О – след этой оси. К одной из точек тела А приложена внешняя сила . Мысленно разделим тело на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки. – масса этого элемента, – его расстояние до оси вращения. При вращении различные точки тела описывают окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Если за время тело поворачивается на угол , то путь , проходимый за это время какой-либо точкой тела , будет равен . Разделив на , найдем скорость точки :

(9.2)

Величина одинакова для всех точек тела и представляет собой угловое перемещение тела за единицу времени. Она называется угловой скоростью тела .

Так что величины скоростей различных -х элементов равны:

(9.3)

Кинетическая энергия такого элемента по определению равна:

(9.4)

Просуммировав эти энергии, получим полную кинетическую энергию вращающегося твердого тела:

(9.5)

Стоящая здесь в скобках сумма зависит от того, с каким именно твердым телом мы имеем дело (от его формы, размеров и распределения массы в нем), а также от того, как расположена в нем ось вращения. Эта величина, характеризующая твердое тело и выбранную ось вращения, называется моментом инерции относительно данной оси и обозначается буквой

(9.6)

Если твердое тело – сплошное, то его нужно разделить на бесконечно большое количество бесконечно малых частей. Суммирование в (9.6) заменяем интегрированием.

. (9.7)

Так как ( – плотность тела), то вычисление момента инерции сводится к объемным интегралам:

(9.8)

Вычисление таких интегралов в общем случае представляет собой сложную задачу. Лишь для тел симметричной формы при однородном распределении массы по объему тела их моменты инерции определить достаточно просто, если ось вращения проходит через центр масс (шар, цилиндр, диск, стержень). Поэтому моменты инерции сложных тел проще определять экспериментально.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела может быть записана в виде:

(9.9)

Это выражение формально похоже на выражение для энергии поступательного движения (9.1), отличаясь от него тем, что вместо скорости стоит угловая скорость , а вместо массы - момент инерции . Так что при вращении момент инерции играет роль, аналогичную массе при поступательном движении.

Далее кинетическую энергию произвольно движущегося твердого тела можно представить в виде суммы поступательной и вращательной энергий, если ось вращения проходит через центр инерции тела. Тогда для кинетической энергии произвольно движущегося тела имеем:

, (9.10)

здесь первое слагаемое – кинетическая энергия поступательного движения, - скорость перемещения центра инерции; второе слагаемое – кинетическая энергия вращения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции. Индекс “0” у момента инерции именно это и означает.

Независимо от характера движения тел (поступательного или вращательного) для замкнутых систем справедлив закон сохранения механической энергии (суммы кинетической и потенциальной энергий), если между телами действуют только консервативные силы. Если в замкнутой системе тел действуют и не консервативные силы, например, силы трения, то изменение механической энергии системы равно работе неконсервативных сил:

(9.11)

В данной лабораторной работе используется именно этот закон. Необходимо еще дать определение работы при вращении твердого тела. Выражение для работы при вращении твердого тела вокруг оси легко представить, если продолжить отмеченную аналогию между соотношениями динамики поступательного движения и динамики твердого тела: вместо линейной скорости – угловая скорость ; вместо массы – момент инерции ; вместо силы – момент силы , вместо пути – угол поворота . Тогда вместо соотношения , определяющего работу при поступательном движении, для вращательного движения имеем:

(9.12)

Методика измерений

В основе метода лежит закон сохранения энергии:

(9.13)

где – потенциальная энергия груза в начальный момент;

– кинетическая энергия груза в нижней точке траектории;

– кинетическая энергия маховика, когда груз находится в нижней точке траектории; – работа по преодолению момента силы трения в подшипниках опоры маховика.

Из уравнения (9.13) необходимо определить момент инерции маховика , выразив его через измеряемые величины.

Величина – угол поворота маховика за время падения груза с высоты

. (9.14)

Так как груз движется равноускоренно, то скорость груза в конце движения будет равна

. (9.15)

Угловая скорость маховика по определению:

. (9.16)

Момент сил трения можно найти следующим образом. После того, как груз достигнет нижней точки, маховик, вращаясь по инерции, поднимет груз на новую высоту , которая меньше .

Изменение потенциальной энергии груза равно работе против момента сил трения:

, (9.17)

где – угол поворота маховика за время прохождения грузом пути . Отсюда момент силы трения в опорах равен:

. (9.18)

Подставив в выражение (9.13) значения , , и из (9.14), (9.15), (9.16) и (9.18) и проделав преобразования, получим выражения для определения момента инерции маховика:

. (9.19)

 

Экспериментальная установка

 

Схема установки представлена на рис.9.2. Маховик 1 радиусом имеет шкив 2 радиусом r. Необходимо определить момент инерции данной системы. На шкив намотана нить, к которой прикреплен груз 3 массой . Высота поднятия груза над основанием отсчитывается по линейке 4, время опускания груза измеряется секундомером.

 

 

Порядок выполнения работы

 

1. Наматывая шнур на шкив, поднять груз на высоту h₁ (во всех опытах h₁ одинаковая).

2. Освободив груз и включив секундомер, определить время падения t груза до нижней точки.

3. Определить высоту , на которую поднимется груз по инерции.

4. Повторить все измерения 5 раз.

5. Все данные занести в таблицу 1.

6. Рассчитать по формуле (9.18) величину момента сил трения. Принять .

7. Вычислить по формуле (9.19) момент инерции маховика.

8. Вычислить погрешность измерений.

9. По теоретической формуле рассчитать момент инерции вращающихся деталей установки.

 

 

Форма 9.1.

№ п/пп

m

r

t

M

J

кг

кг

м

м

м

м

м

м

с

с

Н.м

Н^.м

кг м^2

кг м^2

...

ср.

 

Контрольные вопросы

 

1. Что такое момент инерции твердого тела?

2. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

3. Сделайте подробный вывод формулы (9.19).

4. О каком законе сохранения идет речь в этой работе? Сформулируйте его.

5. Чему равна работа при вращении тела вокруг оси?

6. Дайте представление о моделях тел в механике и приведите примеры.

7. Представьте определение замкнутой системы тел.

8. Чем отличаются консервативные силы от неконсервативных? Приведите примеры.

 

Используемые литература

 

[1] §24, 38, 39, 41; [2] §24, 31-33; [3] §3.4; 4.1-4.3; [7] §16, 18; [6] §2.8; 7.1; 7.2.

 

Лабораторная работа 1-10 “Маятник Максвелла”

Цель работы: применение основных законов динамики к изучению движения твёрдых тел, определение момента инерции маятника Максвелла.

Теоретическое введение

При применении основных законов динамики к изучению движения твердых тел необходимо исходить их того, что в общем случае движение твердого тела определяется двумя векторными уравнениями. Одно из них – уравнение движения центра тяжести твердого тела

, (10.1)

где – масса всего тела; – скорость его центра тяжести; – сумма всех внешних сил, действующих на тело.

Другое – уравнение моментов в системе отсчета, жестко связанной с центром тяжести (в ней покоится центр тяжести)

, (10.2)

где – момент импульса тела относительно оси, проходящей через центр тяжести, а – суммарный момент всех внешних сил относительно этой оси.

Простейшее движение твердого тела – плоское движение. В этом случае каждая его точка движется, оставаясь в одной из параллельных друг другу плоскостей. Примером плоского движения является качение цилиндра по плоскости. Другим примером является маятник Максвелла, который представляет собой однородный круглый диск радиуса R, подвешенный на двух нерастяжимых нитях, намотанных на его горизонтальную ось (рис 10.1). Под действием силы тяжести диск опускается, и нити разматываются до полной длины. В нижнем положении раскрутившийся маховичок продолжает вращение в том же направлении и наматывает нить на ось. Дойдя до верхней точки, диск останавливается и снова начинает свое движение, совершая таким образом колебания по вертикальной прямой линии; поэтому такое устройство и называется маятником.

Напомним, что для описания движения ось моментов выбираем жестко связанную с маятником и проходящую через его центр тяжести. Но такая система отсчета при ускоренном движении маятника будет неинерциальной. В ней будут действовать силы инерции и при составлении уравнения моментов (10.2) должны быть учтены в правой части уравнения моменты сил инерции. Однако, для плоского движения твердого тела можно выбрать ось, связанную с телом, относительно которой моменты сил инерции оказываются равными нулю, и поэтому уравнение моментов имеет такой же вид, как и для осей, неподвижных в пространстве. Этим свойством обладает ось, движущаяся поступательно (т.е. перпендикулярно к плоскостям, в которых движутся точки тела) и проходящая через центр тяжести тела. Тогда равнодействующая сил инерции, так же как и равнодействующая сил тяжести, будет приложена к центру тяжести тела и момент ее относительно оси, проходящей через центр тяжести, будет равен нулю.

В нашем случае этой осью будет геометрическая ось диска. Так как эта ось неподвижна относительно диска, можно написать выражение момента импульса относительно этой оси

(10.3)

где – момент инерции диска относительно этой же оси, – угловая скорость;

а уравнение моментов принимает вид:

, (10.4)

где – угловое ускорение диска.

Составим далее уравнения плоского движения диска. На диск массой действуют внешние силы: тяжести и натяжение нити . Момент силы тяжести относительно выбранной оси (как и момент сил инерции) равен нулю. Поэтому уравнения (10.1) и (10.4) примут вид

, (10.5)

. (10.6)

Так как центр тяжести опускается как раз на столько, на сколько раскручивается нить, то величина перемещения центра тяжести диска и угол поворота его связаны соотношением .

Дифференцируя это соотношение дважды по времени, найдем связь между ускорением центра масс и угловым ускорением диска:

и . (10.7)

Решая систему уравнений (10.5), (10.6) и (10.7), находим ускорение

(10.8)

и силу натяжения нити

(10.9)

Из формул (10.8),(10.9) следует, что ускорение и сила натяжения нити не зависят от того, в каком направлении движется маятник - вверх или вниз. Следовательно, вес движущегося маятника не зависит от направления движения маховичка и оказывается меньше веса маятника в состоянии покоя. (Сравните движение маятника Максвелла с равноускоренным движением по вертикальной прямой линии груза, подвешенного на нити.)

Из уравнения (10.8) находим момент инерции маятника:

Ускорение находится по измеренному времени движения и пройденному пути:

.

Итак, момент инерции маятника:

. (10.10)

Поскольку силы трения не принимаются во внимание, то формулу для момента инерции маховика можно получить также из закона сохранения механической энергии. Для двух крайних положений диска:

или .

Отсюда

.

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: маятникМаксвелла и принадлежности к нему (набор съёмных колец, штангенциркуль).

Экспериментальная установка

Для наблюдения за движением маятника применяется установка, показанная на рис. 10.2. На вертикальной стойке (1) укреплены два кронштейна. На верхнем подвижном кронштейне (2) расположены электромагнит (3), фотоэлектрический датчик (4) и вороток (5), позволяющий регулировать длину нити подвеса маятника. Момент инерции маятника изменяют с помощью съёмных колец (6). В верхнем положении маятник с кольцом удерживается электромагнитом, время его движения между крайними точками измеряется секундомером.

Порядок выполнения работы

 

1. С помощью регулируемых по высоте ножек установите стойку прибора в вертикальное положение и, регулируя воротком длину нити, добейтесь горизонтального положения оси маятника (при проведении опытов следите, чтобы положение оси оставалось горизонтальным). Включите в электрическую сеть вилку кабеля питания. Включите прибор в сеть, нажав кнопку “сеть”

2. На обод маховичка наденьте съёмное кольцо. Выпишите массы: - масса оси, - масса маховичка, - масса съемного кольца, указанные непосредственно на них. Сумму масс , выраженную в кг, занести в таблицу 10.1.

3. Измерьте высоту расположения нижней грани маятника с кольцом в крайней нижней точке.

4. Тщательно, виток к витку, наматывайте на стержень нити подвеса до достижения крайнего верхнего положения. Зафиксируйте положение маятника электромагнитом, кнопка “пуск” должна быть отжата.

5. Измерьте высоту расположения нижней грани маятника с кольцом в верхнем положении. Пройденный маятником путь при его опускании составит . Запишите значение в таблицу по форме 10.1.

6. Измерьте диаметр оси маятника штангенциркулем, определите радиус оси и занесите его значение, выраженное в метрах, в таблицу по форме 10.1.

7. Одновременно с нажатием кнопки “пуск” (выкл. электромагнит) включить секундомер. Остановить отсчет времени по достижении маятником крайнего нижнего положения. Записать результат измерения в таблицу 10.1, повторить опыт с первым кольцом по п.п. 4-7 4-5 раз для накопления статистики.

8. Рассчитать среднее арифметическое значение . Запишите значение в таблицу.

9. Вычислите по формуле (10.10) момент инерции маятника . Проведите расчет погрешности измерения.

10. Измерьте радиусы , , , ; где , , , - внутренний радиус оси, внешний радиус оси, радиус маховичка, радиус съёмного кольца соответственно.

11. Рассчитайте теоретическое значение момента инерции маятника.

12. Сравните теоретическое и экспериментальное значение момента инерции маятника.

13. Поменяйте съемное кольцо на другое и выполните действия по пунктам 2-10.

14. Сделайте выводы по работе.

 

Форма 10.1

	№ п/пп	r, м	кг	h, м	t, с	tср, с	Iэкс, кг×м^2	Iср, кг×м^2	r, м	Iтеор, кг×м^2
Кольцо
Кольцо
Кольцо

 

Расчёт погрешностей:

 

 

Контрольные вопросы:

1. Какие физические величины характеризуют поступательное движение твердого тела? Их определение, физический смысл, формулы, единицы измерения.

2. Какими величинами описывается вращение твёрдого тела вокруг закреплённой оси? Физический смысл этих величин, формулы

3. Из каких простых движений слагается плоское движение твёрдого тела?

4. Вывод формулы момента инерции маховика на основе закона сохранения энергии.

 

Используемая литература:

 

[3] §4.1; 4.2; 4.3; [6] §1.31; 1.32; 1.33; 1.34; [7] §16-19; [5] §7.1-7.3.

 

Лабораторная работа 1-11 “Изучение характеристик механического гироскопа”

 

Цель работы: ознакомиться с особенностями динамики быстровращающегося твердого тела и измерить его основные параметры: момент импульса, момент инерции и скорость прецессии.

 

Теоретическое введение

 

Гироскопические приборы и устройства находят широкое применение в различных отраслях техники. Элементарное представление об особенностях поведения гироскопа дает обыкновенный волчок с его поразительно малой восприимчивостью к воздействию внешних сил и моментов. Гироскопы чаще всего применяются для ориентации, для определения тех или иных направлений. Также гироскопы используются в горном деле для определения кривизны буровых скважин, для записи неправильностей железнодорожного пути. В авиации гироскопические приборы применяются в качестве основных чувствительных элементов (определение направления вертикали и курса), а также для измерения угловой скорости самолета.

Гироскопом называют симметричное твердое тело, быстро вращающееся вокруг одной из осей симметрии. Ось может изменять свое положение в пространстве.

В простейшем варианте гироскоп выполняется в виде массивного диска, насаженного на вал. (рис. 11.1)

Гироскоп – слово греческого происхождения (гирос) – вращение (скопейн) – видеть, наблюдать. Это название прибору дал французский физик Леон Фуко.

В общем случае под гироскопом понимают твердое тело любой формы, которое совершает вращательное движение. Земной шар, делающий один оборот за сутки, подчиняется гироскопическим законам точно так же, как технические гироскопы, вращающиеся с большой угловой скоростью относительно главной оси по сравнению со скоростями вокруг любых других осей. Гироскопами заполнен микромир: орбитальное движение и спины электронов, спин атомных ядер является неисчерпаемой кладовой гироскопии в недрах микромира.

Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы. Если центр масс гироскопа совпадает с точкой О – точкой опоры гироскопа, то гироскоп называется уравновешенным

Движение гироскопа определяется уравнением моментов:

(11.1)

– момент импульса гироскопа,

– момент внешних сил.

Дополнительное вращение оси гироскопа с угловой скоростью под действием постоянного момента сил называется прецессией гироскопа.

При вращении оси соответствующая угловая скорость (скорость прецессии) много меньше угловой скорости вращения гироскопа вокруг своей оси, которую обозначаем через .

При отсутствии внешнего вращающегося момента

, (11.2)

вектор сохраняет свою величину и направление.

Нарушим равновесие гироскопа, сдвинув противовес на . Зададим вращающий момент . Посмотрим, что получается, когда гироскоп раскручен. В этом случае за время вектор получает приращение

, (11.3)

т.е гироскоп за время повернется на угол . Считаем, что вектор постоянен по модулю (т.к. момент внешних сил мал) и изменяется лишь по направлению

(11.4)

разделим обе части на :

или (11.5)

где – скорость прецессии гироскопа

поскольку

(11.6)

т.е.

подставляя (11.5) в (11.1) получим

(11.7)

где - плечо силы тяжести (расстояние между т. О и центром масс)

 

Экспериментальная часть

Общий вид гироскопа представлен на рис. 11.1. где

1 – основание; 2 – колонка; 3 – кронштейн; 4 – фотоэлектрический датчик №1; 5 – внешняя втулка вращательного соединителя; 6 – фотоэлектрический датчик №2; 7 – электрический двигатель; 8 – кронштейн; 9 – ротор; 10 – защитный экран; 11 – рычаг; 12 – груз; 13 – диск; 14 – указатель; 15 – блок управления и измерения.

 

 

Методика измерений

 

Одна из точек гироскопа должна быть закреплена - это точка опоры гироскопа О.

Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы. Если центр масс гироскопа совпадает с точкой О, то гироскоп называется уравновешенным (рис.11.2).

 

Ротор гироскопа при своем вращении увлекает близлежащие слои воздуха, в результате чего возникает сила вязкого трения, определяемая уравнением Ньютона:

; (11.8)

где – коэффициент внутреннего трения (или коэффициент динамической вязкости), – градиент скорости вдоль нормали к направлению движения, – площадь поверхности соприкосновения слоев. Момент этих сил сопротивления можно вычислить как:

,

интеграл берется по всей поверхности соприкосновения ротора с воздушными слоями. Как видно из рис. 11.2, при роторе цилиндрической формы радиуса R и толщиной h всю его поверхность можно разбить на боковую поверхность и две поверхности основания. Таким образом:

при этом на боковой поверхности , где а – расстояние от поверхности диска до кожуха:

На поверхности оснований , , где – элемент поверхности основания на расстоянии r от оси вращения и толщиной dr, b – расстояние от dS до точек с нулевой скоростью воздушного слоя, т.е. до торцевой поверхности предохранительного экрана.

На основании вышесказанного находим полный момент сил трения (момент сил на оси OY)

Ттаким образом, для коэффициента динамической вязкости получим:

где А – постоянный параметр гироскопа: ,

R=(80±2) мм; a=(20±1) мм; b=(4±0,5)мм; h=(15±1)мм;

Экспериментальная установка

 

Установка представляет собой собственно гироскоп и сопряженные с ним измерительные системы и имеет следующие технические и метрологические данные:

диапазон управляемых оборотов двигателя 1000¸10000 об/мин;

диапазон измеряемого времени процессии 1¸99999 мс;

диапазон измеряемого угла процессии 10¸990⁰;

масса перемещаемого груза 0,6±0,05 кг;

погрешность измерения времени 0,02%;

погрешность измерения скорости оборотов не больше 2,5%.

Внешний вид гироскопа представлен на рисунке 11.1 на основании 1 оснащенном ножками с регулируемой высотой, позволяющим произвести выравнивание прибора, закреплена колонка 2. на колонке закреплен кронштейн 3, на котором закреплен фотоэлектрический датчик №1 (4) и внешняя втулка вращательного соединителя (5).

Вращательный соединитель позволяет гироскопу обращаться вокруг вертикальной оси и обеспечивает питание электрическим током фотоэлектрического датчика №2 (6) и электрического двигателя (7) посредством разъемов.

Электрический двигатель смонтирован на кронштейне (8) таким образом, что допускает вращения в вертикальной плоскости. На валу двигателя закреплен ротор (9), защищаемый экраном (10). Рычаг (11), закрепленный на корпусе двигателя, имеет нанесенную метрическую шкалу. На рычаге закреплен груз (12). При помощи перемещения груза по рычагу можно уравновесить гироскоп, перемещая центр масс системы.

Поворот гироскопа вокруг вертикальной оси можно считывать с диска (5) с нанесенной угловой шкалой, при помощи указателя (14). Диск (5) имеет на окружности отверстия через каждые 5⁰, которые, подсчитываемые фотоэлектрическим датчиком №1, передают в блок управления измерений (3), информацию об угле поворота гироскопа.

Ротор (9) имеет на окружности прорези, которые, подсчитываемые фотоэлектрическим датчиком №2, передают в блок управления и измерений информацию о скорости оборотов электрического двигателя.

 

Порядок выполнения работы

 

Задание 1: Измерение скорости прецессии и кинетического момента гироскопа.

1. Сбалансируйте гироскоп относительно осей X, Y, Z. Это делается путем перемещения противовеса по стержню. Сбалансированный гироскоп должен находится в положении безразличного равновесия.

2. Запишите положение груза, при котором гироскоп сбалансирован (от этого положения отсчитывается величина ).

3. Нажмите кнопку " СЕТЬ ", выждите 2-3 минуты, чтобы вращение ротора стабилизировалось.

4. Регулятором задайте скорость вращения маховика
n = 5000 об/мин.

5. Вычислите значение угловой скорости:

6. Переместите груз по рычагу на см влево от положения равновесия, удерживая рычаг в исходном (горизонтальном) положении, задавая тем самым момент сил относительно оси OY.

7. Нажмите кнопку " СБРОС ".

8. Отпустите гироскоп и после его поворота на угол 20^о нажмите кнопку " СТОП ".

9. Определите по счетчикам угол поворота и время поворота