Работа 5. Момент инерции различных тел. Теорема штейнера

 

Цель работы – измерить моменты инерции различных тел. Проверить теорему Штейнера.

 

Теоретические основы лабораторной работы

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения.

Момент инерции сплошного твёрдого тела определяется по формуле

,

где - расстояние от элемента объема с массой dm до оси вращения, r - плотность вещества.

 

 

Рис. 5.1. Общий вид экспериментальной установки

 

Таким образом, момент инерции тел различной формы можно найти как результат интегрирования по соответствующему объёму тела.

Частные случаи.

1. Момент инерции материальной точки массой m, находящейся на расстоянии R от оси вращения

(5.1)

2. Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к плоскости основания цилиндра и проходящей через его центр масс (ось цилиндра)

(5.2)

здесь R, m - радиус и масса цилиндра.

Так как момент инерции не зависит от высоты цилиндра, эта же формула справедлива для момента инерции однородного диска относительно оси перпендикулярной к плоскости диска.

3. Момент инерции полого цилиндра с внутренним радиусом R₁ и внешним радиусом R₂ относительно оси, совпадающей с осью цилиндра.

(5.3)

4. Момент инерции шара массой m и радиуса R относительно оси проходящей через его центр масс

(5.4)

5. Момент инерции тонкого стержня массой m и длиной l относительно оси проходящей через его середину перпендикулярно стержню.

(5.5)

Эти формулы справедливы для момента инерции относительно оси симметрии.

Момент инерции относительно произвольной оси параллельной оси симметрии можно найти с помощью теоремы Штейнера.

Момент инерции относительно произвольной оси О₁О₁ равен сумме момента инерции I₀, относительно оси OO, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями.

(5.6)

Например, с помощью теоремы Штейнера, зная момент инерции стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр масс, можно получить формулу для вычисления момента инерции стержня относительно оси проходящей через его конец.

(5.7)

В общем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу.

В данной работе для экспериментального измерения моментов инерции различных тел используется метод крутильных колебаний.

Исследуемые тела насаживаются на ось спиральной пружины. В результате деформации пружины при её закручивании на угол j возникнет упругая сила. Эта сила создает крутящий момент (момент силы) . Модуль момента пропорционален углу закручивания пружины

M=Dj (5.8)

В этой формуле коэффициентом пропорциональности D является модуль кручения пружины.

С другой стороны из определения момента силы следует, что это вектор, модуль которого определяется по формуле

М=Fl (5.9)

Крутящий момент стремится вернуть пружину в исходное (равновесное) состояние. В результате возникают крутильные колебания.

В соответствии с теорией период крутильных колебаний определяется по формуле

(5.10)

Отсюда момент инерции тела

(5.11)

Таким образом, измеряя период крутильных колебаний и зная модуль кручения D пружины, можно вычислить момент инерции тела, насаженного на ось пружины.

Методика лабораторной работы позволяет измерять моменты инерции стержня без грузов, стержня с грузами, сплошного цилиндра, полого цилиндра, диска и шара.

 

Порядок выполнения работы

I. Определение модуля кручения пружины.

1. Возьмите стержень с грузами и насадите его на ось пружины. Грузы сдвиньте к центру.

2. Поверните стержень на 90^о (p/2 радиан).

Таблица 5.1.
j	F	l	M
p/2
p
3p/2
2p

3. Прикрепите к стержню (у края грузов) динамометр и измерьте величину силы F, необходимую для удержания стержня в этом положении (динамометр держите перпендикулярно стержню и оси вращения).

4. Проделайте эти измерения для углов j, равных 180^о, 270^о, 360^о.

5. Полученные данные занесите в таблицу 5.1.